2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案 文 北師大版

《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第3章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 經(jīng)典微課堂 突破疑難系列1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)教學(xué)案 文 北師大版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、突破疑難點(diǎn)1構(gòu)造函數(shù)證明不等式(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第54頁(yè))構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明常見的構(gòu)造方法有：(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)g(x)(f(x)g(x)轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0(f(x)g(x)0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)；(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見的放縮結(jié)論，如ln xx1，exx1，ln xxex(x0)，ln(x1)x(x1)；(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右

2、兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號(hào)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解方法高考示例思維過程直接構(gòu)造法(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)xaln x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：a2.(2)證明：由(1)知，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a2.由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2ax10(函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0)，所以x1x21.不妨設(shè)x1x2，則x21(注意原函數(shù)的定義域).由于1a2a2a，所以a2

3、等價(jià)于x22ln x20.【關(guān)鍵1：將所證不等式進(jìn)行變形與化簡(jiǎn)】設(shè)函數(shù)g(x)x2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)單調(diào)遞減，【關(guān)鍵2：直接構(gòu)造函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性】又g(1)0，從而當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，所以x22ln x20，即a2.【關(guān)鍵3：結(jié)合單調(diào)性得到函數(shù)最值，證明不等式】適當(dāng)放縮構(gòu)造法(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)aexln x1.(1)設(shè)x2是f(x)的極值點(diǎn)，求a，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)0.(2)證明：當(dāng)a時(shí)，f(x)ln x1.【關(guān)鍵1：利用不等式性質(zhì)放縮，將a代換掉】設(shè)g(x)ln x1，【關(guān)鍵2：利用不等式右邊構(gòu)造函數(shù)】則g(

4、x).當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0；當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.所以x1是g(x)的最小值點(diǎn)【關(guān)鍵3：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值】故當(dāng)x0時(shí)，g(x)g(1)0.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值使放縮后的不等式得到證明】因此，當(dāng)a時(shí)，f(x)0.構(gòu)造雙函數(shù)法(2014全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(1)求a，b；(2)證明：f(x)1.(2)證明：由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)1等價(jià)于xln xxex.【關(guān)鍵1：將所證不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，為構(gòu)造雙函數(shù)創(chuàng)造條件】設(shè)函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x，所以當(dāng)x0，時(shí)，g

5、(x)0；當(dāng)x，時(shí)，g(x)0.故g(x)在0，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，從而g(x)在(0，)上的最小值為g.【關(guān)鍵2：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最小值】設(shè)函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0.故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1).【關(guān)鍵3：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求最大值】因?yàn)間(x)mingh(1)h(x)max，所以當(dāng)x0時(shí)，g(x)h(x)，即f(x)1.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】突破疑難點(diǎn)2利用分類討論法確定參數(shù)取值范圍(

6、對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第55頁(yè))一般地，若af(x)對(duì)xD恒成立，則只需af(x)max；若af(x)對(duì)xD恒成立，則只需af(x)min.若存在x0D，使af(x0)成立，則只需af(x)min；若存在x0D，使af(x0)成立，則只需af(x0)max.由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍常見有兩種情況，一種先利用綜合法，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間大小關(guān)系的決定條件，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，得到最值，構(gòu)造不等式求解；另外一種，直接通過導(dǎo)函數(shù)的式子，看出導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，通常導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)或者一次函數(shù)方法高考示例思維過程結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論(2017全國(guó)卷)已知函數(shù)f(

7、x)x1aln x.(1)若f(x)0，求a的值；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)于任意正整數(shù)n，m，求m的最小值.(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)(求函數(shù)定義域).若a0，因?yàn)閒aln 20，所以不滿足題意【關(guān)鍵1：利用原函數(shù)解析式的特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)】若a0，由f(x)1知，當(dāng)x(0，a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(a，)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減，在(a，)上單調(diào)遞增【關(guān)鍵2：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分類討論】故xa是f(x)在(0，)上的唯一最小值點(diǎn).由于f(1)0，所以當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)，f(x)0，故a1.(2015全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)emxx2mx.(1)證明：f(x)在(，0)上單

8、調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增；(2)若對(duì)于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范圍.(2)由(1)知，對(duì)任意的m，f(x)在1,0上單調(diào)遞減，在0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在x0處取得最小值所以對(duì)于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1的充要條件是即【關(guān)鍵1：利用充要條件把不等式恒成立等價(jià)轉(zhuǎn)化】設(shè)函數(shù)g(t)ette1，則g(t)et1.【關(guān)鍵2：直接構(gòu)造函數(shù)，并求導(dǎo)】當(dāng)t0時(shí)，g(t)0；當(dāng)t0時(shí)，g(t)0.故g(t)在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增又g(1)0，g(1)e12e0，故當(dāng)t1,1時(shí)，g(t)0.【關(guān)鍵3：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分

9、類討論】故當(dāng)m1,1時(shí)，g(m)0，g(m)0，即式成立；當(dāng)m1時(shí)，由g(t)的單調(diào)性，知g(m)0，即emme1；當(dāng)m1時(shí)，g(m)0，即emme1.【關(guān)鍵4：通過分類討論得到參數(shù)的取值范圍】綜上，m的取值范圍是1,1.由導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)直接分類討論(2014全國(guó)卷)函數(shù)f(x)ax33x23x(a0).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)，求a的取值范圍.(2)當(dāng)a0，x0時(shí)，f(x)3ax26x30.【關(guān)鍵1：函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的特點(diǎn)確定分類標(biāo)準(zhǔn)】故當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù).當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間(1,2)是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f(1)0且f(

10、2)0，解得a0.【關(guān)鍵2：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合需滿足的條件，求解關(guān)于參數(shù)的不等式，得到參數(shù)的取值范圍】綜上，a的取值范圍是(0，).突破疑難點(diǎn)3兩法破解函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第56頁(yè))兩類零點(diǎn)問題的不同處理方法：利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖像在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)f(b)0.直接法：判斷一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)f(b)0；分類討論法：判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)f(b)0.方法高考示例思維過程直接法(2017全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax2axx

11、ln x，且f(x)0.(1)求a；(2)證明：f(x)存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e2f(x0)22.(2)證明：由(1)知f(x)x2xxln x，f(x)2x2ln x.設(shè)h(x)2x2ln x，則h(x)2.當(dāng)x時(shí)，h(x)0；當(dāng)x時(shí)，h(x)0.所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增【關(guān)鍵1：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性】又h(e2)0，h0，h(1)0，所以h(x)在上有唯一零點(diǎn)x0，在上有唯一零點(diǎn)1，【關(guān)鍵2：利用零點(diǎn)存在性定理判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的位置】且當(dāng)x(0，x0)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(x0,1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0.因?yàn)閒(x)h(x)，所以xx0是

12、f(x)的唯一極大值點(diǎn)由f(x0)0得ln x02(x01)，故f(x0)x0(1x0)由x0得f(x0).【關(guān)鍵3：求二次函數(shù)值域得到f(x0)的范圍】因?yàn)閤x0是f(x)在(0,1)上的最大值點(diǎn)，由e1(0,1)，f(e1)0得f(x0)f(e1)e2，所以e2f(x0)22.【關(guān)鍵4：利用函數(shù)最值證明不等式】分類討論法(2015全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)x3ax，g(x)ln x.(1)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線yf(x)的切線；(2)用minm，n表示m，n中的最小值，設(shè)函數(shù)h(x)minf(x)，g(x)(x0)，討論h(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).(2)當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)ln x0，從而h(

13、x)minf(x)，g(x)g(x)0，故h(x)在(1，)上無零點(diǎn)【關(guān)鍵1：對(duì)x的取值分類討論，適當(dāng)放縮，判斷h(x)的符號(hào)，確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)】當(dāng)x1時(shí)，若a，則f(1)a0，h(1)minf(1)，g(1)g(1)0，故x1是h(x)的零點(diǎn)；若a，則f(1)0，h(1)minf(1)，g(1)f(1)0，故x1不是h(x)的零點(diǎn)【關(guān)鍵2：當(dāng)x的取值固定時(shí)，對(duì)參數(shù)a的取值分類討論，確定函數(shù)值的符號(hào)得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)】當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)ln x0，所以只需考慮f(x)在(0,1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).()若a3或a0，則f(x)3x2a在(0,1)上無零點(diǎn)，故f(x)在(0,1)上單調(diào)而f(0)，f

14、(1)a，所以當(dāng)a3時(shí)，f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a0時(shí)， f(x)在(0,1)上沒有零點(diǎn).()若3a0，則f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在(0,1)上，當(dāng)x時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f.若f0，即a0，則f(x)在(0,1)上無零點(diǎn)；若f0，即a，則f(x)在(0,1)上有唯一零點(diǎn)；若f0，即3a，由于f(0)，f(1)a，所以當(dāng)a時(shí)，f(x)在(0,1)上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)3a時(shí)，f(x)在(0,1)上有一個(gè)零點(diǎn)【關(guān)鍵3：當(dāng)x的取值固定在一個(gè)范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)參數(shù)a的取值分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性、最值、零點(diǎn)存在性定理得到零點(diǎn)個(gè)數(shù)】綜上，當(dāng)a或a時(shí)，h(x)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a或a

15、時(shí)，h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a時(shí)，h(x)有三個(gè)零點(diǎn).突破疑難點(diǎn)4兩法破解由零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定參數(shù)問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第57頁(yè))已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用的方法：(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分類討論法：一般命題情境為沒有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍方法高考示例思維

16、過程由導(dǎo)數(shù)特點(diǎn)分類討論(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.(2)設(shè)函數(shù)h(x)1ax2ex.f(x)在(0，)只有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0，)只有一個(gè)零點(diǎn)【關(guān)鍵1：構(gòu)造函數(shù)h(x)，將f(x)的零點(diǎn)情況轉(zhuǎn)化為h(x)的零點(diǎn)情況】()當(dāng)a0時(shí)，h(x)0，h(x)沒有零點(diǎn).()當(dāng)a0時(shí)，h(x)ax(x2)ex.【關(guān)鍵2：對(duì)參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況】當(dāng)x(0,2)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(2，)時(shí)，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增故h(2)1是

17、h(x)在(0，)的最小值【關(guān)鍵3：分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)最值】若h(2)0，即a，h(x)在(0，)沒有零點(diǎn)；若h(2)0，即a，h(x)在(0，)只有一個(gè)零點(diǎn)；若h(2)0，即a，由于h(0)1，所以h(x)在(0,2)有一個(gè)零點(diǎn).由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，exx2，所以h(4a)11110.故h(x)在(2,4a)有一個(gè)零點(diǎn)因此h(x)在(0，)有兩個(gè)零點(diǎn)【關(guān)鍵4：對(duì)函數(shù)最小值的符號(hào)分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷零點(diǎn)情況，求出參數(shù)值】綜上，f(x)在(0，)只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a.直接分類討論(2017全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(

18、2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)【關(guān)鍵1：針對(duì)f(x)解析式的特點(diǎn)，可對(duì)參數(shù)a直接分類討論】()若a0，由(1)知，當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)1ln a【關(guān)鍵2：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)最小值，進(jìn)而根據(jù)最小值直接判斷零點(diǎn)的情況】當(dāng)a1時(shí)，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a(1，)時(shí)，由于1ln a0，即f(ln a)0，故f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a(0,1)時(shí)，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e222e220，故f(x)在(，ln a)上有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)正整數(shù)n0滿足n0ln，則f(n0)en0(aen0a2)n0en0n02n0n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)上有一個(gè)零點(diǎn)【關(guān)鍵3：對(duì)參數(shù)a分類討論，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性與最小值判斷函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)取值范圍】綜上，a的取值范圍為(0,1).- 9 -