2、數(shù)列{an}的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an－1(n≥2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫作數(shù)列的遞推公式．常用結(jié)論
常用結(jié)論
若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝即an＝Sn－Sn－1的應(yīng)用前提是n≥2，n∈N＋.
2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則若an最小，則
3．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列可以看成一類特殊的函數(shù)an＝f(n)，它的定義域是正整數(shù)集N＋或正整數(shù)集N＋的有限子集，所以它的圖像是一系列孤立的點(diǎn)，而不是連續(xù)的曲線．
二、教材衍化
1．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5＝________．
3、解析：a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝，a4＝1＋＝3，a5＝1＋＝.
答案：
2．根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝________．
答案：5n－4
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時(shí)都表示同一個(gè)數(shù)列．( )
(2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．( )
(3)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)．( )
(4)1，1，1，1，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．( )
(5)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列．( )
(6)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則
4、對(duì)任意的n∈N+，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)√
二、易錯(cuò)糾偏
(1)忽視數(shù)列是特殊的函數(shù)，其自變量為正整數(shù)集或其子集{1，2，…，n}；
(2)求數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值時(shí)忽視項(xiàng)為零的情況；
(3)根據(jù)Sn求an時(shí)忽視對(duì)n＝1的驗(yàn)證．
1．在數(shù)列－1，0，，，…，中，0.08是它的第________項(xiàng)．
解析：依題意得＝，解得n＝10或n＝(舍)．
答案：10
2．在數(shù)列{an}中，an＝－n2＋6n＋7，當(dāng)其前n項(xiàng)和Sn取最大值時(shí)，n＝________．
解析：由題可知n∈N+，令an＝－n2＋6n
5、＋7≥0，得1≤n≤7(n∈N+)，所以該數(shù)列的第7項(xiàng)為零，且從第8項(xiàng)開始an<0，則S6＝S7且最大．
答案：6或7
3．已知Sn＝2n＋3，則an＝________．
解析：因?yàn)镾n＝2n＋3，那么當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝21＋3＝5；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋3－(2n－1＋3)＝2n－1(*)．由于a1＝5不滿足(*)式，所以an＝
答案：
由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(自主練透)
1．?dāng)?shù)列1，3，6，10，…的一個(gè)通項(xiàng)公式是( )
A．a(chǎn)n＝n2－(n－1) B．a(chǎn)n＝n2－1
C．a(chǎn)n＝ D．a(chǎn)n＝
解析：選C.觀察
6、數(shù)列1，3，6，10，…可以發(fā)現(xiàn)
第n項(xiàng)為1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
所以an＝.
2．?dāng)?shù)列{an}的前4項(xiàng)是，1，，，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an＝________．
解析：數(shù)列{an}的前4項(xiàng)可變形為，，，，故an＝.
答案：
3．根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．
(1)－1，7，－13，19，…；
(2)0.8，0.88，0.888，…；
(3)，，－，，－，，….
解：(1)數(shù)列中各項(xiàng)的符號(hào)可通過(－1)n表示，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)的絕對(duì)值總比它的前一項(xiàng)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)．
(2)數(shù)列可變?yōu)?，，，…?
故a
7、n＝.
(3)各項(xiàng)的分母分別為21，22，23，24，…，易看出第2，3，4項(xiàng)的絕對(duì)值的分子分別比分母小3.
原數(shù)列化為－，，－，，…，
故an＝(－1)n.
由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具體策略
(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．
(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同，對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N+處理．
8、
an與Sn關(guān)系的應(yīng)用(多維探究)
角度一 利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式an
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝an＋，則的通項(xiàng)公式為an＝________．
【解析】 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以數(shù)列為首項(xiàng)a1＝1，公比q＝－的等比數(shù)列，故an＝－1.
【答案】?。?
【遷移探究】 (變條件)若將本例中的“Sn＝an＋”改為“Sn＝n2－2n＋2”，結(jié)論如何？
解：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3.由于n＝1時(shí)，a1＝1≠2×1－3，所以{an}
9、的通項(xiàng)公式為an＝
角度二 利用an與Sn的關(guān)系求Sn
設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn≠0，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________．
【解析】 因?yàn)?an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
所以 Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
因?yàn)?Sn≠0，所以 －＝1，即－＝－1.
又＝－1，所以 {}是首項(xiàng)為－1，公差為－1的等差數(shù)列．
所以 ＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以 Sn＝－.
【答案】 －
(1)已知Sn求an的三個(gè)步驟
①先利用a1＝S1求出a1；
②用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－
10、1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；
③注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并．
(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路
根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．
①利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解；
②利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．
1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n－3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n－3)－(2n－1－3)＝2n－2n－1＝2n－
11、1，a1不適合此等式．所以an＝
答案：
2．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn≠0，且當(dāng)n≥2時(shí)，有＝1成立，則S2 017＝________．
解析：當(dāng)n≥2時(shí)，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S＝－SnSn－1，所以－＝1，又＝2，所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以＝n＋1，故Sn＝，則S2 017＝.
答案：
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n2－2n＋1，求an.
解：設(shè)a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝T1＝3×12－2×1＋1＝2，
12、當(dāng)n≥2時(shí)，
nan＝Tn－Tn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]
＝6n－5，
因此an＝，
顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式．
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝
由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式(多維探究)
角度一 形如an＋1＝anf(n)，求an
在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解】 因?yàn)閍n＝an－1(n≥2)，
所以an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)個(gè)式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立．
所以an
13、＝(n∈N+)．
根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累乘法求出與n的關(guān)系式，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式．
角度二 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N+)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解】 由題意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
又因?yàn)閍1＝1，所以an＝(n≥2)．
因?yàn)楫?dāng)n＝1時(shí)也滿足上式，
所以an＝(n∈N+)．
根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是
14、可以求和的)的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法求出an－a1與n的關(guān)系式，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式．
角度三 形如an＋1＝pan＋q(p≠0且p≠1)，求an
已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解】 因?yàn)閍n＋1＝3an＋2，所以an＋1＋1＝3(an＋1)，所以＝3，所以數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列且公比q＝3，又a1＋1＝2，所以an＋1＝2·3n－1，所以an＝2·3n－1－1(n∈N+)．
根據(jù)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí)，一般先構(gòu)造公比為p的等比數(shù)列{an＋x}，即將原遞推關(guān)系式化為an＋1＋x＝p(
15、an＋x)的形式，再求出數(shù)列{an＋x}的通項(xiàng)公式，最后求{an}的通項(xiàng)公式．
角度四 形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))，求an
已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【解】 因?yàn)閍n＋1＝，a1＝1，所以an≠0，
所以＝＋，即－＝.
又a1＝1，則＝1，所以是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．
所以＝＋(n－1)×＝＋.所以an＝(n∈N+)．
根據(jù)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí)，一般對(duì)遞推式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，當(dāng)A≠C時(shí)，化為＋x＝的形式，可構(gòu)造公比為的等比數(shù)列，其中用待定系數(shù)法求x是關(guān)鍵，當(dāng)A＝C時(shí)，可構(gòu)成一
16、個(gè)等差數(shù)列．
1．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
解析：因?yàn)閍n＋1＝an＋ln，所以an－an－1＝ln＝ln(n≥2)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ln＋ln＋…＋ln＋ln 2＋2＝2＋ln＝2＋ln n(n≥2)．
又a1＝2適合上式，故an＝2＋ln n(n∈N+)．
答案：2＋ln n
2．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N+)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
解析：因?yàn)辄c(diǎn)P
17、n(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，
所以4an－an＋1＋1＝0.
所以an＋1＋＝4.
因?yàn)閍1＝3，所以a1＋＝.
故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為4的等比數(shù)列．
所以an＋＝×4n－1，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝×4n－1－.
答案：an＝×4n－1－
數(shù)列的函數(shù)特征(多維探究)
角度一 數(shù)列的單調(diào)性
(一題多解)已知{an}是遞增數(shù)列，且對(duì)于任意的n∈N+，an＝n2＋λn恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．
【解析】 法一(定義法)：因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，所以對(duì)任意的n∈N+，都有an＋1＞an，即(n＋1)2
18、＋λ(n＋1)＞n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n＋1) (*)．
因?yàn)閚≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3.
法二(函數(shù)法)：設(shè)f(n)＝an＝n2＋λn，其圖象的對(duì)稱軸為直線n＝－，要使數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，只需使定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f(n)為增函數(shù)，故只需滿足f(1)＜f(2)，即λ＞－3.
【答案】 (－3，＋∞)
判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法
(1)作差比較法：an＋1－an＞0?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；an＋1－an＜0?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；an＋1－an＝0?數(shù)列{an}是常數(shù)列．
(2)作商比較法：ⅰ.當(dāng)an
19、＞0時(shí)，則＞1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；＜1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列；ⅱ.當(dāng)an＜0時(shí)，則＞1?數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；＜1?數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；＝1?數(shù)列{an}是常數(shù)列．
(3)結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷．
角度二 求最大(小)項(xiàng)
(一題多解)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝，試判斷此數(shù)列是否有最大項(xiàng)？若有，第幾項(xiàng)最大，最大項(xiàng)是多少？若沒有，說明理由．
【解】 法一：an＋1－an＝－＝·，
當(dāng)n＜8時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
當(dāng)n＝8時(shí)，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n＞8時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1
20、＜an.
則a1＜a2＜a3＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，故數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且a8＝a9＝＝.
法二：設(shè)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)最大，則
即解得8≤n≤9，又n∈N*，則n＝8或n＝9.故數(shù)列{an}有最大項(xiàng)，為第8項(xiàng)和第9項(xiàng)，且a8＝a9＝.
求數(shù)列最大(小)項(xiàng)的方法
(1)構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)一步求出數(shù)列的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)．
(2)利用求數(shù)列中的最大項(xiàng)an；利用求數(shù)列中的最小項(xiàng)an.當(dāng)解不唯一時(shí)，比較各解大小即可確定．
角度三 數(shù)列的周期性
已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N+)，則該數(shù)列的前2 021項(xiàng)的乘積a
21、1·a2·a3·…·a2 021＝________．
【解析】 由題意可得，a2＝＝－3，
a3＝＝－，
a4＝＝，a5＝＝2＝a1，
所以數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，而2 021＝4×505＋1，
且a1a2a3a4＝2×(－3)××＝1.
故該數(shù)列前2 021項(xiàng)的乘積為a1＝2.
【答案】 2
【遷移探究】 (變問法)其他條件不變，該數(shù)列前2 021項(xiàng)的和為________．
解析：a1＋a2＋…＋a2 021＝505(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2 021＝505(2－3－＋)＋2＝－.
答案：－
解決數(shù)列周期性的方法
先根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)確定數(shù)列的周期
22、，再根據(jù)周期求值．
1．等差數(shù)列{an}的公差d＜0，且a＝a，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn取得最大值時(shí)的項(xiàng)數(shù)n的值為( )
A．5 B．6
C．5或6 D．6或7
解析：選C.由a＝a，可得(a1＋a11)(a1－a11)＝0，
因?yàn)閐＜0，所以a1－a11≠0，所以a1＋a11＝0，
又2a6＝a1＋a11，所以a6＝0.
因?yàn)閐＜0，所以{an}是遞減數(shù)列，
所以a1＞a2＞…＞a5＞a6＝0＞a7＞a8＞…，顯然前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，故選C.
2．已知{an}滿足an＝(n－λ)2n(n∈N+)，若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是__
23、______．
解析：因?yàn)閧an}是遞增數(shù)列，
所以an＋1＞an，所以(n＋1－λ)2n＋1＞(n－λ)2n，
化簡(jiǎn)得λ＜n＋2，對(duì)任意的n∈N+都成立．
所以λ＜3.
答案：(－∞，3)
[基礎(chǔ)題組練]
1．已知數(shù)列，，，，，…，則5是它的( )
A．第19項(xiàng) B．第20項(xiàng)
C．第21項(xiàng) D．第22項(xiàng)
解析：選C.數(shù)列，，，，，…中的各項(xiàng)可變形為，，，，，…，
所以通項(xiàng)公式為an＝＝，
令＝5，得n＝21.
2．已知數(shù)列{an}滿足：?m，n∈N+，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝( )
A. B． C.
24、D．
解析：選A.因?yàn)閿?shù)列{an}滿足：對(duì)任意的m，n∈N+，都有an·am＝an＋m，且a1＝，所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.那么a5＝a3·a2＝.故選A.
3．在數(shù)列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N+)，則a2 020的值為( )
A．－ B．5
C. D．
解析：選A.在數(shù)列{an}中，a1＝－，an＝1－(n≥2，n∈N+)，所以a2＝1－＝5，a3＝1－＝，a4＝1－＝－，
所以{an}是以3為周期的周期數(shù)列，所以a2 020＝a673×3＋1＝a1＝－.
4．(2020·山西太原模擬(一))已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn
25、＋an＝2n(n∈N+)，則a7＝( )
A. B．
C. D．
解析：選B.當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋an－1＝2n－2，又Sn＋an＝2n，所以2an－an－1＝2，所以2(an－2)＝an－1－2，故{an－2}是首項(xiàng)為a1－2，公比為的等比數(shù)列，
又S1＋a1＝2，故a1＝1，所以an＝－＋2，故a7＝2－＝，故選B.
5．(2020·廣東廣州天河畢業(yè)班綜合測(cè)試(一))數(shù)列{an}滿足a1＝1，對(duì)任意n∈N+，都有an＋1＝1＋an＋n，則＋＋…＋＝( )
A. B．2
C. D．
解析：選C.由an＋1＝1＋an＋n，得an＋1－an＝n＋1，
則a
26、n＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，
則＝＝－，
則＋＋…＋＝
2×＝2×＝.故選C.
6．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則an＝________．
解析：當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3＋1＝4；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋1)－(3n－1＋1)＝2·3n－1.
當(dāng)n＝1時(shí)，2×31－1＝2≠a1，所以an＝
答案：
7．記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的n∈N+，2Sn＝an＋1，則a2 018＝________．
解析：因?yàn)?Sn＝an＋1，
所以2Sn－1＝an－1＋1(
27、n≥2)，
所以2Sn－2Sn－1＝2an＝an－an－1(n≥2)，
即an＝－an－1(n≥2)，所以數(shù)列{an}是以2為周期的周期數(shù)列．
又2S1＝2a1＝a1＋1，
所以a1＝1，所以a2 018＝a2＝－a1＝－1.
答案：－1
8．(2020·河南焦作第四次模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為Sn，若＋1＝n，則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝________．
解析：因?yàn)椋?＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝(n－2)2n＋2，兩式相減，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；當(dāng)n＝1時(shí)，a1b1＝
28、2，所以b1＝1.綜上所述，bn＝n，n∈N+.故答案為n.
答案：n
9．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝an.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
解：(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，
解得a2＝3a1＝3.
由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，
解得a3＝(a1＋a2)＝6.
(2)由題設(shè)知a1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，
整理得an＝an－1.
于是
a1＝1，
a2＝a1，
a3＝a2，
…
an－1＝an－2，an＝an－1.
將以上n個(gè)等式兩端分別相乘，整理得a
29、n＝.
顯然，當(dāng)n＝1時(shí)也滿足上式．
綜上可知，{an}的通項(xiàng)公式an＝.
10．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N+.
(1)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)若an＋1≥an，n∈N+，求a的取值范圍．
解：(1)依題意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn，又b1＝S1－3＝a－3，
所以數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝(a－3)2n－1，n∈N+.
(2)由(1)知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N+，
30、于是，當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2＝2n－2，
當(dāng)n≥2時(shí)，an＋1≥an?12＋a－3≥0?a≥－9.
又a2＝a1＋3＞a1.綜上，a的取值范圍是[－9，3)∪(3，＋∞)．
[綜合題組練]
1．(2020·安徽江淮十校第三次聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足＝2，a1＝20，則的最小值為( )
A．4 B．4－1 C．8 D．9
解析：選C.由an＋1－an＝2n知a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，
…，an－an－1
31、＝2(n－1)，n≥2，
以上各式相加得an－a1＝n2－n，n≥2，所以an＝n2－n＋20，n≥2，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝20符合上式，
所以＝n＋－1，n∈N*，
所以n≤4時(shí)遞減，n≥5時(shí)遞增，
因?yàn)椋?，所以的最小值為＝?，故選C.
2．若數(shù)列{an}滿足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝6；
當(dāng)n≥2時(shí)，
故當(dāng)n≥2時(shí)，an＝，
所以an＝
答案：an＝
3．已知數(shù)列{an}中，a1＝a，a2＝2－a，an＋2－an＝2，若數(shù)列
32、{an}單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
解析：由an＋2－an＝2可知數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)分別遞增，若數(shù)列{an}遞增，則必有a2－a1＝(2－a)－a＞0且a2－a1＝(2－a)－a＜an＋2－an＝2，可得0＜a＜1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0，1)．
答案：(0，1)
4．(2020·廣東湛江二模)一元線性同余方程組問題最早可見于中國(guó)南北朝時(shí)期(公元5世紀(jì))的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知數(shù)，三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即，一個(gè)整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個(gè)整數(shù)．設(shè)這個(gè)整數(shù)為a，當(dāng)a∈[2，2 019
33、]時(shí)，符合條件的a共有________個(gè)．
解析：由題設(shè)a＝3m＋2＝5n＋3，m，n∈N，
則3m＝5n＋1，m，n∈N，
當(dāng)m＝5k，n不存在；
當(dāng)m＝5k＋1，n不存在；
當(dāng)m＝5k＋2，n＝3k＋1，滿足題意；
當(dāng)m＝5k＋3，n不存在；
當(dāng)m＝5k＋4，n不存在．
其中k∈N.
故2≤a＝15k＋8≤2 019，解－≤k≤，則k＝0，1，2，…，134，共135個(gè)，即符合條件的a共有135個(gè)．故答案為135.
答案：135
5．已知二次函數(shù)f(x)＝x2－ax＋a(a＞0，x∈R)，有且只有一個(gè)零點(diǎn)，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝f(n)(n∈N+)．
(1)求
34、數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝1－(n∈N+)，定義所有滿足cm·cm＋1＜0的正整數(shù)m的個(gè)數(shù)，稱為這個(gè)數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)，求數(shù)列的變號(hào)數(shù)．
解：(1)依題意，Δ＝a2－4a＝0，所以a＝0或a＝4.
又由a＞0得a＝4，所以f(x)＝x2－4x＋4.
所以Sn＝n2－4n＋4.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1－4＋4＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－5.
所以an＝
(2)由題意得cn＝
由cn＝1－可知，當(dāng)n≥5時(shí)，恒有cn＞0.
又c1＝－3，c2＝5，c3＝－3，c4＝－，c5＝，c6＝，
即c1·c2＜0，c2·c3＜0，c4·c5＜0.
所以數(shù)列{cn}的變號(hào)數(shù)為3.
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2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第1講 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法教學(xué)案 理 北師大版
