2022年高考數(shù)學專題復習 第46講 離散型隨機變量及其分布列練習 新人教A版

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1、2022年高考數(shù)學專題復習 第46講 離散型隨機變量及其分布列練習 新人教A版 [考情展望]　1.以實際問題為背景，結(jié)合常見的概率事件考查離散型隨機變量的分布列求法.2.一般與排列、組合、統(tǒng)計相結(jié)合綜合考查.3.多以解答題中考查，難度多屬中檔． 一、離散型隨機變量 　隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量． 二、離散型隨機變量的分布列及性質(zhì) 1．一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表

2、X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱為離散型隨機變量X的概率分布列． 2．離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) (1)pi≥0(i＝1,2，…，n)； (2)pi＝1. 三、常見離散型隨機變量的分布列 1．兩點分布：若隨機變量X服從兩點分布，其分布列為 X 0 1 P 1－p p ，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率． 2．超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈

3、N*，稱分布列為超幾何分布. X 0 1 … m P … 運用兩個分布列的關(guān)鍵 隨機變量X服從兩點分布，常與事件成敗問題有關(guān)，隨機變量X服從超幾何分布多與產(chǎn)品抽檢問題有關(guān)． 1．拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)之和為X，那么X＝4表示的基本事件是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．一顆是3點，一顆是1點 B．兩顆都是2點 C．一顆是3點，一顆是1點或兩顆都是2點 D．甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點 【解析】　甲是3點，乙是1點與甲是1點，乙是3點是試驗的兩個不同結(jié)果，故應(yīng)選D. 【答案】　D 2．

4、設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) A．0 B. C. D. 【解析】　由已知得X的所有可能取值為0,1， 且P(X＝1)＝2P(X＝0)， 由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝. 【答案】　C 3．已知隨機變量X的分布列為：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，則P(2＜X≤4)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 【答案】　A 4．從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，恰好是2個白球，1個紅球的概率是(　　)

5、 A. B. C. D. 【解析】　如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為P＝＝. 【答案】　C 考向一 [189]　離散型隨機變量分布列的性質(zhì) 　設(shè)離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 設(shè)η＝|x－1|，則P(η＝1)＝________. 【思路點撥】　先根據(jù)概率的性質(zhì)求m的值，再根據(jù)X的值，確定η＝|X－1|的值． 【嘗試解答】　由分布列的性質(zhì)，知 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 列表 X 0 1 2 3 4

6、 |X－1| 1 0 1 2 3 ∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3. 規(guī)律方法1　1.利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù). 2.若X是隨機變量，則η＝|X－1|等仍然是隨機變量，求它的分布列可先求出相應(yīng)隨機變量的值，再根據(jù)對應(yīng)的概率求解. 對點訓練　隨機變量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中，a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝________. 【解析】　由題意知則2b＝1－b，則b＝，a＋c＝， 所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋

7、P(X＝1)＝a＋c＝. 【答案】　 考向二 [190]　離散型隨機變量的分布列 　(xx·浙江高考改編)設(shè)袋子中裝有3個紅球，2個黃球，1個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分．若從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列． 【思路點撥】　對取出球的顏色進行分類以確定得分值，進而確定隨機變量ξ的取值，計算相應(yīng)的概率，再列出分布列． 【嘗試解答】　由題意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝

8、. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P 規(guī)律方法2　1.求隨機變量的分布列的主要步驟：(1)明確隨機變量的取值；(2)求每一個隨機變量取值的概率；(3)列成表格． 2．求出分布列后注意運用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求的分布列是否正確． 對點訓練　某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)： 日銷售量(件) 0 1 2 3 頻數(shù) 1 5 9 5 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率． (

9、1)求當天商店不進貨的概率； (2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求X的分布列． 【解】　(1)P(當天商店不進貨) ＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為1件) ＝＋＝. (2)由題意知，X的可能取值為2,3. P(X＝2)＝P(當天商品銷售量為1件)＝＝； P(X＝3)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為2件)＋P(當天商品銷售量為3件)＝＋＋＝. 所以X的分布列為 X 2 3 P 考向三 [191]　超幾何分布 　PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，PM2.5日均值在35微克/立方米

10、以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標． 某地區(qū)2013年2月6日至15日每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)如莖葉圖10－7－1所示． 圖10－7－1 (1)小陳在此期間的某天曾經(jīng)來此地旅游，求當天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標的概率； (2)小王在此期間也有兩天經(jīng)過此地，這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標，請計算出這兩天空氣質(zhì)量恰好有一天為一級的概率； (3)從所給10天的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求ξ的分布列及期望． 【思路點撥】　(1)由莖葉圖可知：有2＋4天PM2.5

11、日均值在75微克/立方米以下，據(jù)此利用古典概型的概率計算公式即可得出； (2)由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標，據(jù)此可得出其概率； (3)由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標，而其余4天都超標，利用“超幾何分布”即可得出． 【嘗試解答】　(1)記“當天PM2.5日均監(jiān)測數(shù)據(jù)未超標”為事件A， 因為有2＋4天PM2.5日均值在75微克/立方米以下， 故P(A)＝＝. (2)記“這兩天此地PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)均未超標且空氣質(zhì)量恰好有一天為一級”為事件B，P(B)＝＝. (3)ξ的可能

12、值為0,1,2,3. 由莖葉圖可知：空氣質(zhì)量為一級的有2天，空氣質(zhì)量為二級的有4天，只有這6天空氣質(zhì)量不超標，而其余4天都超標． P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. ξ的分布列如下表： ξ 0 1 2 3 P ∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 規(guī)律方法3　1.求解本例的第(3)問關(guān)鍵在于明確ξ服從超幾何分布. 2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中取出若干個；(4)研究取出某類對象的個數(shù)的概率分布.

13、 3.要善于看出某些實際問題實質(zhì)是超幾何分布，或?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為超幾何分布，一種方式就是將一類對象視為合格品，另一類對象視為不合格品，再對其進行解釋. 對點訓練　某校高三年級同學進行體育測試，測試成績分為優(yōu)秀、良好、合格三個等級，測試結(jié)果如下表：(單位：人) 優(yōu)秀 良好 合格 男 180 70 20 女 120 a 30 按優(yōu)秀、良好、合格三個等級分層，從中抽取50人，其中成績?yōu)閮?yōu)的有30人． (1)求a的值； (2)若用分層抽樣的方法，在合格的同學中按男女抽取一個容量為5的樣本，從中任選2人，記X為抽取女生的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望． 【解】　(

14、1)設(shè)該年級共n人，由題意得＝，所以n＝500. 則a＝500－(180＋120＋70＋20＋30)＝80. (2)依題意，X所有取值為0,1,2. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝. X的分布列為： X 0 1 2 P E(X)＝0×＋1×＋2×＝ 規(guī)范解答之二十三　離散型隨機變量的分布列與統(tǒng)計交匯問題 ————[1個示范例]————[1個規(guī)范練]———— 　　　(12分)在某大學自主招生考試中，所有選報Ⅱ類志向的考生全部參加了“數(shù)學與邏輯”和“閱讀與表達”兩個科目的考試，成績分為A，B，C，D，E五個等級．某考場考生兩科的考試成

15、績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖10－7－2所示，其中“數(shù)學與邏輯”科目的成績?yōu)锽的考生有10人． (1)求該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)； (2)若等級A，B，C，D，E分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分． ①求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分； ②若該考場共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．從這10人中隨機抽取兩人，求兩人成績之和的分布列和數(shù)學期望． 圖10－7－2 【規(guī)范解答】　(1)因為“數(shù)學與邏輯”科目中成績等級為B的考生有10人， 所以該考場有10÷0.25＝40人.1分 所以該考場考生中“閱讀與表達”科目中成績等級為A的人數(shù)為

16、 40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.3分 (2)求該考場考生“數(shù)學與邏輯”科目的平均分為 ×[1×(40×0.2)＋2×(40×0.1)＋3×(40×0.375)＋4×(40×0.25)＋5×(40×0.075)]＝2.9.6分 (3)設(shè)兩人成績之和為ξ，則ξ的值可以為16,17,18,19,20，7分 P(ξ＝16)＝＝，P(ξ＝17)＝＝， P(ξ＝18)＝＋＝，P(ξ＝19)＝＝， P(ξ＝20)＝＝， 所以ξ的分布列為 X 16 17 18 19 20 P 10分 所以Eξ＝16×＋1

17、7×＋18×＋19×＋20×＝. 所以ξ的數(shù)學期望為.12分 【名師寄語】　解答此類問題注意以下幾點：,(1)認真審題，根據(jù)題目要求，準確從圖表中提取信息. (2)正確找出隨機變量ξ的取值，并求出取每一個值的概率，提高計算能力. (3)要注意語言敘述的規(guī)范性，解題步驟應(yīng)清楚、正確、完整，不要漏掉必要說明及避免出現(xiàn)嚴重跳步現(xiàn)象. (xx·課標全國卷Ⅱ)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖10－7－3所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．以

18、X(單位：t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤． 圖10－7－3 (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率； (3)在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，則取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的頻率)．求T的數(shù)學期望． 【解】　(1)當X∈[100,130)時， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當X∈[130,150]時， T＝500×130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120, 150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400.