2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積教學(xué)案 理 北師大版

《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 立體幾何 第1節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積教學(xué)案 理 北師大版（26頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8章 立體幾何全國(guó)卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式高考在本章一般命制2道小題、1道解答題，分值約占22分2.考查內(nèi)容(1)小題主要考查三視圖、幾何體體積與表面積計(jì)算，此類問(wèn)題屬于中檔題目；對(duì)于球與棱柱、棱錐的切接問(wèn)題，知識(shí)點(diǎn)較整合，難度稍大(2)解答題一般位于第18題或第19題的位置，常設(shè)計(jì)兩問(wèn)：第(1)問(wèn)重點(diǎn)考查線面位置關(guān)系的證明；第(2)問(wèn)重點(diǎn)考查空間角，尤其是二面角、線面角的計(jì)算屬于中檔題目3.備考策略從2019年高考試題可以看出，高考對(duì)三視圖的考查有所降溫；對(duì)空間幾何體的展開(kāi)、平面圖形的折疊、解題中的補(bǔ)體等傳統(tǒng)幾何思想有所加強(qiáng).第一節(jié)空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其表面積、體積最新考綱

2、1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖.3.會(huì)用平行投影方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.4.了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式1簡(jiǎn)單多面體的結(jié)構(gòu)特征(1)棱柱的側(cè)棱都平行且相等，上下底面是全等的多邊形；(2)棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共點(diǎn)的三角形；(3)棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上、下底面是相似多邊形2旋轉(zhuǎn)體的形成幾何體旋轉(zhuǎn)圖

3、形旋轉(zhuǎn)軸圓柱矩形任一邊所在的直線圓錐直角三角形任一直角邊所在的直線圓臺(tái)直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線球半圓直徑所在的直線3三視圖與直觀圖三視圖畫法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)畫法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x軸、y軸的夾角為45(或135)，z軸與x軸和y軸所在平面垂直(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.4圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)2rlS圓錐側(cè)rlS圓臺(tái)側(cè)(r1r2)l5柱體、錐體、臺(tái)體和球

4、的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積S側(cè)2S底VSh錐體(棱錐和圓錐)S表面積S側(cè)S底VSh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積S側(cè)S上S下V(S上S下)h球S4R2VR31按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖S原圖形，S原圖形2S直觀圖2多面體的內(nèi)切球與外接球常用的結(jié)論(1)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球半徑r，外接球半徑Ra.(2)設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c，則它的外接球半徑R.(3)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則它的高為Ha，內(nèi)切球半徑rHa，外接球半徑RHa.一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)有兩個(gè)面平行，其余各面

5、都是平行四邊形的幾何體是棱柱()(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐()(3)菱形的直觀圖仍是菱形()(4)正方體、球、圓錐各自的三視圖中，三視圖均相同()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1將一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體包括()A一個(gè)圓臺(tái)、兩個(gè)圓錐B兩個(gè)圓臺(tái)、一個(gè)圓柱C兩個(gè)圓柱、一個(gè)圓臺(tái)D一個(gè)圓柱、兩個(gè)圓錐D從較短的底邊的端點(diǎn)向另一底邊作垂線，兩條垂線把等腰梯形分成了兩個(gè)直角三角形，一個(gè)矩形，所以一個(gè)等腰梯形繞它的較長(zhǎng)的底邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的是由一個(gè)圓柱，兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，如圖：2如圖所示，長(zhǎng)方體ABCDABCD中被截去一部

6、分，其中EHAD，則剩下的幾何體是()A棱臺(tái)B四棱柱C五棱柱D簡(jiǎn)單組合體C由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱3體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A12BC8D4A由題意可知正方體的棱長(zhǎng)為2，其體對(duì)角線為2即為球的直徑，所以球的表面積為4R2(2R)212，故選A.4已知圓錐的表面積等于12 cm2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為()A1 cmB2 cmC3 cmD cmBS表r2rlr2r2r3r212，r24，r2(cm)5已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)同底等高的圓錐，其體積為222222

7、.考點(diǎn)1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征解決與空間幾何體結(jié)構(gòu)特征有關(guān)問(wèn)題的技巧(1)關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種空間幾何體的概念，要善于通過(guò)舉反例對(duì)概念進(jìn)行辨析，即要說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只需舉一個(gè)反例即可(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時(shí)要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系(3)棱(圓)臺(tái)是由棱(圓)錐截得的，所以在解決棱(圓)臺(tái)問(wèn)題時(shí)，要注意“還臺(tái)為錐”的解題策略1.給出下列命題：(1)棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；(2)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；(3)在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；(4)存在

8、每個(gè)面都是直角三角形的四面體；(5)棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A2B3C4D5C(1)不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；(2)正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；(3)正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；(4)正確，如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中的三棱錐C1ABC，四個(gè)面都是直角三角形；(5)正確，由棱臺(tái)的概念可知2以下命題：(1)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；(2)以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；(3)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面

9、都是圓面；(4)一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A0B1C2D3B命題(1)錯(cuò)，因?yàn)檫@條邊若是直角三角形的斜邊，則得不到圓錐；命題(2)錯(cuò)，因?yàn)檫@條腰必須是垂直于兩底的腰；命題(3)對(duì)；命題(4)錯(cuò)，必須用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可以3下列結(jié)論正確的是 ()A各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線DA錯(cuò)誤如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱

10、錐圖 圖B錯(cuò)誤如圖，若ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊所在直線，所得的幾何體都不是圓錐C錯(cuò)誤由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)D正確(1)概念辨析類的問(wèn)題常借助反例求解(2)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征正誤的關(guān)鍵，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后依據(jù)題意判定考點(diǎn)2空間幾何體的三視圖和直觀圖1.三視圖畫法的基本原則長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等；畫圖時(shí)看不到的線畫成虛線2由三視圖還原幾何體的步驟3直觀圖畫法的規(guī)則：斜二測(cè)畫法(1)一題多解已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么ABC的平面直觀圖A

11、BC的面積為()A.a2B.a2 C.a2 D.a2(2)(2018全國(guó)卷)某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A2B2C3D2(1)D(2)B(1)法一：如圖所示的實(shí)際圖形和直觀圖，由圖可知，ABABa，OCOCa，在圖中作CDAB于D，則CDOCa，所以SABCABCDaaa2.法二：SABCaasin 60a2，又S直觀圖S原圖a2a2.故選D.(2)由三視圖可知，該幾何體為如圖所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖，

12、如圖所示，連接MN，則MS2，SN4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為2.故選B.圖圖(1)直觀圖的面積問(wèn)題常常有兩種解法：一是利用斜二測(cè)畫法求解，注意 “斜”及“二測(cè)”的含義；二是直接套用等量關(guān)系：S直觀圖S原圖形(2)解決空間幾何體表面上兩點(diǎn)距離的最短問(wèn)題，常借助其側(cè)面展開(kāi)圖1.(2018全國(guó)卷)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()A B C DA由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見(jiàn)，所以是虛線，結(jié)合榫頭的

13、位置知選A.2某幾何體的三視圖如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格是邊長(zhǎng)為1的正方形，則該幾何體中最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)是()A.B.C.D.3A由三視圖可知該幾何體為一個(gè)三棱錐DABC，如圖，將其置于長(zhǎng)方體中，該長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，高為2.所以AB1，AC，BC，CD，DA2，BD，因此最長(zhǎng)棱為BD，棱長(zhǎng)是.考點(diǎn)3空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積 幾類空間幾何體表面積的求法(1)多面體：其表面積是各個(gè)面的面積之和(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和(3)簡(jiǎn)單組合體：應(yīng)搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補(bǔ)(4)若以三視圖形式給出，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖，想象出原幾何體及幾何體中各

14、元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系(1)(2019南昌模擬)如圖，直角梯形ABCD中，ADDC，ADBC，BC2CD2AD2，若將該直角梯形繞BC邊旋轉(zhuǎn)一周，則所得的幾何體的表面積為_(kāi)(2)若正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2，則其表面積為_(kāi)(3)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是10 cm和20 cm，它的側(cè)面展開(kāi)圖的扇環(huán)的圓心角是180，那么圓臺(tái)的表面積為_(kāi)cm2 (結(jié)果中保留)(4)(2019安慶模擬)已知一幾何體的三視圖如圖所示，它的左視圖與主視圖相同，則該幾何體的表面積為()A1612B3212C2412D3220(1)(3)(2)44(3)1 100(4)A(1)由圖中數(shù)據(jù)可得：S圓錐側(cè)2，S圓柱側(cè)21

15、12，S底面12.所以幾何體的表面積SS圓錐側(cè)S圓柱側(cè)S底面2(3).(2)因?yàn)樗睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)都相等，底面是正方形，所以該四棱錐為正四棱錐，如圖由題意知底面正方形的邊長(zhǎng)為2，正四棱錐的高為2，則正四棱錐的斜高PE.所以該四棱錐的側(cè)面積S424，S表22444.(3)如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上底周長(zhǎng)為C，因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180，所以CSA.又C21020，所以SA20(cm)同理SB40(cm)所以ABSBSA20(cm)S表S側(cè)S上底S下底(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圓臺(tái)的表面積為1 100 cm2.(4)由三視圖知，該幾何體是一個(gè)正四棱柱與半球的組合體，

16、且正四棱柱的高為，底面對(duì)角線長(zhǎng)為4，球的半徑為2，所以該正四棱柱的底面正方形的邊長(zhǎng)為2，該幾何體的表面積S42222241216.本例(1)得到的是旋轉(zhuǎn)體，求解的關(guān)鍵是將旋轉(zhuǎn)體的表面積分割為圓錐的側(cè)面積與圓柱的側(cè)面積及底面積之和；本例(2)是有關(guān)多面體側(cè)面積的問(wèn)題，關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形，如棱柱中的矩形、棱臺(tái)中的直角梯形、棱錐中的直角三角形，它們是聯(lián)系高與斜高、邊長(zhǎng)等幾何元素間的橋梁，從而架起求側(cè)面積公式中的未知量與條件中已知幾何元素間的聯(lián)系；本例(3)是圓臺(tái)的側(cè)面積問(wèn)題，采用了還錐為臺(tái)的思想；本例(4)先由三視圖還原幾何體，求解的關(guān)鍵是正四棱柱及半球的數(shù)量關(guān)系確定，易錯(cuò)點(diǎn)是兩幾何體重疊部分

17、的表面積處理(2015全國(guó)卷)圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為1620，則r()A1B2C4D8B如圖，該幾何體是一個(gè)半球與一個(gè)半圓柱的組合體，球的半徑為r，圓柱的底面半徑為r，高為2r，則表面積S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故選B.空間幾何體的體積求空間幾何體的體積的常用方法(1)直接法：對(duì)于規(guī)則幾何體，直接利用公式計(jì)算即可若已知三視圖求體積，應(yīng)注意三視圖中的垂直關(guān)系在幾何體中的位置，確定幾何體中的線面垂直等關(guān)系，進(jìn)而利用公式求解(2)等積法：利用

18、三棱錐的“等積性”可以把任一個(gè)面作為三棱錐的底面(3)割補(bǔ)法：當(dāng)一個(gè)幾何體的形狀不規(guī)則時(shí)，常通過(guò)分割或者補(bǔ)形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€(gè)或幾個(gè)規(guī)則的、體積易求的幾何體，然后再計(jì)算經(jīng)?？紤]將三棱錐還原為三棱柱或長(zhǎng)方體，將三棱柱還原為平行六面體，將臺(tái)體還原為錐體 (1)如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，D為BC中點(diǎn)，則三棱錐AB1DC1的體積為()A3B.C1 D.(2)一題多解(2017全國(guó)卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90B63C42D36(3)如圖，正方體ABCD

19、A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)分別為線段AA1，B1C上的點(diǎn)，則三棱錐D1EDF的體積為_(kāi)(1)C(2)B(3)(1)(直接法)如題圖，在正ABC中，D為BC中點(diǎn)，則有ADAB，又平面BB1C1C平面ABC，平面BB1C1C平面ABCBC，ADBC，AD平面ABC，由面面垂直的性質(zhì)定理可得AD平面BB1C1C，即AD為三棱錐AB1DC1的底面B1DC1上的高，VAB1DC1SB1DC1AD21.(2)法一(分割法)：由題意知，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積V132436.上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積V232627.所以該組合

20、體的體積VV1V2362763.法二(補(bǔ)形法)：由題意知，該幾何體是一圓柱被一平面截去一部分后所得的幾何體，在該幾何體上方再補(bǔ)上一個(gè)與其相同的幾何體，讓截面重合，則所得幾何體為一個(gè)圓柱，故圓柱的底面半徑為3，高為10414，該圓柱的體積V13214126.故該幾何體的體積為圓柱體積的一半，即VV163.法三(估值法)：由題意，知V圓柱V幾何體V圓柱又V圓柱321090，所以45V幾何體90.觀察選項(xiàng)可知只有63符合(3)(等積法)三棱錐D1EDF的體積即為三棱錐FDD1E的體積因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AA1，B1C上的點(diǎn)，所以在正方體ABCDA1B1C1D1中，EDD1的面積為定值，F(xiàn)到平面AA1D1

21、D的距離為定值1，所以VD1EDFVFDD1E1.處理體積問(wèn)題的思路(1)“轉(zhuǎn)”：指的是轉(zhuǎn)換底面與高，將原來(lái)不易求面積的底面轉(zhuǎn)換為易求面積的底面，或?qū)⒃瓉?lái)不易看出的高轉(zhuǎn)換為易看出并易求解長(zhǎng)度的高；(2)“拆”：指的是將一個(gè)不規(guī)則的幾何體拆成幾個(gè)簡(jiǎn)單的幾何體，便于計(jì)算；(3)“拼”：指的是將小幾何體嵌入一個(gè)大幾何體中，如將一個(gè)三棱錐復(fù)原成一個(gè)三棱柱，將一個(gè)三棱柱復(fù)原成一個(gè)四棱柱，這些都是拼補(bǔ)的方法教師備選例題1(2019江蘇高考)如圖，長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐EBCD的體積是_10因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1的體積為120，所以ABBCCC1

22、120，因?yàn)镋為CC1的中點(diǎn)，所以CECC1，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知CC1底面ABCD，所以CE是三棱錐EBCD的底面BCD上的高，所以三棱錐EBCD的體積VABBCCEABBCCC112010.2.如圖所示，已知多面體ABCDEFG中，AB，AC，AD兩兩互相垂直，平面ABC平面DEFG，平面BEF平面ADGC，ABADDG2，ACEF1，則該多面體的體積為_(kāi)4法一：(分割法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CHDG于H，連接EH，即把多面體分割成一個(gè)直三棱柱DEHABC和一個(gè)斜三棱柱BEFCHG.由題意，知V三棱柱DEHABCSDEHAD22，V三棱柱BEFCHGSBEFDE2

23、2.故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG224.法二：(補(bǔ)形法)因?yàn)閹缀误w有兩對(duì)相對(duì)面互相平行，如圖所示，將多面體補(bǔ)成棱長(zhǎng)為2的正方體，顯然所求多面體的體積即該正方體體積的一半又正方體的體積V正方體ABHIDEKG238，故所求幾何體的體積為V多面體ABCDEFG84.1.如圖，直三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長(zhǎng)均為2，D為棱B1C1上任意一點(diǎn)，則三棱錐DA1BC的體積是_VDA1BCVB1A1BCVA1B1BCSB1BC.2(2019浙江高考)祖暅?zhǔn)俏覈?guó)南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“冪勢(shì)既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體Sh，其中S是柱體的底面

24、積，h是柱體的高若某柱體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該柱體的體積(單位：cm3)是()A158B162C182D324B(直接法)由三視圖得該棱柱的高為6，底面可以看作是由兩個(gè)直角梯形組合而成的，其中一個(gè)上底為4，下底為6，高為3，另一個(gè)的上底為2，下底為6，高為3，則該棱柱的體積為6162.故選B.3.如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為()A.B.C.D.A(分割法)如圖，分別過(guò)點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，取AD的中點(diǎn)O，連接GO

25、，易得GO，SAGDSBHC1，多面體的體積VV三棱錐EADGV三棱錐FBCHV三棱柱AGDBHC2V三棱錐EADGV三棱柱AGDBHC21.故選A.考點(diǎn)4與球有關(guān)的切、接問(wèn)題與球有關(guān)的切、接問(wèn)題的解法(1)旋轉(zhuǎn)體的外接球：常用的解題方法是過(guò)球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問(wèn)題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)多面體的外接球：常用的解題方法是將多面體還原到正方體和長(zhǎng)方體中再去求解若球面上四點(diǎn)P，A，B，C中PA，PB，PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體，利用2R求R.一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問(wèn)題：可補(bǔ)形成直三棱柱先借助幾何體

26、的幾何特征確定球心位置，然后把半徑放在直角三角形中求解(1)已知一個(gè)圓錐底面半徑為1，母線長(zhǎng)為3，則該圓錐內(nèi)切球的表面積為()ABC2D3(2)(2019福建十校聯(lián)考)已知三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，且AB，BC，AC2，則此三棱錐的外接球的體積為()A.B.C.D.(3)已知直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上，且BAC，AA1BC2，則球O的體積為()A4B8C12D20(1)C(2)B(3)A(1)依題意，作出圓錐與球的軸截面，如圖所示，設(shè)球的半徑為r，易知軸截面三角形邊AB上的高為2，因此，解得 r，所以圓錐內(nèi)切球的表面積為422，故選C.(2)AB，BC

27、，AC2，PA1，PC，PB2.以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱，作長(zhǎng)方體如圖所示，則長(zhǎng)方體的外接球同時(shí)也是三棱錐PABC的外接球長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為2，球的直徑為2，半徑R，因此，三棱錐PABC外接球的體積是R3()3.故選B.(3)在底面ABC中，由正弦定理得底面ABC所在的截面圓的半徑為r，則直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的半徑為R，則直三棱柱ABCA1B1C1的外接球的體積為R34.故選A.母題探究1.若將本例(3)的條件“BAC，AA1BC2”換為“AB3，AC4，ABAC，AA112”，則球O的半徑為_(kāi)如圖所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M.又AMBC，O

28、MAA16，所以球O的半徑ROA .2若將本例(3)的條件改為“正四面體的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上”，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為_(kāi)正四面體棱長(zhǎng)為a，則正四面體表面積為S14a2a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為S24r2，則.3若將本例(3)的條件改為“側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3的正四棱錐的各頂點(diǎn)都在以O(shè)為球心的球面上”，則其外接球的半徑為_(kāi)3依題意，得該正四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為36，高為3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該正四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3.通過(guò)本例(3)及母題探究訓(xùn)練，我們可以看出

29、構(gòu)造法、補(bǔ)形法等是處理“外接”問(wèn)題的主要方法，其關(guān)鍵是找到球心，借助勾股定理求球的半徑(1)錐體的外接球問(wèn)題，解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接球的特點(diǎn)，即球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離等于球的半徑(2)柱體的外接球問(wèn)題，其解題關(guān)鍵在于確定球心在多面體中的位置，找到球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系，結(jié)合原有多面體的特性求出球的半徑，然后再利用球的表面積和體積公式進(jìn)行正確計(jì)算1.(2018全國(guó)卷)設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐DABC體積的最大值為()A12B18C24D54B由等邊ABC的面積為9，可得AB29，所以AB6，所以等邊ABC的外

30、接圓的半徑為rAB2.設(shè)球的半徑為R，球心到等邊ABC的外接圓圓心的距離為d，則d2.所以三棱錐DABC高的最大值為246，所以三棱錐DABC體積的最大值為9618.2(2019南寧模擬)已知三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PAPB，則三棱錐PABC的外接球的體積為()A.B.C.27 D.27B三棱錐PABC中，ABC為等邊三角形，PAPBPC3，PABPBCPAC. PAPB，PAPC，PCPB.以PA，PB，PC為過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時(shí)也是三棱錐PABC的外接球正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為3，其外接球半徑R.因此三棱錐PABC的外接球的

31、體積V3.課外素養(yǎng)提升直觀想象巧解簡(jiǎn)單幾何體的外接球與內(nèi)切球問(wèn)題簡(jiǎn)單幾何體外接球與內(nèi)切球問(wèn)題是立體幾何中的難點(diǎn)，也是歷年高考重要的考點(diǎn)，幾乎每年都要考查，重在考查考生的直觀想象能力和邏輯推理能力此類問(wèn)題實(shí)質(zhì)是解決球的半徑長(zhǎng)或確定球心O的位置問(wèn)題，其中球心的確定是關(guān)鍵下面從六個(gè)方面分類闡述該類問(wèn)題的求解策略：利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線探索外接球半徑【例1】(2019東北三省四市模擬)已知邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC，D為BC的中點(diǎn)，沿AD進(jìn)行折疊，使折疊后的BDC，則過(guò)A，B，C，D四點(diǎn)的球的表面積為()A3B4C5D6C連接BC(圖略)，由題知幾何體ABCD為三棱錐，BDCD1，AD，BDAD，CDA

32、D，BDCD，將折疊后的圖形補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別是，1,1的長(zhǎng)方體，其體對(duì)角線長(zhǎng)為，故該三棱錐外接球的半徑是，其表面積為5.評(píng)析若幾何體存在三條兩兩垂直的線段或者三條線有兩個(gè)垂直，可構(gòu)造墻角模型(如下圖)，直接用公式(2R)2a2b2c2求出R.【素養(yǎng)提升練習(xí)】已知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是()A16B20C24D32C設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，高為h，球半徑為R，則正四棱柱的體積為Va2h16，a2,4R2a2a2h2441624，所以球的表面積為S24.利用長(zhǎng)方體的面對(duì)角線探索外接球半徑【例2】三棱錐中SABC，SABC，SBAC，SCAB.則

33、三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)14如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)AEa，BEb，CEc.則SCAB，SABC，SBAC.從而a2b2c214(2R)2，可得S4R214.故所求三棱錐的外接球的表面積為14.評(píng)析三棱錐的相對(duì)棱相等，探尋球心無(wú)從著手，注意到長(zhǎng)方體的相對(duì)面的面對(duì)角線相等，可在長(zhǎng)方體中構(gòu)造三棱錐，從而巧妙探索外接球半徑【素養(yǎng)提升練習(xí)】(2019全國(guó)卷)已知三棱錐PABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PAPBPC，ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF90， 則球O的體積為()A8B4C2D.D因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為PA，AB的中點(diǎn)，所以EFPB，因?yàn)镃EF90，所以EFCE，所以

34、PBCE.取AC的中點(diǎn)D，連接BD，PD，易證AC平面BDP，所以PBAC，又ACCEC，AC，CE平面PAC，所以PB平面PAC，所以PBPA，PBPC，因?yàn)镻APBPC，ABC為正三角形，所以PAPC，即PA，PB，PC兩兩垂直，將三棱錐PABC放在正方體中因?yàn)锳B2，所以該正方體的棱長(zhǎng)為，所以該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以三棱錐PABC的外接球的半徑R，所以球O的體積VR33，故選D.利用底面三角形與側(cè)面三角形的外心探索球心【例3】平面四邊形ABCD中，ABADCD1，BD，BDCD.將其沿對(duì)角線BD折成四面體ABCD，使平面ABD平面BCD.若四面體ABCD的頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體

35、積為()A.B3C.D2A如圖，設(shè)BD，BC的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn).因點(diǎn)F為底面直角BCD的外心，知三棱錐ABCD的外接球球心必在過(guò)點(diǎn)F且與平面BCD垂直的直線l1上又點(diǎn)E為底面直角ABD的外心，知外接球球心必在過(guò)點(diǎn)E且與平面ABD垂直的直線l2上因而球心為l1與l2的交點(diǎn)又FECD，CDBD知FE平面ABD.從而可知球心為點(diǎn)F.又ABAD1，CD1知BD，球半徑RFD.故V3.評(píng)析三棱錐側(cè)面與底面垂直時(shí)，可緊扣球心與底面三角形外心連線垂直于底面這一性質(zhì)，利用底面與側(cè)面的外心，巧探外接球球心，妙求半徑【素養(yǎng)提升練習(xí)】(2019廣州模擬)三棱錐PABC中，平面PAC平面ABC，ABAC，PAPCAC

36、2，AB4，則三棱錐PABC的外接球的表面積為()A23BC64DD如圖，設(shè)O為正PAC的中心，D為RtABC斜邊的中點(diǎn)，H為AC中點(diǎn)由平面PAC平面ABC.則OH平面ABC.作OOHD，ODOH，則交點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，連接OP，又OPPH2，OODHAB2.R2OP2OP2OO24.故幾何體外接球的表面積S4R2.利用直棱柱上下底面外接圓圓心的連線確定球心【例4】一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為_(kāi)設(shè)正六棱柱底面邊長(zhǎng)為a，正六棱柱的高為h，底面外接圓的半徑為r，則a，底面積為S62，V

37、柱Shh，h，R2221，R1，球的體積為V.評(píng)析直棱柱的外接球、圓柱的外接球模型如圖：其外接球球心就是上下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)【素養(yǎng)提升練習(xí)】(2017全國(guó)卷)已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A.B.C.D.B設(shè)圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R1，由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形r.圓柱的體積為Vr2h1.故選B.錐體的內(nèi)切球問(wèn)題圖(1)題設(shè)：如圖，三棱錐PABC是正三棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，E，H分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求DHCD，POPHr，

38、PD是側(cè)面ABP的高；第三步：由POEPDH，建立等式：，解出r.圖(2)題設(shè)：如圖，四棱錐PABC是正四棱錐，求其內(nèi)切球的半徑第一步：先畫出內(nèi)切球的截面圖，P，O，H三點(diǎn)共線；第二步：求FHBC，POPHr，PF是側(cè)面PCD的高；第三步：由POGPFH，建立等式：，解出r.(3)題設(shè)：三棱錐PABC是任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半徑方法：等體積法，三棱錐PABC體積等于內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和；第一步：先求出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，球心為O，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBCVPABCSABCrSPABrSPACrS

39、PBCr(SABCSPABSPACSPBC)r；第三步：解出r.【例5】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為m的正方形，PD底面ABCD，且PDm，PAPCm，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)放一個(gè)球，則此球的最大半徑是_(2)m由PD底面ABCD得PDAD.又PDm，PAm，則ADm.設(shè)內(nèi)切球的球心為O，半徑為R，連接OA，OB，OC，OD，OP(圖略)，易知VPABCDVOABCDVOPADVOPABVOPBCVOPCD，即m2mm2Rm2Rm2Rm2Rm2R，解得R(2)m，所以此球的最大半徑是(2)m.評(píng)析結(jié)合本題的條件，采用體積分割法求解本題【素養(yǎng)提升練習(xí)】有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面

40、是頂角的余弦值為的等腰三角形在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注水，使水面與球正好相切，然后將球取出，則這時(shí)容器中水的深度為_(kāi)r如圖，作出軸截面，因?yàn)檩S截面是頂角的余弦值為的等腰三角形，所以頂角為，所以該軸截面為正三角形根據(jù)切線性質(zhì)知當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水的深度為3r，水面所在圓的半徑為r，則容器內(nèi)水的體積V(r)23rr3r3.將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積V2hh3，由VV，得hr，所以這時(shí)容器中水的深度為r.柱體的內(nèi)切球問(wèn)題【例6】(2016全國(guó)卷)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球若ABBC，AB6，BC8，AA13，則V的最大值是()A4BC6DB由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為R，ABC的內(nèi)切圓半徑為2，R2.又2R3，R，Vmax3.故選B.評(píng)析解答本題的關(guān)鍵是當(dāng)V取得最大值時(shí)，球與上下底面還是與側(cè)面相切的問(wèn)題【素養(yǎng)提升練習(xí)】體積為的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為_(kāi)6設(shè)球的半徑為R，由R3，得R1，所以正三棱柱的高h(yuǎn)2.設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則a1，所以a2.所以V(2)226.26