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1、2022年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)分類自測(cè) 數(shù)列的綜合問題 理
一、選擇題
1.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果,預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn(萬件)近似地滿足關(guān)系式Sn=(21n-n2-5)(n=1,2,…,12),按此預(yù)測(cè),在本年度內(nèi),需求量超過1.5萬件的月份是( )
A.5、6月 B.6、7月
C.7、8月 D.8、9月
2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若=a100+a101,且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過點(diǎn)O),則S200等于( )
A.100 B.101
C.200 D.201
3.在數(shù)列{an}中
2、,對(duì)任意n∈N*,都有=k(k為常數(shù)),則稱{an}為“等差比數(shù)列”.下面對(duì)“等差比數(shù)列”的判斷:
①k不可能為0;
②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;
③等比數(shù)列一定是等差比數(shù)列;
④通項(xiàng)公式為an=a·bn+c(a≠0,b≠0,1)的數(shù)列一定是等差比數(shù)列.
其中正確的判斷為( )
4.已知{an}為等差數(shù)列,其公差為-2,且a7是a3與a9的等比中項(xiàng),Sn為{an}的前n項(xiàng)和,n∈N*,則S10的值為( )
A.-110 B.-90
C.90 D.110
5.已知x>1,y>1,且lnx,,lny成等比數(shù)列,則xy( )
A.有最大值e
3、 B.有最小值e
C.有最大值 D.有最小值
6.已知數(shù)列{an},{bn}滿足a1=1,且an,an+1是函數(shù)f(x)=x2-bnx+2n的兩個(gè)零點(diǎn),則b10等于( )A.24 B.32C.48 D.64
二、填空題
7.若數(shù)列{an}滿足-=d(n∈N*,d為常數(shù)),則稱數(shù)列{an}為調(diào)和數(shù)列.記數(shù)列{}為調(diào)和數(shù)列,且x1+x2+…+x20=200,則x5+x16=________.
8.設(shè)1=a1≤a2≤…≤a7,其中a1,a3,a5,a7成公比為q的等比數(shù)列,a2,a4,a6成公差為1的等差數(shù)列,則q的最小值是________.
4、
9.已知f(x)是定義在R上不恒為零的函數(shù),對(duì)于任意的x,y∈R,都有f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立.?dāng)?shù)列{an}滿足an=f(2n)(n∈N*),且a1=2.則數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=________.
三、解答題
10.已知函數(shù)f(x)=ax的圖象過點(diǎn)(1,),且點(diǎn)(n-1,)(n∈N*)在函數(shù)f(x)=ax的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=an+1-an,若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求證:Sn<5.
11.某企業(yè)在第1年初購(gòu)買一臺(tái)價(jià)值為120萬元的設(shè)備M,M的價(jià)值在使用過程中逐年減少.從第2年到第6年,每年初M的價(jià)
5、值比上年初減少10萬元;從第7年開始,每年初M的價(jià)值為上年初的75%.
(1)求第n年初M的價(jià)值an的表達(dá)式;
(2)設(shè)An=,若An大于80萬元,則M繼續(xù)使用,否則須在第n年初對(duì)M更新.證明:須在第9年初對(duì)M更新.
12.設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a3+a5=40.設(shè)bn=log2an.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)若c1=1,cn+1=cn+,求證:cn<3;
(3)是否存在正整數(shù)k,使得++…+>對(duì)任意正整數(shù)n均成立?若存在,求出k的最大值,若不存在,說明理由.
一、選擇題
1.解析:
6、由Sn解出an=(-n2+15n-9),再解不等式(-n2+15n-9)>1.5,得6
7、a=a3a9,又因?yàn)楣顬椋?,所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20,
通項(xiàng)公式為an=20+(n-1)(-2)=22-2n,
所以S10==5(20+2)=110.
答案:D
5.解析:∵lnx,,lny成等比數(shù)列,∴=lnxlny,
∵x>1, y>1,∴l(xiāng)nx>0,lny>0.
∴l(xiāng)nx+lny≥2=1(當(dāng)且僅當(dāng)lnx=lny時(shí)等號(hào)成立),
即lnx+lny=lnxy的最小值為1,故xy的最小值為e.
答案:B
6.解析:依題意有anan+1=2n,所以an+1an+2=2n+1,兩式相除得=2,所以a1,a3,a5,…成等比數(shù)列,a2,a4
8、,a6,…也成等比數(shù)列,而a1=1,a2=2,所以a10=2×24=32,a11=1×25=32,又因?yàn)閍n+an+1=bn,所以b10=a10+a11=64.
答案:D
二、填空題
7.解析:由題意知,-=d,即xn+1-xn=d,
{xn}是等差數(shù)列,又x1+x2+…+x20=200,所以x5+x16=x1+x20=20.
答案:20
8.解析:設(shè)a2=t,則1≤t≤q≤t+1≤q2≤t+2≤q3,由于t≥1,所以q≥max{t,,},故q的最小值是.
答案:
9.解析:令x=2,y=2n-1,則f(x·y)=f(2n)=2f(2n-1)+2n-1f(2),即f(2n)=2
9、f(2n-1)+2n-1a1,即an=2an-1+2n,=+1,所以數(shù)列{}為等差數(shù)列,由此可得an=n·2n.
答案:n·2n
三、解答題
10.解:(1)∵函數(shù)f(x)=ax的圖象過點(diǎn)(1,),
∴a=,f(x)=()x.
又點(diǎn)(n-1,)(n∈N*)在函數(shù)f(x)=ax的圖象上,從而=,即an=.
(2)由bn=-=得,
Sn=++…+,
則Sn=++…++,
兩式相減得:Sn=+2(++…+)-,
∴Sn=5-,
∴Sn<5.
11.解:(1)當(dāng)n≤6時(shí),數(shù)列{an}是首項(xiàng)為120,公差為-10的等差數(shù)列,
an=120-10(n-1)=130-10n;
當(dāng)
10、n≥7時(shí),數(shù)列{an}是以a6為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,又a6=70,所以an
=70×()n-6.
因此,第n年初,M的價(jià)值an的表達(dá)式為
an=
(2)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,由等差及等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤6時(shí),Sn=120n-5n(n-1),
An=120-5(n-1)=125-5n;
當(dāng)n≥7時(shí),由于S6=570,故Sn=S6+(a7+a8+…+an)
=570+70××4×[1-()n-6]
=780-210×()n-6,
An=.
因?yàn)閧an}是遞減數(shù)列,所以{An}是遞減數(shù)列,
又A8==82>80,
A9==76<80,
所以須在
11、第9年初對(duì)M更新.
12.解:(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q(q>0),
由題意有,
∴a1=q=2,∴an=2n,
∴bn=n.
(2)∵c1=1<3,cn+1-cn=,
當(dāng)n≥2時(shí),cn=(cn-cn-1)+(cn-1-cn-2)+…+(c2-c1)+c1=1+++…+,
∴cn=+++…+.
相減整理得:cn=1+1++…+-=3-<3,
故cn<3.
(3)令f(n)=++…+
=++…+
∵f(n+1)-f(n)=+-
=->0,
∴f(n+1)>f(n).
∴數(shù)列{f(n)}單調(diào)遞增,
∴f(n)min=f(1)=.
由不等式恒成立得:<,
∴k<5.
故存在正整數(shù)k,使不等式恒成立,k的最大值為4.