2022年高考數(shù)學三輪沖刺 集合與函數(shù)課時提升訓練（13）

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1、2022年高考數(shù)學三輪沖刺 集合與函數(shù)課時提升訓練（13） 1、已知集合，若集合，且對任意的，存在，使得（其中），則稱集合為集合的一個元基底.（Ⅰ）分別判斷下列集合是否為集合的一個二元基底，并說明理由； ①，；②，. （Ⅱ）若集合是集合的一個元基底，證明：； （Ⅲ）若集合為集合的一個元基底，求出的最小可能值，并寫出當取最小值時的一個基底. 2、若集合具有以下性質(zhì)：①，；②若，則，且時，. 則稱集合是“好集”.（Ⅰ）分別判斷集合，有理數(shù)集是否是“好集”，并說明理由； （Ⅱ）設集合是“好集”，求證：若，則；（Ⅲ）對任意的一個“好集”，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.命題：若，則必

2、有；命題：若，且，則必有； 3、若為集合且的子集，且滿足兩個條件： ①；②對任意的，至少存在一個，使或. … … … … … … … 則稱集合組具有性質(zhì).如圖，作行列數(shù)表，定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為. （Ⅰ）當時，判斷下列兩個集合組是否具有性質(zhì)，如果是請畫出所對應的表格，如果不是請說明理由； 集合組1：；集合組2：. （Ⅱ）當時，若集合組具有性質(zhì)，請先畫出所對應的行3列的一個數(shù)表，再依此表格分別寫出集合；（Ⅲ）當時，集合組是具有性質(zhì)且所含集合個數(shù)最小的集合組，求的值及的最小值.（其中表示集合所含元素的個數(shù)） 4、已知函數(shù)在區(qū)間上為

3、增函數(shù)，且。 （1）當時，求的值；（2）當最小時，①求的值；? ②若是圖象上的兩點，且存在實數(shù)? 使得，證明：。 5、（本小題滿分14分）對于函數(shù)和，若存在常數(shù)，對于任意，不等式都成立，則稱直線是函數(shù)的分界線. 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底，為常數(shù)）. (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性；(Ⅱ)設，試探究函數(shù)與函數(shù)是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由. 6、設a，b，c為實數(shù)，f（x）=（x+a）．記集合S=若，分別為集合元素S，T的元素個數(shù)，則下列結論不可能的是 ??? A．=1且=0???? B．C．=2且=2?????? D． =2且=3 7、設，已知函數(shù)的定義

4、域是，值域是，若函數(shù)g(x)=2︱x-1︱+m+1有唯一的零點，則（??? ）A．2?????????? B．?????????? C．1?????????? D．0 8、已知函數(shù)，在定義域[-2，2]上表示的曲線過原點，且在x＝±1處的切線斜率均為．有以下命題：①是奇函數(shù)；②若在內(nèi)遞減，則的最大值為4；③的最大值為，最小值為，則； ④若對，恒成立，則的最大值為2．其中正確命題的個數(shù)為 A .1個　　　　??????? B. 2個　　　　??????? C .3個　　　　???? D. 4個 11、設函數(shù)的最大值為，最小值為，那么 　 　.??? 12、（本小題滿分14分）已知

5、函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)的定義域，并證明在定義域上是奇函數(shù)； （Ⅱ）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）當時，試比較與的大小關系． 13、對于實數(shù)，稱為取整函數(shù)或高斯函數(shù)，亦即是不超過的最大整數(shù).例如：.直角坐標平面內(nèi)，若滿足，則 的取值范圍??? ??? 1、解：（Ⅰ）①不是的一個二元基底.理由是 ； ②是的一個二元基底. 理由是 ，.?????????????????????????????（Ⅱ）不妨設，則形如的正整數(shù)共有個； 形如的正整數(shù)共有個；形如的正整數(shù)至多有個； 形如的正整數(shù)至多有個.又集合含個不同的正整數(shù)，為集合的一個元基底.故，即. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.當

6、時，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復一個. *假設為的一個4元基底，不妨設，則. 當時，有，這時或.如果，則由，與結論*矛盾.如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.當時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，這時，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.當時，均不可能是的4元基底.當時，的一個基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫出一個即可.綜上，的最小可能值為5.?? 2、解：（Ⅰ）集合不是“

7、好集”. 理由是：假設集合是“好集”. 因為，，所以. 這與矛盾.?有理數(shù)集是“好集”. 因為，,對任意的，有，且時，. 所以有理數(shù)集是“好集”. （Ⅱ）因為集合是“好集”，所以 .若，則，即.所以，即.??? （Ⅲ）命題均為真命題. 理由如下：?對任意一個“好集”，任取， 若中有0或1時，顯然.下設均不為0，1. 由定義可知：. 所以 ，即.所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.若或，則顯然.若且，則. 所以 .所以 由（Ⅱ）可得：.所以 . 綜上可知，，即命題為真命題.若，且，則.所以 ，即命題為真命題.??????????????????????? 3、（Ⅰ）解：

8、集合組1具有性質(zhì).??所對應的數(shù)表為：集合組2不具有性質(zhì).??因為存在，有，與對任意的，都至少存在一個，有或矛盾，所以集合組不具有性質(zhì).?（Ⅱ??????注：表格中的7行可以交換得到不同的表格，它們所對應的集合組也不同） （Ⅲ）設所對應的數(shù)表為數(shù)表，因為集合組為具有性質(zhì)的集合組， 所以集合組滿足條件①和②，由條件①：， 可得對任意，都存在有，所以，即第行不全為0， 所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0.?由條件②知，對任意的，都至少存在一個，使或，所以一定是一個1一個0，即第行與第行的第列的兩個數(shù)一定不同. 所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同.?因為由所構成的元有序數(shù)組共有個

9、，去掉全是的元有序數(shù)組，共有個，又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同，所以，所以. 又時，由所構成的元有序數(shù)組共有個，去掉全是的數(shù)組，共個，選擇其中的個數(shù)組構造行列數(shù)表，則數(shù)表對應的集合組滿足條件①②，即具有性質(zhì). 所以.?因為等于表格中數(shù)字1的個數(shù)， 所以，要使取得最小值，只需使表中1的個數(shù)盡可能少，而時，在數(shù)表中， 的個數(shù)為的行最多行；的個數(shù)為的行最多行；的個數(shù)為的行最多行； · 的個數(shù)為的行最多行；因為上述共有行，所以還有行各有個，所以此時表格中最少有個.所以的最小值為.? · 4、解：。（1）當時，由，得或， 所以在上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，由題意知，且。因為，所以， 可知

10、。????（2）① 因為， 當且僅當時等號成立。由，有，得；由，有，得；故取得最小值時，，。②此時，，， 由知，，欲證，先比較與的大小。 因為，所以，有， 于是，即，另一方面，，因為，所以，從而，即?！?4分同理可證，因此。? 5、（本小題滿分14分）解：（1），?當時，，即， 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)；當時，，函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù) 當時，即， 函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù). （2）若存在，則恒成立，令，則，所以，??????因此：恒成立，即恒成立，由得到：， 現(xiàn)在只要判斷是否恒成立，設，因為：， 當時，，，當時，，，所以，即恒成立，所以函數(shù)與函數(shù)存在“分界線”.?? 6、D 7、C 8、B 11、?4021 12、解：（Ⅰ）由，解得或，∴ 函數(shù)的定義域為? 當時， ∴ 在定義域上是奇函數(shù)。?（Ⅱ）由時，恒成立， ∴? ∴ 在成立? 令，，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知時函數(shù)單調(diào)遞增，時函數(shù)單調(diào)遞減，時，∴??（Ⅲ）= 證法一：設函數(shù),則時，，即在上遞減，所以，故在成立， 則當時,成立.證法二：構造函數(shù)，? 當時，，∴在單調(diào)遞減， ?當（）時，? ? 13、（1,5）∪[10,20）