《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4(12頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.7.1 正切函數(shù)的定義 1.7.2 正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修4學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能借助單位圓中的正切線畫出函數(shù)ytan x的圖像.2.掌握正切函數(shù)的圖像、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)(重點(diǎn)).3.注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的綜合應(yīng)用(難點(diǎn))知識點(diǎn)1正切函數(shù)的定義(1)任意角的正切函數(shù):如果角滿足R,k(kZ),那么,角的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(a,b),唯一確定比值,我們把它叫作角的正切函數(shù),記作ytan ,其中R,k,kZ.(2)正切函數(shù)與正弦、余弦函數(shù)的關(guān)系:根據(jù)定義知tan (R,k,kZ)(
2、3)正切值在各象限的符號:根據(jù)定義知,當(dāng)角在第一和第三象限時(shí),其正切函數(shù)值為正;當(dāng)角在第二和第四象限時(shí),其正切函數(shù)值為負(fù)(4)正切線:在單位圓中令A(yù)(1,0),過A作x軸的垂線,與角的終邊或終邊的延長線相交于T,稱線段AT為角的正切線【預(yù)習(xí)評價(jià)】1若角的終邊上有一點(diǎn)P(2x1,3),且tan ,則x的值為()A7B8C15 D.解析由正切函數(shù)的定義tan ,解之得x8.答案B2函數(shù)ytan 2x的定義域?yàn)開解析由正切函數(shù)的定義知,若使ytan 2x有意義,則2xk(kZ)解得x(kZ)答案知識點(diǎn)2正切函數(shù)的圖像及特征(1)ytan x,xR且xk,kZ的圖像(正切曲線):(2)正切曲線的特征:
3、正切曲線是由被相互平行的直線xk(kZ)隔開的無窮多支曲線組成的這些直線叫作正切曲線各支的漸近線【預(yù)習(xí)評價(jià)】正切函數(shù)是奇函數(shù),圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么正切函數(shù)的對稱中心只有一個(gè)嗎?提示正切函數(shù)的對稱中心除了原點(diǎn)外,諸如(,0)等都是對稱中心,正切函數(shù)有無數(shù)個(gè)對稱中心知識點(diǎn)3正切函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)ytan x定義域值域R周期性周期為k(kZ,k0),最小正周期為奇偶性奇函數(shù)單調(diào)性在(kZ)上是增加的【預(yù)習(xí)評價(jià)】(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)正切函數(shù)為定義域上的增函數(shù)()(2)正切函數(shù)存在閉區(qū)間a,b,使ytan x是增加的()(3)若x是第一象限的角,則ytan x是增函數(shù)()(4)正切函數(shù)yt
4、an x的對稱中心為(k,0)kZ.()題型一正切函數(shù)的定義【例1】已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4a,3a)(a0),求sin ,cos 、tan 的值解r5|a|,若a0,則r5a,角在第二象限,sin ,cos .tan ;若a0,則r5a,角在第四象限,sin ,cos ,tan .規(guī)律方法已知角終邊上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(m,n)利用定義求tan 時(shí),其值與該點(diǎn)的位置無關(guān)且tan .但要注意判斷角所在象限利用定義可求下列特殊角的正切:0tan 011【訓(xùn)練1】若tan ,利用三角函數(shù)的定義,求sin 和cos .解tan 0,角是第一或第三象限角若角是第一象限角,則由tan ,角的終邊上必有一點(diǎn)P(
5、2,1),r|OP|.sin ,cos .若角是第三象限角,則由tan 知,角的終邊上必有一點(diǎn)P(2,1),r|OP|.sin ,cos .題型二正切函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例2】利用正切函數(shù)的圖像作出y|tan x|的圖像并寫出使y的x的集合解當(dāng)x時(shí),ytan x0,當(dāng)x時(shí),ytan x0,y|tan x|如圖所示使y的x的集合為.規(guī)律方法1.作正切函數(shù)的圖像時(shí),先畫一個(gè)周期的圖像,再把這一圖像向左、右平移從而得到正切函數(shù)的圖像,通過圖像的特點(diǎn),可用“三點(diǎn)兩線法”,這三點(diǎn)是,(0,0),兩線是直線x為漸近線2如果由yf(x)的圖像得到y(tǒng)f(|x|)及y|f(x)|的圖像,可利用圖像中的對稱變換法完
6、成;即只需作出yf(x)(x0)的圖像,令其關(guān)于y軸對稱便可以得到y(tǒng)f(|x|)(x0)的圖像;同理只要作出yf(x)的圖像,令圖像“上不動,下翻上”便可得到y(tǒng)|f(x)|的圖像【訓(xùn)練2】(1)函數(shù)y的定義域?yàn)開解析要使該函數(shù)有意義,則有即xk且xk.答案(2)根據(jù)正切函數(shù)的圖像,寫出tan x1的解集解作出ytan x及y1的圖像,如下圖滿足此不等式的x的集合為.方向1比較大小【例31】比較tan 1、tan 2、tan 3的大小解tan 2tan(2),tan 3tan(3),又2,20.3,30,顯然231,且ytan x在內(nèi)是增函數(shù),tan (2)tan (3)tan 1,即tan 2
7、tan 3 tan 1.方向2求解最值【例32】若x,求函數(shù)ytan2x2tan x2的最值及相應(yīng)的x值解令ttan x,x,t,1,yt22t2(t1)21,當(dāng)t1,即x時(shí),ymin1,當(dāng)t1,即x時(shí),ymax5.方向3性質(zhì)的綜合應(yīng)用【例33】已知f(x)atan x(a0)(1)判斷f(x)在x上的奇偶性;(2)求f(x)的最小正周期;(3)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(4)若a0,求f(x)在上的值域解(1)f(x)atan x(a0),x,f(x)atan(x)atan xf(x)又定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,f(x)為奇函數(shù)(2)f(x)的最小正周期為.(3)ytan x在(kZ)上單調(diào)遞增,當(dāng)a
8、0時(shí),f(x)在(kZ)上單調(diào)遞減,當(dāng)a0時(shí),f(x)在(kZ)上單調(diào)遞增(4)當(dāng)a0時(shí),f(x)在上單調(diào)遞減,故x時(shí),f(x)maxa,無最小值f(x)的值域?yàn)?,a規(guī)律方法1.比較同名三角函數(shù)值的大小,實(shí)質(zhì)上是將兩個(gè)角利用周期性放在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),利用單調(diào)性比較大小2對于形如ytan(x)(、為非零常數(shù))的函數(shù)性質(zhì)和圖像的研究,應(yīng)以正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像為基礎(chǔ),運(yùn)用整體思想和換元法求解如果0)的圖像的相鄰兩支曲線截直線y所得線段長為,則f的值是()A0B1C1 D.解析由題意,得T,4.f(x)tan 4x,ftan 0.答案A10已知函數(shù)ytan x在(,)是減函數(shù),則的取值范圍是_解析
9、ytan x在(,)內(nèi)是減函數(shù),0且T.|1,即10.答案1,0)11求函數(shù)ytan2x4tan x1,x的值域?yàn)開解析x,1tan x1.令tan xt,則t1,1yt24t1(t2)25.當(dāng)t1,即x時(shí),ymin4,當(dāng)t1,即x時(shí),ymax4.故所求函數(shù)的值域?yàn)?,4答案4,412若函數(shù)f(x)tan2xatan x的最小值為6.求實(shí)數(shù)a的值解設(shè)ttan x,因?yàn)閨x|,所以t1,1則原函數(shù)化為:yt2at2,對稱軸t.若11,則當(dāng)t時(shí),ymin6,所以a224(舍去);若1,即a2時(shí),二次函數(shù)在1,1上遞增,ymin21a6,所以a7;若1,即a2時(shí),二次函數(shù)在1,1上遞減ymin21a6,所以a7.綜上所述,a7或a7.13(選做題)已知函數(shù)f(x).(1)求函數(shù)定義域;(2)用定義判斷f(x)的奇偶性;(3)在,上作出f(x)的圖像;(4)寫出f(x)的最小正周期及單調(diào)性解(1)由cos x0得xk(kZ),函數(shù)的定義域是.(2)由(1)知函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱又f(x)f(x),f(x)是奇函數(shù)(3)f(x)f(x)(x,)的圖像如圖所示(4)f(x)的最小正周期為2,遞增區(qū)間是(kZ),遞減區(qū)間是(kZ)