《2021高考數(shù)學一輪復習 第8章 立體幾何 第2節(jié) 空間圖形的基本關系與公理教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 第8章 立體幾何 第2節(jié) 空間圖形的基本關系與公理教學案 理 北師大版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié)空間圖形的基本關系與公理最新考綱1.理解空間直線、平面位置關系的定義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些空間位置關系的簡單命題1四個公理(1)公理1：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面(即可以確定一個平面)(2)公理2：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)， 那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi))拓展：公理2的三個推論推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點有且只有一個平面推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線(4)公
2、理4：平行于同一條直線的兩條直線平行2直線與直線的位置關系(1)位置關系的分類(2)異面直線所成的角定義：設a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)范圍：(0，90拓展：異面直線判定的一個定理過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線，如圖所示3空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關系(1)空間中直線與平面的位置關系位置關系圖形表示符號表示公共點直線在平面內(nèi)a無數(shù)個直線不在平面內(nèi)直線與平面平行a0個直線與平面相交直線與平面斜交aA1個直線與平面垂直a1個(2)空間中平面與平面的位置關系位置關
3、系圖形表示符號表示公共點兩平面平行0個兩平面相交l無數(shù)_個4等角定理空間中，如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補唯一性定理(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合()(4)若直線a不平行于平面，且a，則內(nèi)的所有直線與a異面()
4、答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A一定是異面直線B一定是相交直線C不可能是平行直線D不可能是相交直線C由已知得直線c與b可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直線，若bc，則ab，與已知a，b為異面直線相矛盾2.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角的大小為()A30B45C60D90C連接B1D1，D1C(圖略)，則B1D1EF，故D1B1C為所求的角，又B1D1B1CD1C，D1B1C60.3下列命題正確的是()A兩個平面如果有公共點，那么一定相交B兩
5、個平面的公共點一定共線C兩個平面有3個公共點一定重合D過空間任意三點，一定有一個平面D如果兩個平面重合，則排除A，B兩項；兩個平面相交，則有一條交線，交線上任取三個點都是兩個平面的公共點，故排除C項；而D項中的三點不論共線還是不共線，則一定能找到一個平面過這三個點4.如圖，在三棱錐ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為菱形；(2)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為正方形(1)ACBD(2)ACBD且ACBD(1)四邊形EFGH為菱形，EFEH，ACBD.(2)四邊形EFGH為正方形，EFEH且EFEH，EFAC
6、，EHBD，且EFAC，EHBD，ACBD且ACBD.考點1平面的基本性質(zhì)及應用共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；證兩平面重合(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；直接證明這些點都在同一條特定直線上(3)證明線共點問題的常用方法是：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點共面；(2)CE，D1F，DA三線共點證明(1)如圖，連接EF，CD1，A1B.E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點，E
7、FBA1.又A1BD1C，EFCD1，E，C，D1，F(xiàn)四點共面(2)EFCD1，EFCD1，CE與D1F必相交，設交點為P，則由P直線CE，CE平面ABCD，得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，P直線DA，CE，D1F，DA三線共點 本例第(1)問的證明應用了公理2的推論，采用線線共面，則線上的點必共面的思想；本例第(2)問的證明應用了公理3，采用先證明CE與D1F相交，再證明交點在直線DA上1.(2019衡水中學模擬)有下列四個命題：空間四點共面，則其中必有三點共線；空間四點不共面，則其中任意三點不共線；空間四點中有三點共線，則此四點共面；空間四點中
8、任意三點不共線，則此四點不共面其中真命題的所有序號有_中，對于平面四邊形來說不成立，故是假命題；中，若四點中有三點共線，則根據(jù)“直線與直線外一點可以確定一個平面”知四點共面，與四點不共面矛盾，故是真命題；由的分析可知是真命題；中，平面四邊形的四個頂點中任意三點不共線，但四點共面，故是假命題2.如圖所示，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BGGCDHHC12.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線證明(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EFBD.在BCD中，所以GHBD，所以EFGH.所以E，
9、F，G，H四點共面(2)因為EGFHP，PEG，EG平面ABC，所以P平面ABC.同理P平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點又平面ABC平面ADCAC，所以PAC，所以P，A，C三點共線考點2判斷空間兩直線的位置關系空間中兩直線位置關系的判定方法1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()Al與l1，l2都不相交Bl與l1，l2都相交Cl至多與l1，l2中的一條相交Dl至少與l1，l2中的一條相交D法一：(反證法)由于l與直線l1，l2分別共面，故直線l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交若ll1，
10、ll2，則l1l2，這與l1，l2是異面直線矛盾故l至少與l1，l2中的一條相交法二：(模型法)如圖(1)，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖(2)，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確圖(1) 圖(2)2.(2019全國卷)如圖，點N為正方形ABCD的中心，ECD為正三角形，平面ECD平面ABCD，M是線段ED的中點，則()ABMEN，且直線BM、EN是相交直線BBMEN，且直線BM，EN是相交直線CBMEN，且直線BM、EN是異面直線DBMEN，且直線BM，EN是異面直線B如圖所示， 作EOCD于O，連接ON，過M作MFOD于F.連接B
11、F，平面CDE平面ABCD，EOCD，EO平面CDE，EO平面ABCD，MF平面ABCD，MFB與EON均為直角三角形設正方形邊長為2，易知EO，ON1，EN2，MF，BF，BM.BMEN.連接BD，BE，點N是正方形ABCD的中點，點N在BD上，且BNDN.又M為ED的中點，BM，EN為DBE的中線，BM，EN必相交故選B.3在下列四個圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(填序號) 圖中，直線GHMN；圖中，G，H，N三點共面，但M平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH與MN共面；圖中，G，M，N共面
12、，但H平面GMN，因此GH與MN異面所以在圖中，GH與MN異面在直接判斷不好處理的情況下，反證法、模型法(如構造幾何體：正方體、空間四邊形等)和特例排除法等是解決此類問題的三種常用便捷方法考點3異面直線所成的角1.平移法求異面直線所成角的一般步驟(1)作角用平移法找(或作)出符合題意的角(2)求角轉化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出角的大小提醒：異面直線所成的角.2坐標法求異面直線所成的角：當題設中含有兩兩垂直的三邊關系時，常采用坐標法提醒：如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角；如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角(1)一題多解(2018全國卷)在長方體ABCDA1B1C1
13、D1中，ABBC1，AA1，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A.B.C.D.(2)如圖所示，A是BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點求證：直線EF與BD是異面直線；若ACBD，ACBD，求EF與BD所成的角(1)C法一：(平移法)如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1OM，則MOD為異面直線AD1與DB1所成角因為在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，AD12，DM，DB1，所以OMAD11，ODDB1，于是在DMO中，由余弦定理，得cosMOD，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為.故
14、選C.法二：(坐標法)以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示由條件可知D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0，)，B1(1,1，)，所以(1,0，)，(1,1，)，則由向量夾角公式，得cos，即異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為，故選C.法三：(補體法)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1的一側補上一個相同的長方體ABBAA1B1B1A1.連接B1B，由長方體性質(zhì)可知，B1BAD1，所以DB1B為異面直線AD1與DB1所成的角或其補角連接DB，由題意，得DB，BB12，DB1.在DBB1中，由余弦定理，得DB2BBDB2BB
15、1DB1cosDB1B，即54522cosDB1B，cosDB1B.故選C.(2)解證明：假設EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是BCD所在平面外的一點相矛盾故直線EF與BD是異面直線取CD的中點G，連接EG，F(xiàn)G，則ACFG，EGBD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角又因為ACBD，則FGEG.在RtEGF中，由EGFGAC，求得FEG45，即異面直線EF與BD所成的角為45.平移法、坐標法和補體法是求兩條異面直線所成角的大小的三種常用方法，其中平移法和補體法的實質(zhì)是平行移動直線
16、，把異面直線所成的角轉化為相交直線的夾角，體現(xiàn)了化歸思想教師備選例題1(2016全國卷)平面過正方體ABCDA1B1C1D1的頂點A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，則m，n所成角的正弦值為()A.B.C.D.A如圖，設平面CB1D1平面ABCDm1.平面平面CB1D1，m1m.又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面CB1D1平面A1B1C1D1B1D1，B1D1m1.B1D1m.平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可證CD1n.因此直線m與n所成的角即直線B1D1與CD1所成的角在正方體ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是
17、正三角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.2(2017全國卷)a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉軸旋轉，有下列結論：當直線AB與a成60角時，AB與b成30角；當直線AB與a成60角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最大值為60.其中正確的是_(填寫所有正確結論的編號)依題意建立如圖所示的空間直角坐標系設等腰直角三角形ABC的直角邊長為1.由題意知點B在平面xOy中形成的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓設直線a的方向向量為a(0,1,0)，直線b的方向向量為b
18、(1,0,0)，以Ox軸為始邊沿逆時針方向旋轉的旋轉角為，0,2)，則B(cos ，sin ，0)，(cos ，sin ，1)，|.設直線AB與a所成夾角為，則cos |sin |，4590，正確，錯誤設直線AB與b所成夾角為，則cos |cos |.當直線AB與a的夾角為60，即60時，則|sin |cos cos 60，|cos |.cos |cos |.090，60，即直線AB與b的夾角為60.正確，錯誤1. (2019聊城一模)如圖，圓柱的軸截面ABCD為正方形，E為弧的中點，則異面直線AE與BC所成角的余弦值為()A.B.C.D.D取BC的中點H，連接EH，AH，EHA90，設AB2，則BHHE1，AH，所以AE，連接ED，ED，因為BCAD，所以異面直線AE與BC所成角即為EAD，在EAD中cosEAD，故選D.2(2019西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直以上四個命題中，正確命題的序號是_還原成正四面體ADEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合易知GH與EF異面，BD與MN異面連接GM，GMH為等邊三角形，GH與MN成60角，易證DEAF，又MNAF，MNDE.因此正確命題的序號是.12
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