2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第五章 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理（含解析） 1．（xx遼寧，5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，則(　　) A．d<0 B．d>0 C．a(chǎn)1d<0 D．a(chǎn)1d>0 解析：∵數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右邊為關(guān)于n的一次函數(shù)，∴a1d<0. 答案：C 2．（xx福建，5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 解析：設(shè)等差數(shù)列{an

2、}的公差為d，則S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故選C. 答案：C 3．（xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ，12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)． (1)證明：an＋2－an＝λ； (2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由． 解：(1)證明：由題設(shè)，anan＋1＝λSn－1， an＋1an＋2＝λSn＋1－1. 兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1. 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ. (2)由題設(shè)，a1＝1，a1a2＝λS1－1，

3、可得a2＝λ－1. 由(1)知，a3＝λ＋1. 令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4. 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1. 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2. 因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列． 4．（xx安徽，5分）設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝(　　) A．－6　　　　　　　　　 B．－4 C．－2 D．2 解析：本題主要考查等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． 根據(jù)等

4、差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2，所以a8＝－4，a9＝－6. 答案：A 5．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足S3＝0，S5＝－5. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和． 解：本題主要考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，特殊數(shù)列求和等． (1)設(shè){an}的公差為d，則Sn＝na1＋d. 由已知可得解得a1＝1，d＝－1. 故{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－n. (2)由(1)知＝＝，從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為＝. 6．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，a1＝

5、25，且a1，a11，a13成等比數(shù)列． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 解：本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等差數(shù)列的求和，意在考查考生的運(yùn)算求解能力． (1)設(shè){an}的公差為d.由題意，a＝a1a13， 即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 于是d(2a1＋25d)＝0. 又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2. 故an＝－2n＋27. (2)令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2. 由(1)知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項(xiàng)為25，公差為－6的等差數(shù)列．從而Sn＝(a1＋a3n

6、－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n. 7．（xx山東，12分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 解：本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、錯(cuò)位相減法等知識(shí)，考查方程思想、轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力、推理論證能力． (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1得 解得a1＝1，d＝2. 因此an＝2n－1，n∈N*. (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當(dāng)n＝1時(shí)，＝； 當(dāng)n≥2

7、時(shí)，＝1－－＝， 所以＝，n∈N*. 由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝，n∈N*. 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－ ＝－－， 所以Tn＝3－. 8．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，5分）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝(　　) A．3 　B．4 C．5 D．6 解析：本題考查等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，意在考查考生通過(guò)等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解基本量的能力．根據(jù)已知條件，得到am和am＋1，再根據(jù)等差數(shù)列的定義得到公差d，最后建立關(guān)于

8、a1和m的方程組求解．由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，所以等差數(shù)列的公差為d＝am＋1－am＝3－2＝1， 由 得解得選擇C. 答案：C 9．（xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，5分）等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ，已知S10＝0，S15＝25，則nSn 的最小值為_(kāi)_______． 解析：本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及通過(guò)轉(zhuǎn)化利用函數(shù)的單調(diào)性判斷數(shù)列的單調(diào)性等知識(shí)，對(duì)學(xué)生分析、轉(zhuǎn)化、計(jì)算等能力要求較高． 由已知解得a1＝－3， d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－.由于函數(shù)f(x)＝－在x＝處取得極小值，因而檢驗(yàn)n＝6

9、時(shí)，6S6＝－48，而n＝7時(shí)，7S7＝－49. ∴nSn 的最小值為－49. 答案：－49 10．（xx福建，12分）已知等差數(shù)列{an}的公差d＝1，前n項(xiàng)和為Sn. (1)若1，a1，a3成等比數(shù)列，求a1； (2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍． 解：本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想． (1)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比數(shù)列， 所以a＝1×(a1＋2)， 即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2. (2)因?yàn)閿?shù)列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9， 所以5a1

10、＋10>a＋8a1， 即a＋3a1－10<0，解得－5

11、. 答案：35 12．(xx安徽，12分)設(shè)數(shù)列a1，a2，…，an，…中的每一項(xiàng)都不為0. 證明{an}為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何n∈N，都有＋＋…＋＝. 證明：先證必要性． 設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，若d＝0，則所述等式顯然成立． 若d≠0，則 ＋＋…＋ ＝(＋＋…＋) ＝[(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(－) ＝·＝. 再證充分性． 法一：(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切n∈N都成立． 首先，在等式 ＋＝① 兩端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2， 所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，記公差為d，則a2＝a1＋d. 假設(shè)ak＝a1＋(k－1

12、)d，當(dāng)n＝k＋1時(shí) ＋＋…＋＝，② ＋＋…＋＋＝.③ 將②代入③，得 ＋＝， 在該式兩端同乘a1akak＋1，得(k－1)ak＋1＋a1＝kak， 將ak＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得ak＋1＝a1＋kd. 由數(shù)學(xué)歸納法原理知，對(duì)一切n∈N，都有an＝a1＋(n－1)d. 所以{an}是公差為d的等差數(shù)列． 法二：(直接證法)依題意有 ＋＋…＋＝，① ＋＋…＋＋＝.② ②－①得 ＝－. 在上式兩端同乘a1an＋1an＋2，得a1＝(n＋1)an＋1－nan＋2.③ 同理可得a1＝nan－(n－1)an＋1.④ ③－④得 2nan＋1＝n(an＋2＋an)． 即an＋2－an＋1＝an＋1－an，所以{an}是等差數(shù)列． 13．（xx遼寧，5分）在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11＝(　　) A．58　　　　　　　　　 B．88 C．143 D．176 解析：因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a4＋a8＝2a6＝16?a6＝8，則該數(shù)列的前11項(xiàng)和為S11＝＝11a6＝88. 答案：B