2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 數(shù)列教學(xué)案

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1、2022年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 數(shù)列教學(xué)案 考綱指要： 數(shù)列綜合及實(shí)際問(wèn)題在高考中占有重要的地位，通常以數(shù)列為工具，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)，通過(guò)運(yùn)用逆推思想、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論等各種數(shù)學(xué)思想方法，這些題目都考察考生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力， 考點(diǎn)掃描： 1．等差數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式。 2．等比數(shù)列定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式。 3．?dāng)?shù)列求通項(xiàng)的常用方法如： ①作新數(shù)列法；②累差疊加法；③歸納、猜想法；而 對(duì)于遞歸數(shù)列，則常用①歸納、猜想、數(shù)學(xué)歸納法證明；②迭代法；③代換法。包括代數(shù)代換，對(duì)數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。 4．?dāng)?shù)

2、列求和常用方法如：①公式法；②裂項(xiàng)求和；③錯(cuò)項(xiàng)相消法；④并項(xiàng)求和。 考題先知： 例1. 已知， ①求函數(shù)的表達(dá)式； ②定義數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)； ③求證：對(duì)任意的有 解：①由，所以 ② ③ 不等式等價(jià)于 因?yàn)? O y Pn dn x Fn O G

3、n 例2．如圖，已知一類橢圓： ，若橢圓Cn上有一點(diǎn)Pn到右準(zhǔn)線的距離是與的等差中項(xiàng)，其中Fn、Gn分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。 （1）試證：； （2）取，并用Sn表示的面積，試證：且。 證明：（1）由題設(shè)與橢圓的幾何性質(zhì)得：2=+=2，故=1， 設(shè)，則右準(zhǔn)線的方程為：，從而由得 ，即，有； （2）設(shè)點(diǎn)，則由=1得， 從而， 所以=， 因函數(shù)中，由得 所以Sn在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間（）上是減函數(shù)， 由，可得，知是遞增數(shù)列， 而，故可證且。 評(píng)注：這是一道較為綜合的數(shù)列與解析幾何結(jié)合的題目，涉及到的知識(shí)較多，有橢圓的相關(guān)知識(shí)，列不等式與解不等式，構(gòu)造函

4、數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性等，這也表明數(shù)列只是一個(gè)特殊函數(shù)的本原問(wèn)題，提示了數(shù)列問(wèn)題的函數(shù)思想方法。 復(fù)習(xí)智略： 例3　已知二次函數(shù)y=f(x)在x=處取得最小值－ (t＞0),f(1)=0 (1)求y=f(x)的表達(dá)式； (2)若任意實(shí)數(shù)x都滿足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］為多項(xiàng)式，n∈N*),試用t表示an和bn； (3)設(shè)圓Cn的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2，圓Cn與Cn+1外切(n=1,2,3,…);{rn}是各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列，記Sn為前n個(gè)圓的面積之和，求rn、Sn 解 (1)設(shè)f(x)=a(x－)2

5、－，由f(1)=0得a=1 ∴f(x)=x2－(t+2)x+t+1 (2)將f(x)=(x－1)［x－(t+1)］代入已知得 (x－1)［x－(t+1)］g(x)+anx+bn=xn+1， 上式對(duì)任意的x∈R都成立， 取x=1和x=t+1分別代入上式得 且t≠0， 解得an=［(t+1)n+1－1］，bn=［1－(t+1n) (3)由于圓的方程為(x－an)2+(y－bn)2=rn2， 又由(2)知an+bn=1，故圓Cn的圓心On在直線x+y=1上， 又圓Cn與圓Cn+1相切，故有rn+rn+1=｜an+1－an｜=(t+1)n+1 設(shè){rn}的公比為

6、q，則 ②÷①得q==t+1，代入①得rn= ∴Sn=π(r12+r22+…+rn2)=［(t+1)2n－1］ 檢測(cè)評(píng)估： 1． 動(dòng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)使、、成等差數(shù)列，則點(diǎn)的軌跡圖形是（?。? 1．解：由條件得，即，又，所以化為，故選C。 2、各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{}的公比q≠1，且，，成等差數(shù)列，則的值為（?。? 　　A 　　　　B 　　C 　　D 或 3．給定正整數(shù)（）按右圖方式構(gòu)成三角形數(shù)表：第一行依次寫(xiě)上數(shù)，在下面一行的每相鄰兩個(gè)數(shù)的正中間上方寫(xiě)上這兩個(gè)數(shù)之和，得到上面一行的數(shù)（比下一行少一個(gè)數(shù)

7、），依次類推，最后一行（第行）只有一個(gè)數(shù)．例如時(shí)數(shù)表如圖所示，則當(dāng)時(shí)最后一行的數(shù)是（　?。? A． B． C． D． 4．設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，則數(shù)列{lgan}的前幾項(xiàng)和最大 （ ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．已知f （x）＝x＋1，g （x）＝2x＋1，數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝則數(shù)列{an}的前xx項(xiàng)的和為 A．5×2xx－xx B．3×2xx－5020 C．6×2xx－5020 D．6×21003－50

8、20 6.在直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是第一象限的兩個(gè)點(diǎn)，若1，x1，x2，4依次成等差數(shù)列，而1，y1，y2，8依次成等比數(shù)列，則△OP1P2的面積是_________ 7 已知a,b,a+b成等差數(shù)列，a,b,ab成等比數(shù)列，且0

9、等差數(shù)列，且滿足及．若定義，給出下列命題：①是一個(gè)等比數(shù)列；②；③；④；⑤．其中正確的命題序號(hào)為 ． 11、隨著國(guó)家政策對(duì)節(jié)能環(huán)保型小排量車的調(diào)整，兩款1.1升排量的Q型車、R型車的銷量引起市場(chǎng)的關(guān)注。已知xx年1月Q型車的銷量為輛，通過(guò)分析預(yù)測(cè)，若以xx年1月為第1月，其后兩年內(nèi)Q型車每月的銷量都將以1%的比率增長(zhǎng)，而R型車前個(gè)月的銷售總量大致滿足關(guān)系式：. （1）求Q型車前個(gè)月的銷售總量的表達(dá)式； （2）比較兩款車前個(gè)月的銷售總量與的大小關(guān)系； （3）試問(wèn)到xx年底是否會(huì)出現(xiàn)兩種車型中一種車型的月銷售量小于另一種車型月銷售量的20%，并說(shuō)明理

10、由. 12．已知，若數(shù)列{an} 成等差數(shù)列. （1）求{an}的通項(xiàng)an; （2）設(shè) 若{bn}的前n項(xiàng)和是Sn，且 點(diǎn)撥與全解： 1．解：由條件得，即，又，所以化為，故選C。 2.解：設(shè)公比為由，從而（負(fù)值舍去），故選B。 3.解：設(shè)第行的數(shù)為，則，從而，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，得， 所以，故選A。 4.設(shè)公比為q,項(xiàng)數(shù)為2m,m∈N*,依題意有 化簡(jiǎn)得 設(shè)數(shù)列{lgan}前n項(xiàng)和為Sn,則 Sn=lga1+lga1q2+…+lga1qn－1=lga1n·q1+2+…+(n－1) =nlga1+n(n－1)·lgq=n(2

11、lg2+lg3)－n(n－1)lg3 =(－)·n2+(2lg2+lg3)·n 可見(jiàn)，當(dāng)n=時(shí)，Sn最大 而=5,故{lgan}的前5項(xiàng)和最大，故選B 5.解：∵a2n＋2＝a2n＋1＋1＝（2a2n＋1）＋1＝2a2n＋2，∴a2n＋2＋2＝＝2（a2n＋2）， ∴數(shù)列{a2n＋2}是以2為公比、以a2＝a1＋1＝2為首項(xiàng)的等比數(shù)列． ∴a2n＋2＝2×2 n－1，∴a2n＝2 n－2． 又a2n＋a2n＋1＝ a2n＋2a2n＋1＝3a2n＋1，∴數(shù)列{an}的前xx項(xiàng)的和為 a1＋（ a2＋ a3）＋ （ a4＋ a5）＋ （ a6＋ a7）＋ …＋ （ axx＋

12、axx） ＝ a1＋（3a2＋1）＋ （3a4＋1）＋ （3a6＋1）＋ …＋ （3axx＋1） ＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5） ＝ 1＋（3×2－5）＋ （3×22－5）＋ （3×23－5）＋ …＋ （3×21003－5） ＝ 3×（2＋22＋23＋…＋21003＋1－5×1003 ＝6×（21003－1）＋1－5×1003＝6×21003－ 5020 ，故選D． 6.解:由1,x1,x2,4依次成等差數(shù)列得 2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3 又由1，y1,y2,8依次成等比數(shù)列，得y1

13、2=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4, ∴P1(2,2),P2(3,4) ∴=(3,4) ∴ 7．解：由得，原不等式化為， m (－∞,8)。 8.解：作方程當(dāng)時(shí)， 數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列.于是 9．利用等比數(shù)列的求和公式可知： 10．可證①②③⑤正確。 11.解：（1）Q型車每月的銷售量是以首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列， ∴前個(gè)月的銷售總量，（，且）. （2）∵ ，又，，∴. （3）記Q、R兩款車第個(gè)月的月銷售量分別為和，則， 當(dāng)時(shí)， ，顯然 當(dāng)時(shí)，若，， ，， ，即從第10個(gè)月開(kāi)始，Q型車的月銷售量小于R型車月銷售量的20%。（不可能） 12．解：設(shè)2，f(a1), f(a2), f(a3),……，f(an),2n+4的公差為d，則2n+4=2+(n+2－1)dd=2, （2），