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1、高考數(shù)學大一輪總復習 第10篇 第2節(jié) 計數(shù)原理、排列與組合的綜合應用課時訓練 理 新人教A版
一、選擇題
1.如圖所示,使電路接通,開關不同的開閉方式有( )
A.11種 B.20種
C.21種 D.12種
解析:左邊兩個開關的開閉方式有閉合2個、1個即有1+2=3(種),右邊三個開關的開閉方式有閉合1個、2個、3個,即有3+3+1=7(種),故使電路接通的情況有3×7=21(種).故選C.
答案:C
2.現(xiàn)有4種不同顏色要對如圖所示的四個部分進行著色,每部分涂一種顏色,有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色,如果顏色可以反復使用,則不同的著色方法共有( )
A
2、.24種 B.30種
C.36種 D.48種
解析:按使用顏色種數(shù)可分為兩類.①使用4種顏色有A=24種不同的著色方法,②使用3種顏色有A=24種不同著色方法.由分類加法原理知共有24+24=48種不同的著色方法.
故選D.
答案:D
3.將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有( )
A.12種 B.10種
C.9種 D.8種
解析:法一 先分組后分配,不同的安排方案共有
AA=12(種).故選A.
法二 由位置選元素,先安排甲地,其余去乙地,不同的安排方案共有CC·CC=12(
3、種).選A.
答案:A
4.(xx山西省太原市第五中學高三模擬)xx第12屆全國運動會舉行期間,某校4名大學生申請當A,B,C三個比賽項目的志愿者,組委會接受了他們的申請,每個比賽項目至少分配一人,每人只能服務一個比賽項目,若甲要求不去服務A比賽項目,則不同的安排方案共有( )
A.20種 B.24種
C.30種 D.36種
解析:①甲自己服務一個比賽項目,則先讓甲從B、C中選取一個項目,然后其余三人分成2組(2+1)服務兩個不同的比賽項目,故不同的安排方案共有CCA=12種;
②甲和另一名大學生兩人一組服務一個比賽項目,則先從其余三人中選取一個與甲組成一組,再從B、C中選取
4、一個項目,最后剩余兩人與兩個項目進行全排列即可,所以不同的安排方案共有CCA=12種.
由分類計數(shù)原理可得,不同的安排方案為12+12=24種.
故選B.
答案:B
5.(xx山西省山大附中高三模擬)如圖所示是某個區(qū)域的街道示意圖(每個小矩形的邊表示街道),那么從A到B的最短線路有________條.( )
A.100 B.400
C.200 D.250
解析:從A到B的最短線路有兩條:A-M-B;A-N-B.
①若線路為A-M-B,則從A到M只需走5條街道,則需要從這五條街道中走3條向右,剩余2條街道則需要向北走,不同的走法為C=10種;從M到B只需走5條街道,則需
5、要從這五條街道中走2條向右,剩余3條街道則需要向北走,不同的走法為C=10種.
由分步計數(shù)原理可得,不同的走法為10×10=100種.
②若線路為A-N-B,則從A到N只需走5條街道,則需要從這五條街道中走2條向右,剩余3條街道則需要向北走,不同的走法為C=10種;從N到B只需走5條街道,則需要從這五條街道中走3條向右,剩余2條街道則需要向北走,不同的走法為C=10種.
由分步計數(shù)原理可得,不同的走法為10×10=100種.
由分類計數(shù)原理可得,不同的走法共有100+100=200種.
故選C.
答案:C
6.(xx長春市高中畢業(yè)班第四次調(diào)研)若數(shù)列{an}滿足規(guī)律:a1>a2<
6、a3>…a2n<…,則稱數(shù)列{an}為余弦數(shù)列,現(xiàn)將1,2,3,4,5排列成一個余弦數(shù)列的排法種數(shù)為( )
A.12 B.14
C.16 D.18
解析:①a1,a3,a5從3,4,5中取值時,a2,a4從1,2中取值.
共AA=12種.
②a1,a3,a5依次取2,4,5時,a2,a4依次取1,3,
a1,a3,a5依次取2,5,4時,a2,a4依次取1,3,
a1,a3,a5依次取4,5,2時,a2,a4依次取3,1,
a1,a3,a5依次取5,4,2時,a2,a4依次取3,1.
由分類加法計數(shù)原理得,不同的排法為12+4=16種,
故選C.
答案
7、:C
二、填空題
7.(xx河南省商丘市高三第三次模擬)將標號為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個不同的信封中,若每個信封放2張卡片,其中標號為1,2的卡片放入同一信封,則不同的方法總數(shù)為________.
解析:先將標號為3,4,5,6的卡片平均分成兩組,不同的分法有=3種.
再將3組分別裝入3個信封中,不同的裝法有A=6種.
由分步計數(shù)原理得不同方法的總數(shù)為3×6=18.
答案:18
8.(xx山西省四校聯(lián)考)某鐵路貨運站對6列貨運列車進行編組調(diào)度,決定將這6列列車編成兩組,每組3列,且甲與乙兩列列車不在同一小組,如果甲所在小組3列列車先開出,那么這6列列車先后不同的發(fā)
8、車順序共有________種.
解析:先進行分組,從其余4列火車中任取2列與甲一組,不同的分法為C=6種.
由分步計數(shù)原理得不同的發(fā)車順序為C·A·A=216種.
答案:216
9.用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1,2,…,9的9個小正方形,使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同,且標號為“1、5、9”的小正方形涂相同的顏色,則符合條件的所有涂法共有________種.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解析:第一步,從紅、黃、藍三種顏色中任選一種去涂標號為“1、5、9”的小正方形,涂法有3種;
第二步,涂標號為“2、3、6”的小正方形,若“2、
9、6”同色,涂法有2×2種,若“2、6”不同色,涂法有2×1種;
第三步,涂標號為“4、7、8”的小正方形,涂法同涂標號為“2、3、6”的小正方形的方法一樣.
所以符合條件的所有涂法共有
3×(2×2+2×1)×(2×2+2×1)=108(種).
答案:108
10.某國家代表隊要從6名短跑運動員中選4人參加亞運會4×100 m接力,如果其中甲不能跑第一棒,乙不能跑第四棒,共有______種參賽方法.
解析:分情況討論:①若甲、乙均不參賽,則有A=24(種)參賽方法;②若甲、乙有且只有一人參賽,則有C·C(A-A)=144(種);③若甲、乙兩人均參賽,則有C(A-2A+A)=84(種
10、),故一共有24+144+84=252(種)參賽方法.
答案:252
三、解答題
11.將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入圖中的五個區(qū)域內(nèi),要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同,則有多少種不同的涂色方法?
解:給區(qū)域標記號A、B、C、D、E(如圖所示),則A區(qū)域有4種不同的涂色方法,B區(qū)域有3種,C區(qū)域有2種,D區(qū)域有2種,但E區(qū)域的涂色依賴于B與D涂色的顏色,如果B與D顏色相同有2種涂色方法,不相同,則只有一種.因此應先分類后分步.
(1)當B與D同色時,有4×3×2×1×2=48種.
(2)當B與D不同色時,有4×3×2×1×1=24種.
故共有48+24=72種不同的涂色方
11、法.
12.用0、1、2、3、4這五個數(shù)字,可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)?
12.用0、1、2、3、4這五個數(shù)字,可以組成多少個滿足下列條件的沒有重復數(shù)字的五位數(shù)?
(1)比21034大的偶數(shù);
(2)左起第二、四位是奇數(shù)的偶數(shù).
解:(1)法一 可分五類,當末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是2時,有6個;
當末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是3或4時,有AA=12(個);
當末位數(shù)字是2,而首位數(shù)字是3或4時,有AA=12(個);
當末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是2時,有3個;
當末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是3時,有A=6(個);
故有39個.
法二 不大于21034的偶數(shù)可分為三類:萬位數(shù)字是1的偶數(shù),有A·A=18(個);萬位數(shù)字是2,而千位數(shù)字是0的偶數(shù),有A個;
還有一個為21034本身.
而由0、1、2、3、4組成的五位偶數(shù)有,
A+A·A·A=60(個),故滿足條件的五位偶數(shù)共有
60-A·A-A-1=39(個).
(2)法一 可分為兩類:
末位數(shù)是0,有A·A=4(個);
末位數(shù)是2或4,有A·A=4(個);
故共有A·A+A·A=8(個).
法二 第二、四位從奇數(shù)1、3中取,有A個,首位從2、4中取,有A個;余下的排在剩下的兩位,有A個,故共有AAA=8(個).