2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第22講 簡單的三角恒等變換練習(xí) 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第22講 簡單的三角恒等變換練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.利用和、差、倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)恒等變形，進(jìn)而研究三角函數(shù)的性質(zhì)問題.2.與三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)相結(jié)合綜合考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力． 一、二倍角公式的變形 1．用cos α表示sin2，cos2，tan2 sin2＝，cos2＝，tan2＝. 2．用sin α，cos α表示tan tan ＝＝. 應(yīng)用二倍角公式的變形求值的注意問題 (1)已知sin α，cos α的值求tan時，應(yīng)優(yōu)先采用tan＝或tan＝，這樣可以避免由“tan＝±”帶來增解． (2)應(yīng)用“sin

2、＝±”或“cos＝±”求值時，可由所在象限確定該三角函數(shù)值的符號． 二、輔助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ). 1．輔助角公式的特殊情況 (1)sin α±cos α＝sin； (2)sin α±cos α＝2sin； (3)cos α±sin α＝2sin. 2．輔助角公式的作用 (1)利用該公式可將形如y＝asin x＋bcos x的函數(shù)轉(zhuǎn)化為形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)，進(jìn)而研究函數(shù)的性質(zhì)． (2)若函數(shù)y＝asin x＋bcos x的定義域為R，則值域為[－，]． 1．已知cos θ＝－，＜θ＜3π，那么sin ＝(　　) A.　

3、　　 B．－ C. D．－ 【解析】　∵＜θ＜3π，∴＜＜. ∴sin＝－＝－＝－. 【答案】　D 2．已知cos α＝，α∈(π，2π)，則cos 等于(　　) A. 　　　 B．－ 　　　 C. 　　　 D．－ 【解析】　∵π＜α＜2π，∴＜＜π. ∴cos＝－＝－＝－. 【答案】　B 3．化簡的結(jié)果是(　　) A．－cos 1 B．cos 1 C.cos 1 D．－cos 1 【解析】　＝＝cos 1. 【答案】　C 4．對于函數(shù)f(x)＝2sin x cos x，下列選項中正確的是(　　) A．f(x)在(，)上是遞增的 B．f(x)的圖

4、象關(guān)于原點對稱 C．f(x)的最小正周期為2π D．f(x)的最大值為2 【解析】　∵f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x， ∴f(x)為奇函數(shù)，∴f(x)的圖象關(guān)于原點對稱． 【答案】　B 5．(xx·課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知sin 2α＝，則cos2＝(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝. 【答案】　A 6．(xx·江西高考)函數(shù)y＝sin 2x＋2sin2x的最小正周期T為________． 【解析】　由于y＝sin 2x＋2sin2x＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝sin 2x－cos 2x＋＝2si

5、n＋，∴T＝＝π. 【答案】　π 考向一 [063]　輔助角公式及其應(yīng)用 　(1)函數(shù)f(x)＝sin x＋cos的最大值為(　　) A．2　　　　 B.　　　　 C．1　　　　 D. (2)(xx·浙江高考)函數(shù)f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分別是(　　) A．π，1 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 (3)(xx·湖北高考)將函數(shù)y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后，所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則m的最小值是(　　) A. B. C. D. 【思路點撥】　(1)先將cos展

6、開，再與“sin x”合成一個角． (2)先把f(x)化成Asin(ωx＋φ)的形式，再求周期和振幅． (3)先將函數(shù)解析式化簡，再寫出平移后的解析式，然后，根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)得到m的表達(dá)式，求得m的最小值． 【嘗試解答】　(1)f(x)＝sin x＋cos·cos x－sinsin x ＝cos x＋sin x＝sin ∴當(dāng)x＋＝＋2kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值1. (2)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以最小正周期為T＝＝π，振幅A＝1. (3)由于y＝cos x＋sin x＝2cos，向左平移m(m>0)個單位長度后得到函數(shù)y＝2cos的圖象．由于該圖

7、象關(guān)于y軸對稱，所以m－＝kπ(k∈Z，m>0)，于是m＝kπ＋(k∈Z，m>0)，故當(dāng)k＝0時，m取得最小值. 【答案】　(1)C　(2)A　(3)B 規(guī)律方法1　利用asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)把形如y＝asin x＋bcos x＋k的函數(shù)化為一個角的某種函數(shù)的一次式，可以求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、值域和最值、對稱軸等. 對點訓(xùn)練　(xx·溫州模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin x－cos x，x∈R，若f(x)≥1，則x的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 【解析】　f(x)＝sin x－cos x ＝2sin≥1， ∴sin≥， ∴2kπ＋≤

8、x－≤2kπ＋π(k∈Z)， ∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z. 【答案】　A 考向二 [064]　三角恒等變換的綜合應(yīng)用 　(xx·大連模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin＋2sin2(x∈R)． (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值時x的集合． 【思路點撥】　借助“降冪公式”及“輔助角公式”化f(x)成“Asin(ωx＋φ)＋k”的形式，進(jìn)而解答本題． 【嘗試解答】　(1)因為f(x)＝sin＋1－cos 2＝2＋1 ＝2sin＋1 ＝2sin＋1， 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)當(dāng)f(x)取得最大值時，sin＝1，此時2x－

9、＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋(k∈Z)，所以所求x的集合為. 規(guī)律方法2　1.三角恒等變換要堅持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn)； 2.降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運(yùn)用降次公式. 對點訓(xùn)練　(xx·四川高考)已知函數(shù)f(x)＝cos2－sin cos －. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域； (2)若f(α)＝，求sin 2α的值． 【解】　(1)由已知，f(x)＝cos2－sin cos － ＝(1＋cos x)－sin x－ ＝cos， 所以f(x)的最小正周期為2π，值域為. (2)由(1)知

10、，f(α)＝cos＝， 所以cos＝. 所以sin 2α＝－cos＝－cos 2 ＝1－2cos2＝1－＝. 思想方法之十　轉(zhuǎn)化思想在求三角函數(shù)最值中的妙用 解決三角函數(shù)最值的基本途徑，同求解其他函數(shù)最值一樣，一方面應(yīng)充分利用三角函數(shù)自身的特殊性(如有界性等)，另一方面還要注意將求解三角函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為求一些我們所熟知的函數(shù)(二次函數(shù)等)最值問題．常見的三角函數(shù)最值的求解策略如下所示： 1．配方轉(zhuǎn)化策略 對能夠化為形如y＝asin2x＋bsin x＋c或y＝acos2x＋bcos x＋c的三角函數(shù)最值問題，可看作是sin x或cos x的二次函數(shù)最值問題，常常利用配方轉(zhuǎn)化策

11、略來解決． 2．有界轉(zhuǎn)化策略 對于所給的三角函數(shù)能夠通過變形化為形如y＝Asin(ωx＋φ)等形式的，常常可以利用三角函數(shù)的有界性來求解其最值．這是解決三角函數(shù)最值問題常用的策略之一． 3．單調(diào)性轉(zhuǎn)化策略 借助函數(shù)單調(diào)性是求解函數(shù)最值問題常用的一種轉(zhuǎn)化策略．對于三角函數(shù)來說，常常是先化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解． ———　[1個示范例]　——— [1個對點練]　——— 　　　(xx·山東高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝－sin2ωx－sin ωcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為. (1)求ω的值； (2)求

12、f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 【解】　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ＝－·－sin 2ωx ＝cos 2ωx－sin 2ωx ＝－sin. 因為圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為， 又ω＞0，所以＝4×.因此ω＝1. (2)由(1)知f(x)＝－sin. 當(dāng)π≤x≤時，≤2x－≤. 所以－≤sin≤1. 因此－1≤f(x)≤. 故f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值為，－1. 已知向量a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，函數(shù)f(x)＝a·b. (1)求f(x)的最大值及相應(yīng)的x的值； (2)若f(θ)＝，求cos 2的值． 【解】　(1)因為a＝(1＋sin 2x，sin x－cos x)，b＝(1，sin x＋cos x)，所以f(x)＝1＋sin 2x＋sin2x－cos2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1. 因此，當(dāng)2x－＝2kπ＋(k∈Z)，即x＝kπ＋π(k∈Z)時，f(x)取得最大值＋1. (2)由f(θ)＝1＋sin 2θ－cos 2θ及f(θ)＝，得sin 2θ－cos 2θ＝，兩邊平方，得1－sin 4θ＝，即sin 4θ＝. 因此cos 2＝cos＝sin 4θ＝.