2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理（含解析）【試卷綜述】本試卷試題主要注重基本知識(shí)、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測(cè)評(píng)學(xué)生，有利于學(xué)生自我評(píng)價(jià)，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時(shí)對(duì)觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查?！绢}文】一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【題文】1若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)

2、的基本概念L4【答案】【解析】A 解析：由，得在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，是第一象限的點(diǎn)故選：A【思路點(diǎn)撥】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)得答案【題文】2. 命題“和為偶數(shù)的兩個(gè)整數(shù)都為偶數(shù)”的否定是 （ ）A和不為偶數(shù)的兩個(gè)整數(shù)都為偶數(shù)B和為偶數(shù)的兩個(gè)整數(shù)都不為偶數(shù)C和不為偶數(shù)的兩個(gè)整數(shù)不都為偶數(shù)D和為偶數(shù)的兩個(gè)整數(shù)不都為偶數(shù)【知識(shí)點(diǎn)】命題的否定A2【答案】【解析】D 解析：命題“和為偶數(shù)的兩個(gè)整數(shù)都為偶數(shù)”的否定是：和為偶數(shù)的兩個(gè)整數(shù)不都為偶數(shù)故選：D【思路點(diǎn)撥】直接利用命題的否定寫出結(jié)果即可【題文】3已知集合，則 （ ）A B C D【知識(shí)點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；其他不等

3、式的解法A1 【答案】【解析】B 解析：=x|（x+3）（x1）0=x|3x1，=x|3x1x|x3=x|x1，x|x1故選B【思路點(diǎn)撥】先利用分式不等式解法化簡(jiǎn)，再進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果【題文】4.“”是“函數(shù)的最小正周期為”的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法；必要條件、充分條件與充要條件的判斷A2 C3【答案】【解析】A 解析：函數(shù)，它的周期是，;顯然“”可得“函數(shù)的最小正周期為”后者推不出前者，故選A【思路點(diǎn)撥】化簡(jiǎn)，利用最小正周期為，求出，即可判斷選項(xiàng)【題文】5由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ）A B C

4、 D【知識(shí)點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用B13【答案】【解析】D 解析：作出對(duì)應(yīng)的圖象如圖：則對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，故選：D【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)題意畫出直線及所圍成的封閉圖形，然后利用定積分表示區(qū)域面積，最后轉(zhuǎn)化成等價(jià)形式【題文】6函數(shù)的圖像大致為（ ）【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象B8【答案】【解析】B 解析：因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A當(dāng)x=1時(shí)，y0，所以排除C因?yàn)?，所以?dāng)x+時(shí)，y1，所以排除D故選B【思路點(diǎn)撥】利用函數(shù)的奇偶性，對(duì)稱性和特殊點(diǎn)的特殊值分別進(jìn)行判斷即可【題文】7. 在中，是邊上的一點(diǎn)，若記，則用表示所得的結(jié)果為 （ ）A B C D 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意

5、義F2【答案】【解析】C 解析：如圖，B，D，C三點(diǎn)共線，存在，使；又；故選C【思路點(diǎn)撥】B，D，C三點(diǎn)共線，所以根據(jù)已知條件對(duì)于，能夠得到，所以得到，所以【題文】8以表示等差數(shù)列的前項(xiàng)的和，若，則下列不等關(guān)系不一定成立的是（ ） A B C D【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)D2【答案】【解析】B 解析：表示等差數(shù)列的前項(xiàng)的和，S6S5=a60，則有可能成立，即A有可能成立；5a5（a1+6a6）=5（a1+4d）a1+6（a1+5d）=2a110d=2a60，不成立，即B不成立；a50，a40，a30，有可能成立，即C是有可能成立；a3+a6+a122a7=（3a1+18d）（2a1+12d）=a

6、1+6d=a70，故D成立故選：B【思路點(diǎn)撥】a50，a60，這個(gè)數(shù)列是遞減數(shù)列，公差d0由此入手對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行分析，能求出結(jié)果【題文】9 已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)都有，則的最小值為（ ）A B C D 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算B11【答案】【解析】B 解析：f（x）=2ax+b，f（0）=b0；對(duì)于任意實(shí)數(shù)x都有，a0且b24ac0，b24ac，c0；，當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)故選C【思路點(diǎn)撥】先求導(dǎo)，由f（0）0可得b0，因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)x都有，所以結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得a0且b24ac0，又因?yàn)?，利用均值不等式即可求解【題文】10已知函數(shù)，則關(guān)于的方程（）的根的個(gè)數(shù)不可能為（ ） A

7、 B C D 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用B9【答案】【解析】A 解析：畫圖，和y=2x2+x圖象，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象可知或a3，4個(gè)根，5個(gè)根，6個(gè)根故選A【思路點(diǎn)撥】先畫出y=f（x）與y=2x2+x的圖象，結(jié)合兩個(gè)函數(shù)圖象，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想討論f（2x2+x）=a（a2）根可能的根數(shù)即可【題文】二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分請(qǐng)把正確答案填在答題卡的相應(yīng)位置【題文】11.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離為 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程N(yùn)3【答案】【解析】 解析：點(diǎn)P化為直角坐標(biāo)P（0，1）直線化為2xy+2=0點(diǎn)P到直線的距離d=故答案為：【思路點(diǎn)撥】點(diǎn)P化為直角坐

8、標(biāo)P（0，1）直線化為2xy+2=0再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出【題文】12.已知平面向量滿足：，且，則向量與的夾角為 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角F3【答案】【解析】 解析：將兩邊平方，得，化簡(jiǎn)整理得,因?yàn)?，由向量的夾角公式，所以向量與的夾角為.故答案為：.【思路點(diǎn)撥】將兩邊平方，整理得出，再根據(jù)，求出夾角余弦值，最后求出夾角大小【題文】13.在數(shù)列中，若，且、成公比為的等比數(shù)列，、成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合D5【答案】【解析】 解析：； 、成公差為1的等差數(shù)列，a6=a2+23，a6的最小值為3，a7的最小值也為3，此時(shí)a1=1，且、成公

9、比為的等比數(shù)列，必有q0，a7=a1q33，q33，q，故答案為。【思路點(diǎn)撥】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式將a6用a2表示，求出a6的最小值進(jìn)一步求出a7的最小值，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)求出公比的范圍【題文】14.把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵谋叮v坐標(biāo)不變），得到圖象的函數(shù)表達(dá)式為 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象變換C4【答案】【解析】 解析：把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得y=sin（x+）的圖象；再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=sin（x+）的圖象；故得到的圖象所表示的函數(shù)解析式為，故答案為：【思路點(diǎn)撥】由條件

10、根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論【題文】15.定義全集的子集的特征函數(shù)為，這里表示集合在全集中的補(bǔ)集已知，給出以下結(jié)論：若,則對(duì)于任意，都有；對(duì)于任意，都有；對(duì)于任意，都有；對(duì)于任意，都有其中正確的結(jié)論有 （寫出全部正確結(jié)論的序號(hào)）【知識(shí)點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用A1【答案】【解析】 解析：，fB（x）=，而CUA中可能有B的元素，但CUB中不可能有A的元素，即對(duì)于任意xU，都有fA（x）fB（x）故正確；對(duì)于B，結(jié)合fA（x）的表達(dá)式，可得fUA（x）=1fA（x），故正確；對(duì)于C，fAB（x）=fA（x）fB（x），故正確；對(duì)于D，fAB（x）=當(dāng)某個(gè)元素x在A中但不在B中，由于它在AB

11、中，故fAB（x）=1，而fA（x）=1且fB（x）=0，可得fAB（x）fA（x）fB（x）由此可得不正確故答案為：【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用集合的交集、并集和補(bǔ)集運(yùn)算法則，對(duì)各項(xiàng)中的運(yùn)算加以驗(yàn)證，可得都可以證明它們的正確性，而D項(xiàng)可通過反例說明它不正確由此得到本題答案【題文】三解答題：（本大題共6小題，共75分）【題文】16（本小題滿分12分）已知函數(shù)，點(diǎn)、分別是函數(shù)圖像上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)以及的值；（2）設(shè)點(diǎn)、分別在角、（）的終邊上，求的值【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象變換；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算C4 F3【答案】【解析】（1）-2；（2）解析：（1），當(dāng)，即時(shí)，f（x

12、）取得最大值1，當(dāng)，即時(shí)，f（x）取得最小值2因此，所求的坐標(biāo)為A（0，1），B（4，2）則,.（2）點(diǎn)A（0，1）、B（4，2）分別在角、（、0，2）的終邊上，則， ，則sin2=2sincos=，cos2=2cos21=【思路點(diǎn)撥】（1）由x的范圍求出的范圍，得到f（x）的最大值和最小值，從而求出A，B的坐標(biāo)，則的值可求；（2）由點(diǎn)A、B分別在角、（、0，2）的終邊上求出角的值和角的正余弦值，由倍角公式求得2的正余弦值，展開兩角差的正弦公式求得的值【題文】17（本小題滿分12分）在中, ，,，為內(nèi)一點(diǎn),.(1)若,求；(2)若,求的面積.【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理的應(yīng)用；正弦定理的應(yīng)用C8【答案】

13、【解析】(1) ; (2) . 解析：（1）在中, ，,，sinPBC ，可得PBC=60，BP=BCcos60=PBA=90PBC=30，APB中，由余弦定理PA2=PB2+AB22PBABcosPBA，得PA2= ，解得（舍負(fù)）（2）設(shè)PBA=，可得PBC=90，PAB=180PBAAPB=30，在RtBPC中，PB=BCcosPBC=cos（90）=sin，ABP中，由正弦定理得，sin=2sin（30）=2（cossin），化簡(jiǎn)得4sin=cos，結(jié)合是銳角，解得sin=，PB=sin=，ABP的面積S=ABPBsinPBA=【思路點(diǎn)撥】（1）在RtBPC中利用三角函數(shù)的定義，算出si

14、nPBC=，可得PBC=60，從而BP=BCcos60=然后在APB中算出PBA=30，利用余弦定理即可算出PA的大?。?）設(shè)PBA=，從而算出PB=sin，PAB=30在APB中根據(jù)正弦定理建立關(guān)于的等式，解出sin的值，得到PB長(zhǎng)再利用三角形面積公式加以計(jì)算，即可得出ABP的面積S【題文】18（本小題滿分12分）設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項(xiàng)為，且、構(gòu)成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和D4 D5【答案】【解析】(1) an2n1； (2) Tn3 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d（d0），則a2，a5，a14構(gòu)成等比

15、數(shù)列，aa2a14，即(14d)2(1d)(113d)，解得d0（舍去），或d2an1(n1)22n14分(2)由已知1，nN*，當(dāng)n1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，1(1)，nN*由（），知an2n1，nN*，bn，nN*又Tn，Tn兩式相減，得Tn()，Tn312分【思路點(diǎn)撥】(1) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d（d0），由a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列得關(guān)于d的方程，解出d后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an； (2) 由條件可知，n2時(shí)，1(1)，再由（）可求得bn，注意驗(yàn)證n=1的情形，利用錯(cuò)位相減法可求得Tn.【題文】19（本小題滿分12分）對(duì)于定義域?yàn)樯系暮瘮?shù)，如果同時(shí)滿足下列三條：對(duì)任意的 ，總有；

16、若，都有成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù)(1) 若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值；(2) 判斷函數(shù)（）是否為理想函數(shù)，并給出證明；(3) 若函數(shù)為理想函數(shù)，假定存在，使得，且，求證：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的值；抽象函數(shù)及其應(yīng)用B1 B14【答案】【解析】(1) ； (2) 見解析；(3)見解析. 解析：（1）取得，則，又，故；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，滿足條件；又滿足條件；若，則，滿足條件，故函數(shù)是理想函數(shù)（3）由條件，任給，當(dāng)時(shí)，且若，則，矛盾若，則，矛盾故【思路點(diǎn)撥】（1）取可得，由此可求出f（0）的值（2）在滿足條件，也滿足條件若，滿足條件，收此知故g（x）理想函數(shù)（3）由條件知，任給，當(dāng)時(shí)，且由此能夠推導(dǎo)出【題文】2

17、0（本小題滿分13分）現(xiàn)有六名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行傳球訓(xùn)練，由甲開始傳球（第一次傳球是由甲傳向其他五名運(yùn)動(dòng)員中的一位），若第次傳球后，球傳回到甲的不同傳球方式的種數(shù)記為.(1) 求出、的值，并寫出與的關(guān)系式；(2) 證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3) 當(dāng)時(shí)，證明：.【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合D5 E9【答案】【解析】(1) ,， ;(2) (3) 見解析. 解析：（1）,， 第次傳球后，不同傳球方式種數(shù)為，不在甲手中的種數(shù)為，當(dāng)時(shí)， 5分（2）由=得，又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.從而，故. 9分（3）.當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 則為偶數(shù) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 則為奇數(shù),從而 綜上，當(dāng)時(shí),.

18、分【思路點(diǎn)撥】（1）第次傳球后，不同傳球方式種數(shù)為，不在甲手中的種數(shù)為，由此能求出,，即可寫出與的關(guān)系式（2）由=得，由此能證明數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.，從而能求出（3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí), 則為偶數(shù)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí), 則為奇數(shù),從而 ，由此能證明當(dāng)時(shí),.【題文】21（本小題滿分14分）已知函數(shù)，（）.(1) 若時(shí)，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2) 在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)的最小值；(3) 設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)、，過線段的中點(diǎn)作軸的垂線分別交、于點(diǎn)、，問是否存在點(diǎn)，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【知識(shí)點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上

19、函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；兩條直線平行的判定.B11 B12G4【答案】【解析】(1) (2) 當(dāng)當(dāng) (3) C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行. 解析：（1）依題意：上是增函數(shù)，恒成立， b的取值范圍為 4分（2）設(shè)，即 ，當(dāng)上為增函數(shù)，當(dāng)t=1時(shí)，當(dāng) 7分當(dāng)上為減函數(shù)，當(dāng)t=2時(shí)，綜上所述，當(dāng)當(dāng) 8分（3）設(shè)點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)是則點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)為C1在M處的切線斜率為 C2在點(diǎn)N處的切線斜率假設(shè)C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線平行，則，即則 ， 設(shè)令則 所以上單調(diào)遞增，故 ， 則，這與矛盾，假設(shè)不成立,故C1在點(diǎn)M處的切線與C2在點(diǎn)N處的切線不平行 .13分【思路點(diǎn)撥】(1) 根據(jù)時(shí)，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，知道h（x）在其定義域內(nèi)大于等于零，得到一個(gè)關(guān)于b的不等式，解此不等式即得b的取值范圍；(2) 先設(shè)t=ex，將原函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，最后將原函數(shù)（x）的最小值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題即可； (3) 先假設(shè)存在點(diǎn)R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率進(jìn)而得出切線的方程，后利用斜率相等求出R的橫坐標(biāo)，如出現(xiàn)矛盾，則不存在；若不出現(xiàn)矛盾，則存在