《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 6 第6講 空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 6 第6講 空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用教學(xué)案（23頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第6講空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用1空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a，b(b0)，ab的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)，使得ab(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使pxayb(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使得pxaybzc其中a，b，c叫做空間的一個(gè)基底2兩個(gè)向量的數(shù)量積(與平面向量基本相同)(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間中任取一點(diǎn)O，作a，b，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a，b通常規(guī)定0a，b若a，b，
2、則稱向量a，b互相垂直，記作ab.(2)兩向量的數(shù)量積兩個(gè)非零向量a，b的數(shù)量積ab|a|b|cosa，b(3)向量的數(shù)量積的性質(zhì)ae|a|cosa，e(其中e為單位向量)；abab0；|a|2aaa2；|ab|a|b|.(4)向量的數(shù)量積滿足如下運(yùn)算律(a)b(ab)；abba(交換律)；a(bc)abac(分配律)3空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)，a(a1，a2，a3)，aba1b1a2b2a3b3，aba1b1a2b2a3b30，aba1b1，a2b2，a3b3(R)，co
3、sa，b .(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則(x2x1，y2y1，z2z1)4直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：l是空間一直線，A，B是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量，顯然一條直線的方向向量可以有無數(shù)個(gè)(2)平面的法向量定義：與平面垂直的向量，稱做平面的法向量一個(gè)平面的法向量有無數(shù)多個(gè)，任意兩個(gè)都是共線向量確定：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為5空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n
4、2n1n20直線l的方向向量為n，平面的法向量為mlnmnm0lnmnm平面，的法向量分別為n，mnmnmnmnm0疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)空間中任意兩非零向量a，b共面()(2)在向量的數(shù)量積運(yùn)算中(ab)ca(bc)()(3)對于非零向量b，由abbc，則ac.()(4)若a，b，c是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量()(5)兩向量夾角的范圍與兩異面直線所成角的范圍相同()(6)若A、B、C、D是空間任意四點(diǎn)，則有0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1.(選修21P97A組T2改編)如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D
5、1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)若a，b，c，則_(用a，b，c表示)解析：()c(ba)abc.答案：abc2(選修21P98A組T3改編)正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長為_解析：|22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，所以|，所以EF的長為.答案：3(選修21P111練習(xí)T3改編)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中點(diǎn)，N是A1B1的中點(diǎn)，則直線ON，AM的位置關(guān)系是_解析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D
6、xyz，設(shè)DA2，則A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，所以(2，0，1)，(1，0，2)，2020，所以AMON.答案：垂直易錯(cuò)糾偏忽視空間向量共線與共面的區(qū)別在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(1，2，3)，B(2，1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，則直線AB與CD的位置關(guān)系是()A垂直B平行C異面 D相交但不垂直解析：選B.由題意得，(3，3，3)，(1，1，1)，所以3，所以與共線，又AB與CD沒有公共點(diǎn)，所以ABCD.空間向量的線性運(yùn)算 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC的中點(diǎn)(1)化簡_(2)用，表示，則_【解析】(1)().
7、(2)因?yàn)?)所以().【答案】(1)(2) (變問法)若本例條件不變，結(jié)論改為：設(shè)E是棱DD1上的點(diǎn)，且，若xyz，試求x，y，z的值解：()，由條件知，x，y，z.用已知向量表示某一向量的方法 1在空間四邊形ABCD中，若(3，5，2)，(7，1，4)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，則的坐標(biāo)為()A(2，3，3) B(2，3，3)C(5，2，1) D(5，2，1)解析：選B.因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，()，()所以()()()(3，5，2)(7，1，4)(4，6，6)(2，3，3)2.在三棱錐OABC中，點(diǎn)M，N分別是OA，BC的中點(diǎn)，G是ABC的重
8、心，用基向量，表示(1)；(2).解：(1)()().(2).共線、共面向量定理的應(yīng)用 已知點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)BD平面EFGH.【證明】(1)連接BG(圖略)，則()，由共面向量定理的推論知，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面(2)因?yàn)?)，所以EHBD.又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH.(1)證明空間三點(diǎn)P、A、B共線的方法(R)；對空間任一點(diǎn)O，t(tR)；對空間任一點(diǎn)O，xy(xy1)(2)證明空間四點(diǎn)P、M、A、B共面的方法xy；對空間任一點(diǎn)O，xy； 對空間任一點(diǎn)O，xyz
9、(xyz1)；(或或)1已知a(1，0，2)，b(6，21，2)，若ab，則與的值可以是()A2， B，C3，2 D2，2解析：選A.因?yàn)閍b，所以bka，即(6，21，2)k(1，0，2)，所以解得或2已知A，B，C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足()(1)判斷，三個(gè)向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)解：(1)由題知3，所以()()，即，所以，共面(2)由(1)知，共面且基線過同一點(diǎn)M，所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)空間向量的數(shù)量積 如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為60.(1)求的長；
10、(2)求與夾角的余弦值【解】(1)記a，b，c，則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60，所以abbcca.|2(abc)2a2b2c22(abbcca)11126，所以|，即AC1的長為.(2)bca，ab，所以|，|，(bca)(ab)b2a2acbc1，所以cos，.即與夾角的余弦值為.(1)空間向量數(shù)量積計(jì)算的兩種方法基向量法：ab|a|b|cosa，b坐標(biāo)法：設(shè)a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，則abx1x2y1y2z1z2.(2)利用數(shù)量積解決有關(guān)垂直、長度、夾角問題a0，b0，abab0.|a|.cosa，b. 1已知a(2，1，3)，b(1，2，1)，若a(ab
11、)，則實(shí)數(shù)的值為()A2 BC. D2解析：選D.由題意知a(ab)0，即a2ab0，所以1470，解得2.2已知空間三點(diǎn)A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)設(shè)a，b.(1)求a和b夾角的余弦值；(2)設(shè)|c|3，c，求c的坐標(biāo)解：(1)因?yàn)?1，1，0)，(1，0，2)，所以ab1001，|a|，|b|，所以cosa，b.(2)(2，1，2)設(shè)c(x，y，z)，因?yàn)閨c|3，c，所以3，存在實(shí)數(shù)使得c，即聯(lián)立解得或所以c(2，1，2)或c(2，1，2)利用空間向量證明平行和垂直(高頻考點(diǎn))空間幾何中的平行與垂直問題是高考試題中的熱點(diǎn)問題考查形式靈活多樣，可以是小題，也可以是解
12、答題的一部分，或解答題的某個(gè)環(huán)節(jié)，是高考中的重要得分點(diǎn)主要命題角度有：(1)證明平行問題；(2)證明垂直問題角度一證明平行問題 如圖所示，平面PAD平面ABCD，ABCD為正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)求證：(1)PB平面EFG；(2)平面EFG平面PBC.【證明】(1)因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD，且ABCD為正方形，所以AB，AP，AD兩兩垂直以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB，AD，AP正方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0
13、，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)法一：(0，1，0)，(1，2，1)，設(shè)平面EFG的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，則n(1，0，1)為平面EFG的一個(gè)法向量，因?yàn)?2，0，2)，所以n0，所以n，因?yàn)镻B平面EFG，所以PB平面EFG.法二：(2，0，2)，(0，1，0)，(1，1，1)設(shè)st，即(2，0，2)s(0，1，0)t(1，1，1)，所以解得st2.所以22，又因?yàn)榕c不共線，所以，與共面因?yàn)镻B平面EFG，所以PB平面EFG.(2)因?yàn)?0，1，0)，(0，2，0)，所以2，所以BCEF.又因?yàn)镋F平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，同理可證GFPC
14、，從而得出GF平面PBC.又EFGFF，EF平面EFG，GF平面EFG，所以平面EFG平面PBC.角度二證明垂直問題 如圖，在三棱錐PABC中，ABAC，D為BC的中點(diǎn)，PO平面ABC，垂足O落在線段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)證明：APBC；(2)若點(diǎn)M是線段AP上一點(diǎn)，且AM3.試證明平面AMC平面BMC.【證明】(1)如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線OD為y軸正半軸，射線OP為z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則O(0，0，0)，A(0，3，0)，B(4，2，0)，C(4，2，0)，P(0，0，4)于是(0，3，4)，(8，0，0)，所以(0，3，4)(8，0，0
15、)0，所以，即APBC.(2)由(1)知AP5，又AM3，且點(diǎn)M在線段AP上，所以，又(4，5，0)，所以，則(0，3，4)0，所以，即APBM，又根據(jù)(1)的結(jié)論知APBC，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.(1)利用空間向量解決平行、垂直問題的一般步驟建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)，要盡可能地利用已知圖形中的垂直關(guān)系；建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素；通過空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算研究平行、垂直關(guān)系；根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題(2)空間線面位置關(guān)系的坐標(biāo)表示設(shè)直線l，m的方向向量分別為a(a1，b1，c1
16、)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分別為u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)線線平行l(wèi)mabakba1ka2，b1kb2，c1kc2.線線垂直lmabab0a1a2b1b2c1c20.線面平行(l)lauau0a1a3b1b3c1c30.線面垂直lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3.面面平行uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4.面面垂直uvuv0a3a4b3b4c3c40. 1如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1MAN，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是()A相交 B平行C垂直 D不能確定解析：選B.因?yàn)檎?/p>
17、體棱長為a，A1MAN，所以，所以()().又因?yàn)镃D是平面B1BCC1的法向量，且0，所以，又MN平面B1BCC1，所以MN平面B1BCC1.2在四棱錐PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD為正方形，PDDC，E，F(xiàn)分別是AB，PB的中點(diǎn)(1)求證：EFCD；(2)在平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)G，使GF平面PCB？若存在，求出點(diǎn)G坐標(biāo)；若不存在，試說明理由解：(1)證明：由題意知，DA，DC，DP兩兩垂直如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)ADa，則D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E
18、，P(0，0，a)，F(xiàn).，(0，a，0)因?yàn)?，所以，從而得EFCD.(2)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)G，設(shè)G(x，0，z)，則，若使GF平面PCB，則由(a，0，0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.所以G點(diǎn)坐標(biāo)為，故存在滿足條件的點(diǎn)G，且點(diǎn)G為AD的中點(diǎn)基礎(chǔ)題組練1.已知三棱錐OABC，點(diǎn)M，N分別為AB，OC的中點(diǎn)，且a，b，c，用a，b，c表示，則等于()A.(bca)B.(abc)C.(abc)D.(cab)解析：選D.(cab)2已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a、b、c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)等于()A.B9C. D.解析：選D.由題意知存在實(shí)數(shù)x，y使得
19、cxayb，即(7，5，)x(2，1，3)y(1，4，2)，由此得方程組解得x，y，所以.3已知A(1，0，0)，B(0，1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，與的夾角為120，則的值為()A B.C D解析：選C.(1，)，cos 120，得.經(jīng)檢驗(yàn)不合題意，舍去，所以.4如圖，四個(gè)棱長為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，Pi(i1，2，8)是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則(i1，2，8)的不同值的個(gè)數(shù)為()A1 B2C4 D8解析：選A.由題圖知，AB與上底面垂直，因此ABBPi(i1，2，8)，|cosBAPi|1(i1，2，8)故選A.5正方體ABCDA1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成
20、角的余弦值為()A. B.C. D.解析：選D.不妨設(shè)正方體的棱長為1，如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D(0，0，0)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，平面ACD1的法向量為(1，1，1)，又(0，0，1)，所以cos，所以BB1與平面ACD1所成角的余弦值為 .6如圖所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E為PB的中點(diǎn)，cos，若以DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為()A(1，1，1) B.C. D(1，1，2)解析：選A.設(shè)P(0，0，z)，依題意知A(2，0，0)，B
21、(2，2，0)，則E，于是(0，0，z)，cos，.解得z2，由題圖知z2，故E(1，1，1)7在空間直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A(4，1，9)，B(10，1，6)，C(x，4，3)為頂點(diǎn)的ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)x的值為_解析：由題意知(6，2，3)，(x4，3，6)又0，|，可得x2.答案：28已知2ab(0，5，10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，則以b，c為方向向量的兩直線的夾角為_解析：由題意得，(2ab)c0102010.即2acbc10，又因?yàn)閍c4，所以bc18，所以cosb，c，所以b，c120，所以兩直線的夾角為60.答案：609已知點(diǎn)P是平行四邊形A
22、BCD所在平面外的一點(diǎn)，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)對于結(jié)論：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正確的是_解析：因?yàn)?，0，所以ABAP，ADAP，則正確又與不平行，所以是平面ABCD的法向量，則正確因?yàn)?2，3，4)，(1，2，1)，所以與不平行，故錯(cuò)答案：10在正三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱長為2，底面邊長為1，M為BC的中點(diǎn)，且AB1MN，則的值為_解析：如圖所示，取B1C1的中點(diǎn)P，連接MP，以點(diǎn)M為原點(diǎn)，以，的方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系Mxyz，因?yàn)榈酌孢呴L為1，側(cè)棱長為2，則A，B1(，0，2)，C，C1，M(0，0，0)，
23、設(shè)N，因?yàn)?，所以N，所以，.又因?yàn)锳B1MN，所以0.所以0，所以15.答案：1511已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)求證：FC1平面ADE.證明：如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1的正方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)(0，2，1)，(2，0，0)，(0，2，1)設(shè)n(x，y，z)是平面ADE的一個(gè)法向量，則即解得令z2，則y1，所以n(0，1，2)因?yàn)閚220.所以n.因?yàn)镕C1平面ADE，所以FC1平
24、面ADE.12如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)O為底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.證明：A1C平面BB1D1D.證明：由題設(shè)易知OA，OB，OA1兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，OA，OB，OA1的正方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.因?yàn)锳BAA1，所以O(shè)AOBOA11，所以A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)由，易得B1(1，1，1)因?yàn)?1，0，1)，(0，2，0)，(1，0，1)，所以0，0，所以A1CBD，A1CBB1.又BDBB1B，所以A1C平面BB1D1D.綜合題組練1
25、已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，點(diǎn)M在AC1上且1，N為B1B的中點(diǎn)，則|為()A.a B.aC.a D.a解析：選A.以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD1的正方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則A(a，0，0)，C1(0，a，a)，N.設(shè)M(x，y，z)，因?yàn)辄c(diǎn)M在AC1上且，所以(xa，y，z)(x，ay，az)，所以xa，y，z.所以M，所以| a.2設(shè)A，B，C，D是不共面的四點(diǎn)，且滿足0，0，0，則BCD是()A鈍角三角形 B直角三角形C銳角三角形 D不確定解析：選C.因?yàn)?，0，0，所以ABAC，ABAD，ADAC.如圖所示，設(shè)a，b，c，所以
26、BC2a2b2，BD2a2c2，CD2b2c2.由余弦定理知BC2BD2CD22BDCDcosBDC，所以a2b2a2c2b2c22cosBDC，所以cosBDC0，所以BDC是銳角同理可知DBC，BCD都是銳角，故BCD是銳角三角形3已知e1，e2是空間單位向量，e1e2，若空間向量b滿足be12，be2，且對于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，則x0_，y0_，|b|_解析：對于任意x，yR，|b(xe1ye2)|b(x0e1y0e2)|1(x0，y0R)，說明當(dāng)xx0，yy0時(shí)，|b(xe1ye2)|取得最小值1. |b(xe1ye2)|2|
27、b|2(xe1ye2)22b(xe1ye2)|b|2x2y2xy4x5y，要使|b|2x2y2xy4x5y取得最小值，需要把x2y2xy4x5y看成關(guān)于x的二次函數(shù)，即f(x)x2(y4)xy25y，其圖象是開口向上的拋物線，對稱軸方程為x2，所以當(dāng)x2時(shí)，f(x)取得最小值，代入化簡得f(x)(y2)27，顯然當(dāng)y2時(shí)，f(x)min7，此時(shí)x21，所以x01，y02.此時(shí)|b|271，可得|b|2.答案：1224(2020浙江省十校聯(lián)合體期末聯(lián)考)在三棱錐OABC中，已知OA，OB，OC兩兩垂直且相等，點(diǎn)P、Q分別是線段BC和OA上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足BPBC，AQAO，則PQ和OB所成角的余弦
28、值的取值范圍是_解析：根據(jù)題意，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)A，OB，OC正方向?yàn)閤軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz，不妨設(shè)OAOBOC1，則A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，P(0，b，1b)(b1)，Q(a，0，0)(0a)(a，b，1b)，(0，1，0)，所以cos，.因?yàn)?，1，1，2，所以a0，b1時(shí)，cos，1，取得最大值；ab時(shí)，cos，取得最小值，所以PQ和OB所成角的余弦值的取值范圍是.答案：5.如圖，在多面體ABCA1B1C1中，四邊形A1ABB1是正方形，ABAC，BCAB，B1C1綊BC，二面角A1ABC是直二面角求證：(1)A1B1平面AA
29、1C；(2)AB1平面A1C1C.證明：因?yàn)槎娼茿1ABC是直二面角，四邊形A1ABB1為正方形，所以AA1平面BAC.又因?yàn)锳BAC，BCAB，所以CAB90，即CAAB，所以AB，AC，AA1兩兩互相垂直以A為原點(diǎn)，AC，AB，AA1為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，設(shè)AB2，則A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2)(1)(0，2，0)，(0，0，2)，(2，0，0)，設(shè)平面AA1C的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則即即取y1，則n(0，1，0)所以2n，即n.所以A1B1平面AA1C.(2)易知(0，2，2)
30、，(1，1，0)，(2，0，2)，設(shè)平面A1C1C的一個(gè)法向量m(x1，y1，z1)，則即令x11，則y11，z11，即m(1，1，1)所以m012(1)210，所以m，又AB1平面A1C1C，所以AB1平面A1C1C.6.如圖所示，四棱錐SABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)(1)求證：ACSD.(2)若SD平面PAC，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC的值；若不存在，試說明理由解：(1)證明：連接BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接SO，則ACBD.由題意知SO平面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖設(shè)底面邊長為a，則高SOa，于是S，D，B，C，則0.故OCSD.從而ACSD.(2)側(cè)棱SC上存在一點(diǎn)E，使BE平面PAC.理由如下：由已知條件知是平面PAC的一個(gè)法向量，且，.設(shè)t，則t，而0，解得t.即當(dāng)SEEC21時(shí)，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.23
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 6 第6講 空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用教學(xué)案
