5、】利用二倍角公式把已知函數(shù)化為關于的二次函數(shù)，再配方求得最值.
【題文】7．對于空間的一條直線m和兩個平面，下列命題中的真命題是
A.若則 B. .若則
C.若則 D. 若則
【知識點】空間中的平行關系；空間中的垂直關系. G4 G5
【答案解析】C 解析：若則平面可能平行可能相交，所以A,B是假命題；顯然若則成立，故選C.
【思路點撥】根據(jù)線面平行的性質，線面垂直的性質得結論.
【題文】8．等比數(shù)列中，已知，則前5項和
A. B. C. D.
【知識點】等比數(shù)列及等比數(shù)列的前n項和. D3
【答案
6、解析】A 解析：由已知得，解得或
，所以或，故選A.
【思路點撥】由已知條件求得等比數(shù)列的首項和公比，進而求出前5項和.
【題文】9．已知中，BC=3，AC=4，AB=5點P是三邊上的任意一點，m=,則m的最小值是
A.-25 B. C. D.0
【知識點】平面向量數(shù)量積及數(shù)量積的坐標運算. F3
【答案解析】B 解析：由已知得是以C為直角頂點的直角三角形，所以以C為原點，CA所在直線為x軸，建立直角坐標系，則A(4，0),B(0，3),設P(x,y),則
，所以
當點P在線段CA上移動時，y=0, ,所以此時，當x=2時m有最小
7、值-4；
當點P在線段CB上移動時, ，所以此時，當y= 時
m有最小值；
當點P在線段AB上移動時, 且，所以此時
，當x=2時m有最小值.故選B.
【思路點撥】根據(jù)題意建立直角坐標系，利用數(shù)量積的坐標運算，把問題轉化為函數(shù)最值求解.
【題文】10．經(jīng)過雙曲線的一個焦點作垂直于實軸的直線，交雙曲線與Ａ，Ｂ兩點，交雙曲線的漸近線于Ｐ，Ｑ兩點，若｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，則雙曲線的離心率是
Ａ． ?。拢 。茫 。模?
【知識點】雙曲線的幾何性質. H6
【答案解析】D 解析：設雙曲線方程為，把x=c代入雙曲線方程可得
代入漸近線方程可得，因為｜
8、ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，所以
，又，所以可得.故選D.
【思路點撥】設出雙曲線方程，求得線段AB、PQ關于a,b,c的表達式，然后代入
｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，再與結合，求得離心率.
二、填空題（本大題共７小題，每小題４分，共２８分）
【題文】11．等差數(shù)列中，已知，則 ?。?
【知識點】等差數(shù)列的性質. D2
【答案解析】1007 解析：由得：.
【思路點撥】根據(jù)等差數(shù)列的性質：當，且時，
求解.
【題文】12．已知是鈍角，，則 .
【知識點】三角函數(shù)的求值. C7
【答案解析】 解析：因為是鈍角，，所以，
所以.
【思
9、路點撥】利用同角三角函數(shù)關系，兩角差的正弦公式求解.
【題文】13．垂直于直線x+2y-3=0且經(jīng)過點(2，1)的直線的方程 .
【知識點】兩條直線垂直的條件；直線的方程. H1 H2
【答案解析】 解析：因為所求直線與直線x+2y-3=0垂直，所以所求直線的斜率為2，又所求直線過點（2,1），所以所求直線方程為：y-1=2(x-2),即.
【思路點撥】根據(jù)互相垂直的直線斜率乘積為-1，得所求直線的斜率，再由直線方程的點斜式寫出直線方程.
【題文】14．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，
則該幾何體的體積是 .
【知識點】空間
10、幾何體的三視圖. G2
【答案解析】32 解析：由三視圖可知：此幾何體是四棱錐，其底面是鄰邊長分別為6, 4的矩形，且棱錐高為4，所以該幾何體的體積是.
【思路點撥】先由三視圖獲得此幾何體的結構，底面特點，棱的特點，然后求此幾何體的體積.
【題文】15．已知，則的最小值是 .
【知識點】簡單的線性規(guī)劃問題. E5
【答案解析】-4 解析：畫出可行域，平移目標函數(shù)為0的直線y=2x，得目標函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解是直線x+y+2=0與直線x-3y+2=0的交點A(-2，0),所以目標函數(shù)的最小值為：
.
【思路點撥】畫出可
11、行域，平移目標函數(shù)為0的直線y=2x，得目標函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解是方程組的解，所以目標函數(shù)的最小值為-4.
【題文】16．已知正實數(shù)a,b滿足，則ab的最小值是 .
【知識點】基本不等式的應用. E6
【答案解析】 解析：因為a>0,b>0,所以3 =.
當且僅當，即時等號成立，所以ab的最小值是.
【思路點撥】利用基本不等式求解.
【題文】17．若圓Ｃ與圓關于直線x+y-1=0對稱，則圓C的方程是 .
【知識點】圓的方程；對稱問題. H3
【答案解析】 解析：設C(a,b),因為已知圓的圓心A(-1,0),由點A、C
12、關于直線x+y-1=0對稱得，解得，又圓的半徑是1，所以圓C的方程是，即.
【思路點撥】由兩圓關于某條直線對稱，則兩圓圓心關于此直線對稱，因此設出圓心C的坐標（a,b）,由對稱軸垂直平分兩圓心確定的線段，得關于a,b的方程組求得a,b，又兩圓半徑相等，從而得到圓C方程.
三、解答題（本大題共5小題，共72分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
【題文】18．（本題14分）
在中，已知（1）求 角C; (2)若c=4,求a+b的最大值.
【知識點】解三角形；利用基本不等式求最值. C8 E6
【答案解析】（1）；（2）8. 解析：（1）因為，
所以． ┅4分
13、
又，故角． ┅8分
（2）因為，所以． ┅10分
又，所以，從而，其中時等號成立．
故，的最大值為8． ┅14分
【思路點撥】（1）利用余弦定理求角B；（2）利用余弦定理及基本不等式求a+b的最大值.
【題文】19已知數(shù)列滿足：
求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項；
若，求數(shù)列的前n項和.
【知識點】已知遞推公式求通項；數(shù)列求和. D1 D4
【答案解析】（1）證明略，（2） .
解析：（1）由，得．
所以，成等比，公比，首項． ┅4分
所以，，即． ┅8分
（2）， ┅10分
所以，數(shù)列的前項和
14、
┅12分
． ┅14分
【思路點撥】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義:從第二項起，后項與前項的比是同一個常數(shù)，所以只需求的值即可；（2）由（1）可得，它是由兩個等比數(shù)列和一個常數(shù)列的和構成的，所以可以用分組求和法求數(shù)列的前n項和.
【題文】20．(本題15分)
如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC，是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中點. （1）求證：平面PAB；
（2）設二面角A-PB-C的大小為，求的值.
【知識點】線面垂直的判定；二面角的求法. G5 G11
【答案解析】（1）證明：略；（2）．
解析：（1）因為底面，所以．
15、 ┅3分
因為△是正三角形，是的中點，所以． ┅6分
所以，平面． ┅7分
（第20題）
（2）（幾何法）
作于，連，則．
所以，是二面角的平面角． ┅11分
因為，，所以，．
從而，故． ┅15分
（向量法）
以為原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖．
平面的一個法向量． ┅10分
（第20題）
，．
設是平面的法向量，
則，取法向量． ┅13分
故． ┅15分
【思路點撥】（1）只需證明直線CM與平面PAB中兩條相交直線AB、AP垂直；
（2）（幾何法）作出二面角的平面角，構造含此角的三角形求解.
(向量法)
16、 建立空間直角坐標系，確定所求二面角中每一個半平面的一個法向量，因為兩法向量的夾角與二面角的平面角相等或互補，所以只需求這兩法向量夾角的余弦值即可.
【題文】21．(本題15分)
如圖，已知拋物線，點是x軸上的一點，經(jīng)過點P且斜率為1的直線與拋物線相交于A,B兩點.
當點P在x軸上時，求證線段AB的中點在一條直線上；
若(O為坐標原點)，求a的值.
【知識點】曲線與方程；直線與圓錐曲線. H9 H8
【答案解析】（1）證明：略；（2）. 解析：（1）設，，
中點為．則， ┅2分
又，，
所以，從而． ┅6分
故，線段的中點在直線上．
17、┅7分
（2）直線：，
由． ┅9分
，． ┅12分
若，則，即．
解得：． ┅15分
【思路點撥】(1)利用點差法求出線段AB的中點軌跡方程即可；
（2）把直線方程代入拋物線方程消去x得關于y的一元二次方程，再由弦長公式及已知條件得關于a的方程，解得a值.
【題文】22．(本題14分)
已知a>0，函數(shù).
試用定義證明：在上單調遞增；
若時，不等式恒成立，求a的取值范圍.
【知識點】(1)函數(shù)的單調性；不等式恒成立求參數(shù)范圍. B3 E1
【答案解析】（1）證明：略；（2）. 解析：（1）設，則
18、． ┅2分
因為，所以，，，
所以，即，
故，在上單調遞增． ┅6分
（2）在上單調遞減，在上單調遞增．
①若，則在上單調遞增，．
所以，，即，所以． ┅8分
②若，則在上單調遞減，在上單調遞增，
．所以，，即，所以． ┅10分
③若，則在上單調遞減，．
所以，，即，所以． ┅12分
綜合①②③，． ┅14分
【思路點撥】(1)根據(jù)函數(shù)單調性定義，在給定區(qū)間上任取兩個數(shù)，且，
通過判定的符號，來證明函數(shù)的單調性；（2）時，不等式恒成立，只需時即可，利用的單調性，通過討論a的取值情況，確定在區(qū)間上的最小值情況.
2022年高三數(shù)學上學期學科基礎測試試題 文（含解析）新人教A版
