2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第4節(jié) 數(shù)列求和 理（含解析） 1．（xx山東，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)令bn＝(－1)n－1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)因?yàn)镾1＝a1，S2＝2a1＋×2＝2a1＋2， S4＝4a1＋×2＝4a1＋12， 由題意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)， 解得a1＝1，所以an＝2n－1. (2)bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1＝(－1)n－1. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， Tn＝－＋…＋－＝1－＝. 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

2、 Tn＝－＋…－＋＝1＋＝. 所以Tn＝ 2．（xx浙江，14分）已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}為等比數(shù)列，且a1＝2，b3＝6＋b2. (1)求an與bn； (2)設(shè)cn＝－(n∈N*)．記數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Sn. ①求Sn； ②求正整數(shù)k，使得對(duì)任意n∈N*，均有Sk≥Sn. 解：(1)由題意a1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6， 知a3＝()b3－b2＝8. 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝2n(n∈N*)． 所以a1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．

3、 故數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn＝n(n＋1)(n∈N*)． (2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)， 所以Sn＝＋＋…＋－＝1－－＝－(n∈N*)． ②因?yàn)閏1＝0，c2>0，c3>0，c4>0； 當(dāng)n≥5時(shí)， cn＝， 而－＝>0， 得≤<1， 所以，當(dāng)n≥5時(shí)，cn<0. 綜上，對(duì)任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4. 3．（xx江西，12分）已知首項(xiàng)都是1的兩個(gè)數(shù)列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)，滿足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0. (1)令cn＝，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝3n－1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.

4、解析：(1)因?yàn)閍nbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0，bn≠0(n∈N*)， 所以－＝2，即cn＋1－cn＝2. 所以數(shù)列{cn}是以首項(xiàng)c1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列，故cn＝2n－1. (2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1， 于是數(shù)列{an}前n項(xiàng)和 Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1， 3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n， 相減得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n， 所以Sn＝(n－1)3n＋1. 4．（xx四川，

5、12分）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，點(diǎn)(an，bn)在函數(shù)f(x)＝2x的圖象上(n∈N*)． (1)若a1＝－2，點(diǎn)(a8,4b7)在函數(shù)f(x)的圖象上，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn； (2)若a1＝1，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(a2，b2)處的切線在x軸上的截距為2－，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. 解：(1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7， 有2a8＝4×2a7＝2a7＋2， 解得d＝a8－a7＝2. 所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. (2)函數(shù)f(x)＝2x在(a2，b2)處的切線方程為 y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在

6、x軸上的截距為a2－. 由題意知，a2－＝2－， 解得a2＝2. 所以d＝a2－a1＝1. 從而an＝n，bn＝2n， 所以Tn＝＋＋＋…＋＋， 2Tn＝＋＋＋…＋. 因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝. 所以Tn＝. 5．（xx福建，5分）已知等比數(shù)列{an}的公比為q，記bn＝am(n－1)＋1＋am(n－1)＋2＋…＋am(n－1)＋m，cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m(m，n∈N*)，則以下結(jié)論一定正確的是(　　) A．?dāng)?shù)列{bn}為等差數(shù)列，公差為qm B．?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列，公比為q2m C．?dāng)?shù)列{cn}為等

7、比數(shù)列，公比為qm2 D．?dāng)?shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qmm 解析：本題考查等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生轉(zhuǎn)化和化歸能力、公式應(yīng)用能力和運(yùn)算求解能力．等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝a1qn－1，所以cn＝am(n－1)＋1·am(n－1)＋2·…·am(n－1)＋m＝a1qm(n－1)·a1qm(n－1)＋1·…·a1qm(n－1)＋m－1＝aqm(n－1)＋m(n－1)＋1＋…＋m(n－1)＋m－1＝aqm2(n－1)＋＝aqm2(n－1)＋，因?yàn)椋剑絨m2，所以數(shù)列{cn}為等比數(shù)列，公比為qm2. 答案：C　 6．（xx重慶，5分）已

8、知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________. 解析：本題考查等差、等比數(shù)列的基本量運(yùn)算，意在考查考生的基本運(yùn)算能力．因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，且a1，a2，a5成等比數(shù)列，所以a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2a1＝2，所以S8＝64. 答案：64 7．（xx江蘇，16分）設(shè){an}是首項(xiàng)為a，公差為d的等差數(shù)列(d≠0)，Sn是其前n項(xiàng)的和．記bn＝，n∈N*，其中 c為實(shí)數(shù)． (1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比數(shù)列，證明：Snk＝n2Sk(k，n∈N*)； (2)若{bn}是等差數(shù)列，證明：

9、c＝0. 證明：本題考查等差、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，意在考查考生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力與推理論證能力． 由題設(shè)，Sn＝na＋d. (1)由c＝0，得bn＝＝a＋d.又b1，b2，b4成等比數(shù)列，所以b＝b1b4，即2＝a，化簡(jiǎn)得d2－2ad＝0.因?yàn)閐≠0，所以d＝2a. 因此，對(duì)于所有的m∈N*，有Sm＝m2a. 從而對(duì)于所有的k，n∈N*，有Snk＝(nk)2a＝n2k2a＝n2Sk. (2)設(shè)數(shù)列{bn}的公差是d1，則bn＝b1＋(n－1)d1，即＝b1＋(n－1)d1，n∈N*，代入Sn的表達(dá)式，整理得，對(duì)于所有的n∈N*，有 n3＋n2＋cd1n＝c(d1

10、－b1)． 令A(yù)＝d1－d，B＝b1－d1－a＋d，D＝c(d1－b1)，則對(duì)于所有的n∈N*，有An3＋Bn2＋cd1n＝D.(*) 在(*)式中分別取n＝1,2,3,4，得 A＋B＋cd1＝8A＋4B＋2cd1＝27A＋9B＋3cd1＝64A＋16B＋4cd1， 從而有 由②，③得A＝0，cd1＝－5B，代入方程①，得B＝0，從而cd1＝0. 即d1－d＝0，b1－d1－a＋d＝0，cd1＝0. 若d1＝0，則由d1－d＝0，得d＝0，與題設(shè)矛盾，所以d1≠0. 又cd1＝0，所以c＝0. 8．（xx浙江，14分）在公差為d的等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，且a1，2

11、a2＋2,5a3成等比數(shù)列． (1)求d，an； (2) 若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|. 解：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力． (1)由題意得5a3·a1＝(2a2＋2)2， 即d2－3d－4＝0. 故d＝－1或d＝4. 所以an＝－n＋11，n∈N*或an＝4n＋6，n∈N*. (2)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.因?yàn)閐<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11.則 當(dāng)n≤11時(shí)，|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝Sn＝－n2＋n. 當(dāng)n≥12時(shí)，|a1|＋|a2|＋|

12、a3|＋…＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110. 綜上所述， |a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝ 9．（xx四川，12分）在等差數(shù)列{an}中，a1＋a3＝8，且a4為a2和a9的等比中項(xiàng)，求數(shù)列{an}的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和． 解：本題考查等差數(shù)列、等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查分類(lèi)與整合等數(shù)學(xué)思想．設(shè)該數(shù)列公差為d，前n項(xiàng)和為Sn.由已知，可得2a1＋2d＝8，(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)． 所以，a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0， 解得a1＝4，d＝0，或a1＝1，d＝3，即數(shù)列{an}的首項(xiàng)為4，公差為0，或首項(xiàng)為1，公差為

13、3. 所以，數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝4n或Sn＝. 10．（xx湖南，5分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＝(－1)nan－，n∈N*，則 (1)a3＝________； (2)S1＋S2＋…＋S100＝________. 解析：本小題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的求和等知識(shí)，考查推理論證能力及分類(lèi)討論思想． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝(－1)a1－，得a1＝－. 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝(－1)n(Sn－Sn－1)－.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn－1＝－，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＝Sn－1－，從而S1＝－，S3＝－，又由S3＝S2－＝－，得S2＝0，則S3＝S2＋a3＝a3＝－. (2)由(1

14、)得S1＋S3＋S5＋…＋S99＝－－－－…－，S101＝－， 又S2＋S4＋S6＋…＋S100＝2S3＋＋2S5＋＋2S7＋＋…＋2S101＋＝0，故S1＋S2＋…＋S100＝. 答案：－　 11．（xx湖南，13分）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1≠0,2an－a1＝S1·Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和． 解：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列求和，結(jié)合轉(zhuǎn)化思想，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． (1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a. 因?yàn)閍1≠0，所以a1＝1. 令n＝2，得2a2－1＝

15、S2＝1＋a2，解得a2＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，由2an－1＝Sn,2an－1－1＝Sn－1兩式相減得2an－2an－1＝an， 即an＝2an－1. 于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．因此，an＝2n－1. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)由(1)知，nan＝n·2n－1. 記數(shù)列{n·2n－1}的前n項(xiàng)和為Bn，于是 Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②得 －Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝2n－1－n·2n. 從而B(niǎo)n＝1＋(n－1)·2n. 1

16、2．（xx江西，12分）正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an； (2)令bn＝，數(shù)列{bn}的前項(xiàng)n項(xiàng)和為T(mén)n.證明：對(duì)于任意的n∈N*，都有Tn<. 解：本題主要考查求一類(lèi)特殊數(shù)列的和，意在考查考生的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想及運(yùn)算求解能力． (1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0， 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0. 由于{an}是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n. 于是a1＝S1＝2，n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n. 綜上，數(shù)列{a

17、n}的通項(xiàng)公式為an＝2n. (2)證明：由于an＝2n，故bn＝＝＝. Tn＝ ＝ <＝. 13．（xx山東，12分）在等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)對(duì)任意m∈N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9m,92m)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為bm，求數(shù)列{bm}的前m項(xiàng)和Sm. 解：(1)因?yàn)閧an}是一個(gè)等差數(shù)列， 所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28. 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d， 則5d＝a9－a4＝73－28＝45， 故d＝9. 由a4＝a1＋3d得28＝a1＋3×9，即a1＝1. 所以an＝a1

18、＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈N*)． (2)對(duì)m∈N*，若9m