高考數(shù)學二輪復習 專題訓練八 第2講 坐標系與參數(shù)方程 理

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1、高考數(shù)學二輪復習 專題訓練八 第2講 坐標系與參數(shù)方程 理考情解讀高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程;參數(shù)方程與普通方程的互化,常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式,同時考查直線與曲線位置關系等解析幾何知識1直角坐標與極坐標的互化把直角坐標系的原點作為極點,x軸正半軸作為極軸,且在兩坐標系中取相同的長度單位如圖,設M是平面內的任意一點,它的直角坐標、極坐標分別為(x,y)和(,),則,.2直線的極坐標方程若直線過點M(0,0),且極軸到此直線的角為,則它的方程為sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程(1

2、)直線過極點:;(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸:cos a;(3)直線過點M(b,)且平行于極軸:sin b.3圓的極坐標方程若圓心為M(0,0),半徑為r的圓的方程為220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程(1)當圓心位于極點,半徑為r:r;(2)當圓心位于M(r,0),半徑為r:2rcos ;(3)當圓心位于M(r,),半徑為r:2rsin .4直線的參數(shù)方程過定點M(x0,y0),傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))5圓的參數(shù)方程圓心在點M(x0,y0),半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù),02)6圓錐曲線的參數(shù)方程(1)橢圓1的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)拋物線y

3、22px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))熱點一極坐標與直角坐標的互化例1在以O為極點的極坐標系中,直線l與曲線C的極坐標方程分別是cos()3和sin28cos ,直線l與曲線C交于點A、B,則線段AB的長為_答案16解析cos()cos cos sin sin cos sin 3,直線l對應的直角坐標方程為xy6.又sin28cos ,2sin28cos .曲線C對應的直角坐標方程是y28x.解方程組,得或,所以A(2,4),B(18,12),所以AB16.即線段AB的長為16.思維升華(1)在由點的直角坐標化為極坐標時,一定要注意點所在的象限和極角的范圍,否則點的極坐標將不唯一(2)在與曲

4、線的方程進行互化時,一定要注意變量的范圍,要注意轉化的等價性 (1)在極坐標系(,)(00)的一個交點在極軸上,則a_.答案(1)(,)(填(,)亦可)(2)解析(1)2sin 代入cos 1可得2sin cos 1,即2或2,解得或又(,)與(,)為同一點,故二者可以任填一個(2)(cos sin )1,即cos sin 1對應的普通方程為xy10,a(a0)對應的普通方程為x2y2a2.在xy10中,令y0,得x.將代入x2y2a2得a.熱點二參數(shù)方程與普通方程的互化例2已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),P是橢圓y21上的任意一點,則點P到直線l的距離的最大值為_答案解析由于直線l的參數(shù)

5、方程為(t為參數(shù)),故直線l的普通方程為x2y0.因為P為橢圓y21上的任意一點,故可設P(2cos ,sin ),其中R.因此點P到直線l的距離是d.所以當k,kZ時,d取得最大值.思維升華參數(shù)方程化為普通方程,主要用“消元法”消參,常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等在參數(shù)方程化為普通方程時,要注意保持同解變形 (xx廣東)已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),C在點(1,1)處的切線為l,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,則l的極坐標方程為_答案cos sin 20解析由(t為參數(shù)),得曲線C的普通方程為x2y22.則在點(1,1)處的切線l的方程為y1(x1),即

6、xy20.又xcos ,ysin ,l的極坐標方程為cos sin 20.熱點三極坐標與參數(shù)方程的綜合應用例3在直角坐標系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))M是C1上的動點,P點滿足2,點P的軌跡為曲線C2.(1)C2的參數(shù)方程為_;(2)在以O為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,射線與C1的異于極點的交點為A,與C2的異于極點的交點為B,則|AB|_.答案(1)(為參數(shù))(2)2解析(1)設P(x,y),則由條件知M.由于M點在C1上,所以即從而C2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)曲線C1的極坐標方程為4sin ,曲線C2的極坐標方程為8sin .射線與C1的交點A的極徑為14sin

7、,射線與C2的交點B的極徑為28sin.所以|AB|21|2.思維升華(1)曲線參數(shù)方程有很多優(yōu)點:曲線上任一點坐標都可用一個參數(shù)表示,變元只有一個特別對于圓、橢圓、雙曲線有很大用處很多參數(shù)都有實際意義,解決問題更方便比如:直線參數(shù)方程(為傾斜角,t為參數(shù)),其中|t|PM|,P(x,y)為動點,M(x0,y0)為定點(2)求兩點間距離時,用極坐標也比較方便,這兩點與原點共線時,距離為|12|,這兩點與原點不共線時,用余弦定理求解無論哪種情形,用數(shù)形結合的方法易得解題思路 (1)(xx湖北)在直角坐標系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù),ab0),在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單

8、位,且以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸)中,直線l與圓O的極坐標方程分別為sin()m(m為非零常數(shù))與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點,且與圓O相切,則橢圓C的離心率為_答案解析橢圓C的標準方程為1,直線l的標準方程為xym,圓O的方程為x2y2b2,由題意知,a2b22b2,a23b2,e.(2)在平面直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸為極軸建立極坐標系,曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù)),曲線C2的極坐標方程為(cos sin )1,若曲線C1與C2相交于A、B兩點|AB|的值為_;點M(1,2)到A、B兩點的距離之積為_答案2解析由曲線C1的參數(shù)方程可得曲線C1的普通方程為yx2(x0

9、),由曲線C2的極坐標方程可得曲線C2的直角坐標方程為xy10,則曲線C2的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),將其代入曲線C1的普通方程得t2t20,設A、B兩點對應的參數(shù)分別為t1、t2,則t1t2,t1t22,所以|AB|t1t2|.由可得|MA|MB|t1t2|2.1主要題型有極坐標方程、參數(shù)方程和普通方程的互化,在極坐標方程或參數(shù)方程背景下的直線與圓的相關問題2規(guī)律方法方程解決直線、圓和圓錐曲線的有關問題,將極坐標方程化為直角坐標方程或將參數(shù)方程化為普通方程,有助于對方程所表示的曲線的認識,從而達到化陌生為熟悉的目的,這是化歸與轉化思想的應用在涉及圓、橢圓的有關最值問題時,若能將動點的坐標用參數(shù)

10、表示出來,借助相應的參數(shù)方程,可以有效地簡化運算,從而提高解題的速度3極坐標方程與普通方程互化核心公式,.4過點A(0,0) 傾斜角為的直線方程為.特別地,過點A(a,0),垂直于極軸的直線l的極坐標方程為cos a.平行于極軸且過點A(b,)的直線l的極坐標方程為sin b.5圓心在點A(0,0),半徑為r的圓的方程為r2220cos(0)6重點掌握直線的參數(shù)方程(t為參數(shù)),理解參數(shù)t的幾何意義.真題感悟1(xx陜西)在極坐標系中,點(2,)到直線sin()1的距離是_答案1解析點(2,)化為直角坐標為(,1),直線sin()1化為(sin cos )1,yx1,xy10,點(,1)到直線

11、xy10的距離為1.2(xx江蘇)在平面直角坐標系xOy中,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),直線l與拋物線y24x相交于A,B兩點,線段AB的長為_答案8解析將直線l的參數(shù)方程代入拋物線方程y24x,得24,解得t10,t28.所以AB|t1t2|8.押題精練1在直角坐標系中圓C的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),若以原點O為極點,以x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則圓C的極坐標方程為_答案4sin 解析由參數(shù)方程消去得圓C的方程為x2(y2)24,將xcos ,ysin ,代入得(cos )2(sin 2)24,整理得4sin .2已知極坐標系的極點在平面直角坐標系的原點O處,極軸與x軸的正半軸重合

12、,且長度單位相同直線l的極坐標方程為,點P(1cos ,sin ),參數(shù)0,2)(1)點P軌跡的直角坐標方程為_;(2)點P到直線l距離的最小值為_答案(1)(x1)2y21(2)41解析(1)由得點P的軌跡方程(x1)2y21.(2)由,得,sin cos 9.曲線C的直角坐標方程為xy9.圓(x1)2y21的圓心(1,0)到直線xy9的距離為4,所以|PQ|min41.(推薦時間:40分鐘)1(xx安徽改編)以平面直角坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標方程是4cos ,則直線l被圓C截得的弦長為

13、_答案2解析直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))化為直角坐標方程是yx4,圓C的極坐標方程4cos 化為直角坐標方程是x2y24x0.圓C的圓心(2,0)到直線xy40的距離為d.又圓C的半徑r2,因此直線l被圓C截得的弦長為22.2圓心為C(3,),半徑為3的圓的極坐標方程為_答案6cos()解析設極點為O,M(,)為圓上任意一點,過OC的直線與圓交于另一點O,直角三角形OMO中,6cos|,即6cos()3已知點M的極坐標為(6,),則點M關于y軸對稱的點的直角坐標為_答案(3,3)解析點M的直角坐標為xcos 6cos 3,ysin 6sin 3.即M(3,3),所以它關于y軸對稱的點為(3,3

14、)4直線cos 2關于直線對稱的直線的極坐標方程為_答案sin 2解析直線cos 2的直角坐標方程為x2,直線的直角坐標方程為yx,所以所求的直線方程為y2.其極坐標方程為sin 2.5若直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),則直線的傾斜角為_答案150解析由直線的參數(shù)方程知,斜率ktan ,為直線的傾斜角,所以該直線的傾斜角為150.6將參數(shù)方程(0t5)化為普通方程為_答案x3y50,x2,77解析化為普通方程為x3(y1)2,即x3y50,由于x3t222,77,故曲線為線段7(xx陜西)直線2cos 1與圓2cos 相交的弦長為_答案解析直線2cos 1可化為2x1,即x;圓2cos 兩邊同乘

15、得22cos ,化為直角坐標方程是x2y22x.將x代入x2y22x得y2,y.弦長為2.8已知曲線C:(參數(shù)R)經(jīng)過點(m,),則m_.答案解析將曲線C:(參數(shù)R)化為普通方程為x21,將點(m,)代入該橢圓方程,得m21,即m2,所以m.9(xx重慶)在直角坐標系xOy中,以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若極坐標方程為cos 4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A,B兩點,則|AB|_.答案16解析將極坐標方程cos 4化為直角坐標方程得x4,將x4代入得t2,從而y8.所以A(4,8),B(4,8)所以|AB|8(8)|16.10(xx天津)已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),

16、其中p0,焦點為F,準線為l.過拋物線上一點M作l的垂線,垂足為E.若|EF|MF|,點M的橫坐標是3,則p_.答案2解析根據(jù)拋物線的參數(shù)方程可知拋物線的標準方程是y22px,所以y6p,所以E,F(xiàn),所以3,所以p24p120,解得p2(負值舍去)11已知曲線C:(為參數(shù))和直線l:(t為參數(shù),b為實數(shù)),若曲線C上恰有3個點到直線l的距離等于1,則b_.答案解析將曲線C和直線l的參數(shù)方程分別化為普通方程為x2y24和yxb,依題意,若要使圓上有3個點到直線l的距離為1,只要滿足圓心到直線的距離為1即可,得到1,解得b.12已知曲線C1的極坐標方程為4sin ,曲線C2的極坐標方程為(R),曲

17、線C1,C2相交于點M,N,則線段MN的長為_答案2解析由4sin ,得24sin ,即曲線C1的直角坐標方程為x2y24y0,由(R)得,曲線C2的直角坐標方程為yx.把yx代入x2y24y0,得x2x2x0,即x2x0,解得x10,x2,y10,y21.|MN|2.即線段MN的長為2.13在極坐標系中,直線sin與圓2cos 的位置關系是_答案相離解析直線的直角坐標方程為xy10,圓的直角坐標方程為(x1)2y21,圓心為C(1,0),半徑為r1,圓心到直線的距離d1.故直線與圓相離14已知極坐標系中,極點為O,將點A繞極點逆時針旋轉得到點B,且OAOB,則點B的直角坐標為_答案(,)解析

18、依題意,點B的極坐標為,cos coscos cos sin sin ,sin sinsin cos cos sin ,xcos 4,ysin 4.15(xx遼寧改編)在直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1,直線C2的極坐標方程分別為4sin ,cos2.(1)C1與C2交點的極坐標為_;(2)設P為C1的圓心,Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù)),則a,b的值分別為_答案(1),(2)1,2解析(1)圓C1的直角坐標方程為x2(y2)24,直線C2的直角坐標方程為xy40.解得所以C1與C2交點的極坐標為,注:極坐標系下點的表示不唯一(2)由(1)可得,P點與Q點的直角坐標分別為(0,2),(1,3)故直線PQ的直角坐標方程為xy20,由參數(shù)方程可得yx1,所以解得a1,b2.

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