（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù) 4.2 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)學(xué)案

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1、 §4.2　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 考綱解讀 考點 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計 2013 2014 2015 2016 2017 1.三角函數(shù)的圖象及其變換 1.能畫出y=sin x,y=cos x,y=tan x的圖象. 2.了解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的物理意義;能畫出y=Asin(ωx+φ)的圖象,了解參數(shù)A,ω,φ對函數(shù)圖象變化的影響. 理解 4,5分 5(文), 5分 3(文), 5分 11(文), 6分 2.三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用 1.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的性質(zhì). 2.了解三角函數(shù)的周期性. 理

2、解 6(文), 5分 10,5分 11,6分 5,5分 18,約7分 分析解讀　　1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)主要考查三角函數(shù)的概念、周期性、單調(diào)性、有界性及圖象的平移和伸縮變換等,多以小而活的選擇題與填空題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)以函數(shù)性質(zhì)為主的結(jié)合圖象的綜合題,考查數(shù)形結(jié)合思想. 2.考查形如y=Asin(ωx+φ)或通過三角恒等變換化為y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì),其中asin x+bcos x=sin(x+φ)尤其重要(例:2016浙江5題). 3.對y=Asin(ωx+φ)中A,ω,φ的考查是重點,圖象與性質(zhì)及平移、伸縮變換也是重點考查對象(例:2014浙江

3、4題). 4.預(yù)計2019年高考中,本節(jié)內(nèi)容仍是考查熱點,復(fù)習(xí)時應(yīng)高度重視. 五年高考 考點一　三角函數(shù)的圖象及其變換 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2014浙江,4,5分)為了得到函數(shù)y=sin 3x+cos 3x的圖象,可以將函數(shù)y=cos 3x的圖象(　　) A.向右平移個單位 B.向左平移個單位 C.向右平移個單位 D.向左平移個單位 答案　C 2.(2017天津文,7,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ),x∈R,其中ω>0,|φ|<π.若f=2,f=0,且f(x)的最小正周期大于2π,則　(　　) A.ω=,φ= B.ω=,φ=- C

4、.ω=,φ=- D.ω=,φ= 答案　A 3.(2017課標(biāo)全國Ⅰ理,9,5分)已知曲線C1:y=cos x,C2:y=sin,則下面結(jié)論正確的是(　　) A.把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2 B.把C1上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2 C.把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線C2 D.把C1上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向左平移個單位長度,得到曲線C2 答案　D 4.(2016

5、課標(biāo)全國Ⅱ,7,5分)若將函數(shù)y=2sin 2x的圖象向左平移個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為(　　) A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z) C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z) 答案　B 5.(2015湖南,9,5分)將函數(shù)f(x)=sin 2x的圖象向右平移φ個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,則φ=(　　) A. B. C. D. 答案　D 6.(2015課標(biāo)Ⅰ,8,5分)函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A.,k∈Z B

6、.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 答案　D 7.(2016江蘇,9,5分)定義在區(qū)間[0,3π]上的函數(shù)y=sin 2x的圖象與y=cos x的圖象的交點個數(shù)是　　　　.? 答案　7 8.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,14,5分)函數(shù)y=sin x-cos x的圖象可由函數(shù)y=sin x+cos x的圖象至少向右平移　　　　個單位長度得到.? 答案　 解析　設(shè)f(x)=sin x-cos x=2sin,g(x)=sin x+cos x=2sin,將g(x)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度后得到函數(shù)g(x-φ)=2sin=2sin=f(x)的圖象,所以x-φ+=2kπ+x+,k

7、∈Z,此時φ=-2kπ-,k∈Z,當(dāng)k=-1時,φ有最小值,為. 9.(2014山東,16,12分)已知向量a=(m,cos 2x),b=(sin 2x,n),函數(shù)f(x)=a·b,且y=f(x)的圖象過點和點. (1)求m,n的值; (2)將y=f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　(1)由題意知f(x)=a·b=msin 2x+ncos 2x. 因為y=f(x)的圖象經(jīng)過點和, 所以 即 解得m=,n=1. (2)由(1)知f(x)=

8、sin 2x+cos 2x=2sin. 由題意知g(x)=f(x+φ)=2sin. 設(shè)y=g(x)的圖象上符合題意的最高點為(x0,2), 由題意知+1=1, 所以x0=0, 即到點(0,3)的距離為1的最高點為(0,2). 將其代入y=g(x)得sin=1, 因為0<φ<π, 所以φ=. 因此g(x)=2sin=2cos 2x. 由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ,k∈Z, 所以函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 教師用書專用(10—15) 10.(2016北京,7,5分)將函數(shù)y=sin圖象上的點P向左平移s(s>0)個單位長度得到

9、點P'.若P'位于函數(shù)y=sin 2x的圖象上,則(　　) A.t=,s的最小值為 B.t=,s的最小值為 C.t=,s的最小值為 D.t=,s的最小值為 答案　A　 11.(2013湖北,4,5分)將函數(shù)y=cos x+sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是(　　) A. B. C. D. 答案　B　 12.(2013四川,5,5分)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<的部分圖象如圖所示,則ω,φ的值分別是(　　) A.2,- B.2,- C.4,- D.4, 答案　A　 13.

10、(2014安徽,11,5分)若將函數(shù)f(x)=sin的圖象向右平移φ個單位,所得圖象關(guān)于y軸對稱,則φ的最小正值是　　　　.? 答案　 14.(2015湖北,17,11分)某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式; (2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心

11、為,求θ的最小值. 解析　(1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=- . 數(shù)據(jù)補全如下表: ωx+φ 0 π 2π x π Asin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0 且函數(shù)表達式為f(x)=5sin. (2)由(1)知 f(x)=5sin, 得g(x)=5sin. 因為y=sin x的對稱中心為(kπ,0),k∈Z. 令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z. 由于函數(shù)y=g(x)的圖象關(guān)于點中心對稱, 令+-θ=,k∈Z, 解得θ=-,k∈Z. 由θ>0可知,當(dāng)k=1時,θ取得最小值. 15.(

12、2015福建,19,13分)已知函數(shù)f(x)的圖象是由函數(shù)g(x)=cos x的圖象經(jīng)如下變換得到:先將g(x)圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度. (1)求函數(shù)f(x)的解析式,并求其圖象的對稱軸方程; (2)已知關(guān)于x的方程f(x)+g(x)=m在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β. (i)求實數(shù)m的取值范圍; (ii)證明:cos(α-β)=-1. 解析　(1)將g(x)=cos x的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到y(tǒng)=2cos x的圖象,再將y=2cos x的圖象向右平移個單位長度后得到y(tǒng)=2cos的圖

13、象,故f(x)=2sin x. 從而函數(shù)f(x)=2sin x圖象的對稱軸方程為x=kπ+(k∈Z). (2)(i)f(x)+g(x)=2sin x+cos x==sin(x+φ). 依題意知,sin(x+φ)=在[0,2π)內(nèi)有兩個不同的解α,β,當(dāng)且僅當(dāng)<1,故m的取值范圍是(-,). (ii)證法一:因為α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=. 當(dāng)1≤m<時,α+β=2,即α-β=π-2(β+φ); 當(dāng)-

14、2sin2(β+φ)-1=2-1=-1. 證法二:因為α,β是方程sin(x+φ)=m在[0,2π)內(nèi)的兩個不同的解,所以sin(α+φ)=,sin(β+φ)=. 當(dāng)1≤m<時,α+β=2, 即α+φ=π-(β+φ); 當(dāng)-

15、5分)設(shè)函數(shù)f(x)=sin2x+bsin x+c,則f(x)的最小正周期(　　) A.與b有關(guān),且與c有關(guān) B.與b有關(guān),但與c無關(guān) C.與b無關(guān),且與c無關(guān) D.與b無關(guān),但與c有關(guān) 答案　B 2.(2013浙江文,6,5分)函數(shù)f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期和振幅分別是(　　) A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2 答案　A 3.(2017課標(biāo)全國Ⅲ理,6,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=cos,則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A.f(x)的一個周期為-2π B.y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱 C.f(x+π)的一個零點為x= D.

16、f(x)在單調(diào)遞減 答案　D 4.(2015浙江,11,6分)函數(shù)f(x)=sin2x+sin xcos x+1的最小正周期是　　　　,單調(diào)遞減區(qū)間是　　　　　　　　.? 答案　π;(k∈Z) 5.(2017浙江,18,14分)已知函數(shù)f(x)=sin2x-cos2x-2·sin xcos x(x∈R). (1)求f 的值; (2)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其變換等基礎(chǔ)知識,同時考查運算求解能力. (1)由sin=,cos=-, f=--2××, 得f=2. (2)由cos 2x=cos2x-sin2x與sin 2x=2si

17、n xcos x得 f(x)=-cos 2x-sin 2x=-2sin. 所以f(x)的最小正周期是π. 由正弦函數(shù)的性質(zhì)得+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以, f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z). 6.(2015山東,16,12分)設(shè)f(x)=sin xcos x-cos2. (1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)在銳角△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若f=0,a=1,求△ABC面積的最大值. 解析　(1)由題意知f(x)=- =-=sin 2x-. 由-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得-+kπ≤x≤+k

18、π,k∈Z; 由+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,可得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z); 單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z). (2)由f=sin A-=0,得sin A=, 由條件知A為銳角,所以cos A=. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A, 可得1+bc=b2+c2≥2bc, 即bc≤2+,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時等號成立. 因此bcsin A≤. 所以△ABC面積的最大值為. 7.(2015北京,15,13分)已知函數(shù)f(x)=sincos-sin2. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間[-π,0]上的最小值

19、. 解析　(1)因為f(x)=sin x-(1-cos x) =sin-,所以f(x)的最小正周期為2π. (2)因為-π≤x≤0,所以-≤x+≤. 當(dāng)x+=-,即x=-時, f(x)取得最小值. 所以f(x)在區(qū)間[-π,0]上的最小值為f=-1-. 教師用書專用(8—13) 8.(2017課標(biāo)全國Ⅱ文,3,5分)函數(shù)f(x)=sin的最小正周期為(　　) A.4π B.2π C.π D. 答案　C 9.(2016山東,7,5分)函數(shù)f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.

20、π C. D.2π 答案　B 10.(2013北京,3,5分)“φ=π”是“曲線y=sin(2x+φ)過坐標(biāo)原點”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 答案　A 11.(2013江蘇,1,5分)函數(shù)y=3sin的最小正周期為　　　　.? 答案　π 12.(2015重慶,18,13分)已知函數(shù)f(x)=sinsin x-cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值; (2)討論f(x)在上的單調(diào)性. 解析　(1)f(x)=sinsin x-cos2x =cos xsin x-(1+cos 2x) =

21、sin 2x-cos 2x-=sin-, 因此f(x)的最小正周期為π,最大值為. (2)當(dāng)x∈時,0≤2x-≤π,從而當(dāng)0≤2x-≤,即≤x≤時,f(x)單調(diào)遞增, 當(dāng)≤2x-≤π,即≤x≤時,f(x)單調(diào)遞減. 綜上可知,f(x)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減. 13.(2014天津,15,13分)已知函數(shù)f(x)=cos x·sin-cos2x+,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在閉區(qū)間上的最大值和最小值. 解析　(1)由已知,有 f(x)=cos x·-cos2x+ =sin x·cos x-cos2x+ =sin 2x-(1+cos 2x)

22、+ =sin 2x-cos 2x =sin. 所以f(x)的最小正周期T==π. (2)因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù), f=-, f=-, f=, 所以函數(shù)f(x)在閉區(qū)間上的最大值為,最小值為-. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點一　三角函數(shù)的圖象及其變換 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,4)將函數(shù)f(x)=3sin圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,再向右平移個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則y=g(x)圖象的一條對稱軸是　(　　) A.x= B.x= C.x=

23、 D.x= 答案　C 2.(2017浙江嘉興基礎(chǔ)測試,5)若函數(shù)g(x)的圖象可由函數(shù)f(x)=sin 2x+cos 2x的圖象向右平移個單位長度得到,則g(x)的解析式是(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.g(x)=2sin 2x B.g(x)=2sin C.g(x)=2sin D.g(x)=2sin 答案　A 3.(2016浙江鎮(zhèn)海中學(xué)測試(四),4)將函數(shù)f(x)=Asin(A>0,ω>0)的圖象向右平移個單位,得到的圖象與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,則實數(shù)ω的值可能為(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　C 考點二　三角函數(shù)的性質(zhì)及其

24、應(yīng)用 4.(2018浙江杭州地區(qū)重點中學(xué)第一學(xué)期期中,3)函數(shù)f(x)=的最小正周期是(　　) A.2π B.π C. D. 答案　C 5.(2017浙江名校新高考研究聯(lián)盟測試一,5)已知函數(shù)y=cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù),且A,B分別為函數(shù)圖象上的最高點與最低點,若|AB|的最小值為2,則該函數(shù)圖象的一條對稱軸是(　　) A.x= B.x= C.x= D.x=1 答案　D 6.(2016浙江溫州二模,10)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的圖象如圖所示,則ω=　　　,φ=　　　.? 答案　2; 7.(2018浙江蕭山九中12月月考,18)已知a

25、=(cos ωx-sin ωx,sin ωx),b=(-cos ωx-sin ωx,2cos ωx),其中ω∈.記函數(shù)f(x)=a·b+λ,若f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱. (1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若f(x)的圖象過原點,求f(x)在區(qū)間上的值域. 解析　(1)f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωxcos ωx+λ =sin 2ωx-cos 2ωx+λ=2sin+λ,(3分) ∵f(x)的圖象關(guān)于直線x=π對稱,∴2ωπ-=kπ+,k∈Z, 即2ω=k+,k∈Z,又ω∈,∴k=1,∴2ω=. 故f(x)=2sin +λ.(5分) 令2kπ-≤x

26、-≤2kπ+,k∈Z,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 故單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).(8分) (2)∵f(x)的圖象過原點,∴f(0)=-1+λ=0,∴λ=1, 則f(x)=2sin+1.(10分) ∵0≤x≤,∴-≤x-≤,(11分) 則-≤sin ≤1,(13分) 故f(x)在區(qū)間上的值域為[0,3].(14分) 8.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(3月),18)已知函數(shù)f(x)=2sin2x+cos. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間. 解析　(1)f(x)=2sin2x+cos=1-cos 2x+cos 2x+sin 2x=1+sin.

27、 故f(x)的最小正周期為π. (2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z, 得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 故f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為. B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江杭州二中期中,3)已知函數(shù)f(x)=sin(ω>0)的最小正周期為4π,則(　　) A.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱 B.函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=對稱 C.函數(shù)f(x)圖象上的所有點向右平移個單位長度后,所得的圖象關(guān)于原點對稱 D.函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增 答案　C 2.(2016浙江

28、名校(諸暨中學(xué))交流卷一,4)為了得到函數(shù)y=cos的圖象,只需將函數(shù)y=sin 2x的圖象(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.向右平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向左平移個單位 答案　D 二、填空題 3.(2017浙江寧波二模(5月),11)已知函數(shù)f(x)=asin 2x+(a+1)cos 2x,a∈R,則函數(shù)f(x)的最小正周期為　　　　;振幅的最小值為　　　　.? 答案　π; 4. (2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,13)已知x0,x0+是函數(shù)f(x)=cos2-sin2ωx(ω>0)的兩個相鄰的零點,則f=　　　

29、　;f(x)在[0,π]上的遞減區(qū)間為　　　　.. 答案　; 5.(2017浙江溫州十校期末聯(lián)考,13)設(shè)f(x)是定義在R上的最小正周期為的函數(shù),且在上f(x)=則a=　　　　, f=　　　　.? 答案　-1;- 三、解答題 6.(2017浙江金麗衢十二校第二次聯(lián)考,18)已知直線x=是函數(shù)f(x)=sin(3x+φ)(-π<φ<0)的圖象的一條對稱軸. (1)求φ; (2)求函數(shù)y=f(x)+f,x∈的值域. 解析　(1)由題意得3×+φ=+kπ,k∈Z, ∴φ=-+kπ,k∈Z. ∵φ∈(-π,0),∴φ=-,∴f(x)=sin. (2)y=f(x)+f=sin

30、+sin =sin+cos =sin. ∵x∈,∴3x+∈,∴y∈. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　三角函數(shù)圖象變換的解題策略 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江鎮(zhèn)海中學(xué)第一學(xué)期期中,5)要得到函數(shù)y=sin x的圖象,只需將函數(shù)y=cos的圖象(　　) A.向右平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向左平移個單位 答案　A 方法2　三角函數(shù)性質(zhì)的解題策略 2.(2017浙江名校(杭州二中)交流卷三,11)函數(shù)f(x)=sin+1的最小正周期為　　　　;單調(diào)遞增區(qū)間是　　　　　　;對稱軸方程為　　　　　　

31、.? 答案　π;(k∈Z);x=+(k∈Z) 方法3　求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的解析式的解題策略 3.(2017浙江臺州質(zhì)量評估,18)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π,且函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸方程為x=. (1)求ω和φ的值; (2)設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)+f,求g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間. 解析　(1)因為f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期為π, 所以T==π,所以ω=2. 由2x+φ=kπ+,k∈Z, 得x=+-,k∈Z, 由=+-,k∈Z, 得φ=kπ+,k∈Z, 又|φ|≤,所以φ=. (2)函數(shù)g(x)=f(x)+f=sin+sin 2x =sin 2x+cos 2x+sin 2x=sin. 令2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z, 所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為,k∈Z. 17