《2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021版高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)教學案 理 北師大版（17頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第5講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
一、知識梳理
1．根式
(1)根式的概念
①若xn＝a，則x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N＋..式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．
②a的n次方根的表示：
xn＝a?
(2)根式的性質
①()n＝a(n∈N＋.，且n>1)；
②＝
2．有理數(shù)指數(shù)冪
(1)冪的有關概念
①正分數(shù)指數(shù)冪：a＝(a>0，m，n∈N＋.，且n>1)；
②負分數(shù)指數(shù)冪：a－＝＝(a>0，m，n∈N＋.，且n>1)；
③0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪無意義．
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質
①aras＝ar＋s(a>0，r，s
2、∈Q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．指數(shù)函數(shù)的圖象與性質
y＝ax (a>0且a≠1)
a>1
00時，y>1；當x<0時，00時，01
在R上是增函數(shù)
在R上是減函數(shù)
常用結論
1．指數(shù)函數(shù)圖象的畫法
畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，.
2.
指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較
如圖是指數(shù)函
3、數(shù)(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關系為c>d>1>a>b>0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大．
3．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象和性質跟a的取值有關，要特別注意應分a>1與0
4、稱．
解析：作出y＝2x與y＝2－x＝的圖象(圖略)，觀察可知其關于y軸對稱．
答案：y軸
3．已知函數(shù)f(x)＝ax－2＋2(a>0且a≠1)的圖象恒過定點A，則A的坐標為________．
解析：令x－2＝0，則x＝2，f(2)＝3，即A的坐標為(2，3)．
答案：(2，3)
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)＝()n＝a.( )
(2)(－1)＝(－1)＝.( )
(3)函數(shù)y＝a－x是R上的增函數(shù)．( )
(4)函數(shù)y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( )
(5)函數(shù)y＝2x－1是指數(shù)函數(shù)．( )
(6)
5、若am0，且a≠1)，則m
6、___．
解析：當a>1時，a＝2；當00且2≠1.
答案：(0，1)∪(1，＋∞)
指數(shù)冪的化簡與求值(自主練透)
1．化簡·(a>0，b>0)＝________．
解析：原式＝2×＝21＋3×10－1＝.
答案：
2．計算：＋0.002－－10(－2)－1＋π0＝________．
解析：原式＝＋500－＋1＝＋10－10－20＋1＝－.
答案：－
3．化簡：÷×＝________(a>0)．
解析：原式＝÷×＝a(a
7、－2b)××＝a2.
答案：a2
指數(shù)冪運算的一般原則
(1)有括號的先算括號里的，無括號的先算指數(shù)運算．
(2)先乘除后加減，負指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)．
(3)底數(shù)是小數(shù)，先化成分數(shù)；底數(shù)是帶分數(shù)的，先化成假分數(shù)．
(4)若是根式，應化為分數(shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運用指數(shù)冪的運算性質來解答．
[提醒] 運算結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負指數(shù)，形式力求統(tǒng)一．
指數(shù)函數(shù)的圖象及應用(典例遷移)
(1)函數(shù)f(x)＝21－x的大致圖象為( )
(2)若函數(shù)y＝|3x－1|在(－∞，k]上遞減，則k的取值范圍為_
8、_______．
【解析】 (1)函數(shù)f(x)＝21－x＝2×，遞減且過點(0，2)，選項A中的圖象符合要求．
(2)函數(shù)y＝|3x－1|的圖象是由函數(shù)y＝3x的圖象向下平移一個單位后，再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示．
由圖象知，其在(－∞，0]上遞減，所以k的取值范圍為(－∞，0]．
【答案】 (1)A (2)(－∞，0]
【遷移探究1】 (變條件)本例(2)變?yōu)椋喝艉瘮?shù)f(x)＝|3x－1|－k有一個零點，則k的取值范圍為________．
解析：
函數(shù)f(x)有一個零點，即y＝|3x－1|與y＝k有一個交點．由本例(2)得y＝
9、|3x－1|的圖象如圖所示，
故當k＝0或k≥1時，直線y＝k與函數(shù)y＝|3x－1|的圖象有唯一的交點，所以函數(shù)f(x)有一個零點．
答案：{0}∪[1，＋∞)
【遷移探究2】 (變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù)y＝|3x－1|＋m的圖象不經過第二象限，則實數(shù)m的取值范圍是________．
解析：作出函數(shù)y＝|3x－1|＋m的圖象如圖所示．
由圖象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]．
答案：(－∞，－1]
應用指數(shù)函數(shù)圖象的4個技巧
(1)畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應抓住三個關鍵點：(1，a)，(0，1)，.
(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般
10、是取特殊點，判斷所給的圖象是否過這些點，若不滿足則排除．
(3)對于有關指數(shù)型函數(shù)的圖象問題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過平移、伸縮、對稱變換而得到．特別地，當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論．
(4)有關指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結合求解．
1.
函數(shù)f(x)＝ax－b的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結論正確的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0
C．00 D．0
11、減，所以0
12、＝25，則( )
A．b
13、－e－x，則f(x)在R上單調遞增，又f(x－1)＞－e2＝f(－2)，所以x－1＞－2，解得x＞－1，故選B.
【答案】 (1)A (2)B
角度二 指數(shù)型復合函數(shù)的單調性
(1)函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間為________．
(2)已知函數(shù)f(x)＝2|2x－m|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間[2，＋∞)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是________．
【解析】 (1)設u＝－x2＋2x＋1，
因為y＝在R上為減函數(shù)，
所以函數(shù)f(x)＝的減區(qū)間即為函數(shù)u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間．
又u＝－x2＋2x＋1的增區(qū)間為(－∞，1]，
所以f(x)的減區(qū)間為(－∞，1]．
(2
14、)令t＝|2x－m|，則t＝|2x－m|在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．而y＝2t為R上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上單調遞增，則有≤2，即m≤4，所以m的取值范圍是(－∞，4]．
【答案】 (1)(－∞，1] (2)(－∞，4]
角度三 指數(shù)函數(shù)性質的綜合問題
已知函數(shù)f(x)＝.
(1)若f(x)有最大值3，求a的值；
(2)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
【解】 (1)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由于f(x)有最大值3，
所以g(x)應有最小值－1，
因此必有解得a＝1，
即當f(x)有最大值3時，a的
15、值等于1.
(2)令g(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，
由指數(shù)函數(shù)的性質知，
要使y＝的值域為(0，＋∞)．
應使g(x)＝ax2－4x＋3的值域為R，
因此只能a＝0.(因為若a≠0，則g(x)為二次函數(shù)，其值域不可能為R)
故f(x)的值域為(0，＋∞)時，a的值為0.
(1)利用指數(shù)函數(shù)的性質比較大小或解不等式，最重要的是“同底”原則．
(2)求解與指數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)問題，要明確復合函數(shù)的構成，涉及值域、單調區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質分析判斷．
1．設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a，b，c的大小關
16、系是 ( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：選C.因為指數(shù)函數(shù)y＝0.6x在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，
所以0.60.6＞0.61.5，即a＞b，
又0＜0.60.6＜1，1.50.6＞1，
所以a＜c，
故選C.
2．若偶函數(shù)f(x)滿足f(x)＝2x－4(x≥0)，則不等式f(x－2)>0的解集為________．
解析：因為f(x)為偶函數(shù)，
當x<0時，－x>0，則f(x)＝f(－x)＝2－x－4.
所以f(x)＝
當f(x－2)>0時，有或
解得x>4或x<0.
所以不等式的解集為{x|x>4或x<0
17、}．
答案：{x|x>4或x<0}
3．已知函數(shù)f(x)＝(a>0且a≠1)．
(1)求f(x)的定義域和值域；
(2)討論f(x)的奇偶性；
(3)討論f(x)的單調性．
解：(1)f(x)的定義域是R，令y＝，得ax＝－，因為≠1在定義域內恒成立，所以y≠1.
因為ax>0，所以－>0，
解得－11時，a x2
18、>ax1>0，
從而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)a x2>0，
從而ax1＋1>0，a x2＋1>0，ax1－a x2>0，
所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，f(x)為R上的減函數(shù)．
[基礎題組練]
1．函數(shù)f(x)＝1－e|x|的圖象大致是( )
解析：選A.將函數(shù)解析式與圖象對比分析，因為函數(shù)f(x)＝1－e|x|是偶函數(shù)，且值域是(－∞，0]，只有A滿足上述兩個性質．
2．(2019·高考全國卷Ⅰ)已
19、知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則( )
A．a1，c＝0.20.3∈(0，1)，所以a
20、故選D.
4．已知函數(shù)f(x)＝則函數(shù)f(x)是( )
A．偶函數(shù)，在[0，＋∞)上是增加的
B．偶函數(shù)，在[0，＋∞)上是減少的
C．奇函數(shù)，且是增加的
D．奇函數(shù)，且是減少的
解析：選C.易知f(0)＝0，當x>0時，f(x)＝1－2－x，－f(x)＝2－x－1，此時－x<0，則f(－x)＝2－x－1＝－f(x)；當x<0時，f(x)＝2x－1，－f(x)＝1－2x，此時－x>0，則f(－x)＝1－2－(－x)＝1－2x＝－f(x)．即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且單調遞增，故選C.
5．設x>0，且1
21、0，所以b>1，
因為bx1，
因為x>0，所以>1，
所以a>b，所以10，且a≠1)的圖象經過第二、三、四象限，則ab的取值范圍是________．
解析：因為函數(shù)y＝ax－b的圖象經過第二、三、四象限，所以函數(shù)y＝ax－b遞減且其圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上．令x＝0，則y＝a0－b＝1－b，由題意得解得故ab∈(0，1)．
答案：(0，1)
7．不等式<恒成立，則a的取值范圍是________．
解析：由題意，y＝是減函數(shù)，
22、
因為<恒成立，
所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，
所以x2＋(a－2)x－a＋2>0恒成立，
所以Δ＝(a－2)2－4(－a＋2)<0，
即(a－2)(a－2＋4)<0，
即(a－2)(a＋2)<0，
故有－2
23、能成立．
答案：①②⑤
9．設f(x)＝.
(1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；
(2)討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上的單調性．
解：(1)根據題意，f(x)＝，
則f(－x)＝＝＝＝f(x)，
所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)．
(2)因為f(x)＝＝－x＋，
所以f′(x)＝－1＋＝－1＋－，
因為x＞0，所以2x＋1＞2，
所以＜1，
所以－1＋＜0，
所以f′(x)＜0，
故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減少的．
10．已知函數(shù)f(x)＝2a·4x－2x－1.
(1)當a＝1時，求函數(shù)f(x)在x∈[－3，0]上的值域；
(2)若關于x的方程f(x)＝0
24、有解，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝1時，f(x)＝2·4x－2x－1
＝2(2x)2－2x－1，
令t＝2x，x∈[－3，0]，則t∈.
故y＝2t2－t－1＝2－，
t∈，故值域為.
(2)關于x的方程2a(2x)2－2x－1＝0有解，
設2x＝m>0，
等價于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解，
記g(m)＝2am2－m－1，
當a＝0時，解為m＝－1<0，不成立．
當a<0時，開口向下，對稱軸m＝<0，
過點(0，－1)，不成立．
當a>0時，開口向上，
對稱軸m＝>0，過點(0，－1)，必有一個根為正，綜上得a>0.
[綜合題組練]
1．
25、已知0aa，babb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.故選C.
2．已知函數(shù)f(x)＝|2x－1|，af(c)>f(b)，則下列結論中，一定成立的是( )
A．a<0，b<0，c<0
B．a<0，b≥0，c>0
C．2－a<2c
D．2a＋2c<2
解析：選D.
作出函數(shù)f(x)＝|2x－1|的圖象
26、，如圖，
因為af(c)>f(b)，
結合圖象知，00，
所以0<2a<1.
所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a<1，
所以f(c)<1，所以0f(c)，
所以1－2a>2c－1，
所以2a＋2c<2，故選D.
3．設y＝f(x)在(－∞，1]上有定義，對于給定的實數(shù)K，定義fK(x)＝給出函數(shù)f(x)＝2x＋1－4x，若對于任意x∈(－∞，1]，恒有fK(x)＝f(x)，則( )
A．K的最大值為0
B．K的最小值為0
C．K的最
27、大值為1
D．K的最小值為1
解析：選D.根據題意可知，對于任意x∈(－∞，1]，若恒有fK(x)＝f(x)，則f(x)≤K在x≤1上恒成立，即f(x)的最大值小于或等于K即可．
令2x＝t，則t∈(0，2]，f(t)＝－t2＋2t＝－(t－1)2＋1，可得f(t)的最大值為1，所以K≥1，故選D.
4．設a>0，且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1，1]上的最大值是14，則實數(shù)a的值為________．
解析：令t＝ax(a>0，且a≠1)，
則原函數(shù)化為y＝f(t)＝(t＋1)2－2(t>0)．
①當0
28、函數(shù)．
所以f(t)max＝f＝－2＝14.
所以＝16，解得a＝－(舍去)或a＝.
②當a>1時，x∈[－1，1]，t＝ax∈，
此時f(t)在上是增函數(shù)．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．綜上得a＝或3.
答案：或3
5．已知定義域為R的函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求a，b的值；
(2)若對任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范圍．
解：(1)因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，
即＝0，解得b＝1，
所以f(x)＝.
又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2.
(2)由(1)知f(x)＝＝－＋，
由上式易知f(x)在R上為減函數(shù)，
又因為f(x)是奇函數(shù)，
從而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等價于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．
因為f(x)是R上的減函數(shù)，由上式推得t2－2t>－2t2＋k.
即對一切t∈R有3t2－2t－k>0，
從而Δ＝4＋12k<0，
解得k<－.
故k的取值范圍為.
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