2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第7節(jié) 拋物線 理(含解析)
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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫(kù) 第八章 第7節(jié) 拋物線 理(含解析) 1.(xx湖南,5分)如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a0)經(jīng)過(guò)C,F(xiàn)兩點(diǎn),則=________. 解析:由正方形的定義可知BC=CD,結(jié)合拋物線的定義得點(diǎn)D為拋物線的焦點(diǎn),所以|AD|=p=a,D,F(xiàn),將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的方程得b2=2p=a2+2ab,變形得2--1=0,解得=1+或=1-(舍去),所以=1+. 答案:1+ 2.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,5分)已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C
2、的一個(gè)交點(diǎn),若=4,則|QF|=( ) A. B. C.3 D.2 解析:過(guò)點(diǎn)Q作QQ′⊥l交l于點(diǎn)Q′,因?yàn)椋?,所以|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為4,所以|QF|=|QQ′|=3.故選C. 答案:C 3.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為( ) A. B. C. D. 解析:易知拋物線中p=,焦點(diǎn)F,直線AB的斜率k=,故直線AB的方程為y=,代入拋物線方程y2=3x,整理得x2-x+=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
3、),則x1+x2=.由拋物線的定義可得弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p=+=12,結(jié)合圖象可得O到直線AB的距離d=·sin 30°=,所以△OAB的面積S=|AB|·d=. 答案:D 4.(xx遼寧,5分)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,過(guò)點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B,記C的焦點(diǎn)為F,則直線BF的斜率為( ) A. B. C. D. 解析:∵A(-2,3)在拋物線y2=2px的準(zhǔn)線上,∴-=-2,∴p=4,∴y2=8x,設(shè)直線AB的方程為x=k(y-3)-2?、?,將①與y2=8x聯(lián)立,即得y2-8ky+24k+16=0?、?,則Δ=(-8k)
4、2-4(24k+16)=0,即2k2-3k-2=0,解得k=2或k=-(舍去),將k=2代入①②解得,即B(8,8),又F(2,0),∴kBF==,故選D. 答案:D 5.(xx山東,14分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線l交C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),△ADF為正三角形. (1)求C的方程; (2)若直線l1∥l,且l1和C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E, ①證明直線AE過(guò)定點(diǎn),并求出定點(diǎn)坐標(biāo); ②△ABE的面積是否存在最小值?若存在,請(qǐng)求出最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:
5、由題意知F. 設(shè)D(t,0)(t>0),則FD的中點(diǎn)為. 因?yàn)閨FA|=|FD|,由拋物線的定義知3+=, 解得t=3+p或t=-3(舍去). 由=3,解得p=2. 所以拋物線C的方程為y2=4x. (2)①由(1)知F(1,0), 設(shè)A(x0,y0)(x0y0≠0),D(xD,0)(xD>0), 因?yàn)閨FA|=|FD|,則|xD-1|=x0+1, 由xD>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0). 故直線AB的斜率kAB=-. 因?yàn)橹本€l1和直線AB平行, 設(shè)直線l1的方程為y=-x+b, 代入拋物線方程得y2+y-=0, 由題意Δ=+=0,得b=-. 設(shè)E(x
6、E,yE),則yE=-,xE=. 當(dāng)y≠4時(shí),kAE==-=, 可得直線AE的方程為y-y0=(x-x0), 由y=4x0,整理可得y=(x-1),直線AE恒過(guò)點(diǎn)F(1,0).當(dāng)y=4時(shí),直線AE的方程為x=1,過(guò)點(diǎn)F(1,0),所以直線AE過(guò)定點(diǎn)F(1,0). ②由①知直線AE過(guò)焦點(diǎn)F(1,0), 所以|AE|=|AF|+|FE|=(x0+1)+=x0++2. 設(shè)直線AE的方程為x=my+1, 因?yàn)辄c(diǎn)A(x0,y0)在直線AE上,故m=. 設(shè)B(x1,y1).直線AB的方程為y-y0=-(x-x0), 由于y0≠0,可得x=-y+2+x0, 代入拋物線方程得y2+y-8-
7、4x0=0. 所以y0+y1=-,可求得y1=-y0-,x1=+x0+4. 所以點(diǎn)B到直線AE的距離為 d=== 4. 則△ABE的面積S=×4x0++2≥16,當(dāng)且僅當(dāng)=x0,即x0=1時(shí)等號(hào)成立. 所以△ABE的面積的最小值為16. 6.(xx陜西,13分)如圖,曲線C由上半橢圓C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分拋物線C2:y=-x2+1(y≤0)連接而成,C1與C2的公共點(diǎn)為A,B,其中C1的離心率為. (1)求a,b的值; (2)過(guò)點(diǎn)B的直線l與C1,C2分別交于點(diǎn)P,Q(均異于點(diǎn)A,B),若AP⊥AQ,求直線l的方程. 解:(1)在C1,C2的方程中,令
8、y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半橢圓C1的左、右頂點(diǎn). 設(shè)C1的半焦距為c,由=及a2-c2=b2=1得a=2. ∴a=2,b=1. (2)由(1)知,上半橢圓C1的方程為+x2=1(y≥0). 易知,直線l與x軸不重合也不垂直,設(shè)其方程為y=k(x-1)(k≠0), 代入C1的方程,整理得 (k2+4)x2-2k2x+k2-4=0. (*) 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xP,yP), ∵直線l過(guò)點(diǎn)B,∴x=1是方程(*)的一個(gè)根. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得xP=,從而yP=, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 同理,由 得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k). ∴=(k,
9、-4),=-k(1,k+2). ∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0, ∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-. 經(jīng)檢驗(yàn),k=-符合題意, 故直線l的方程為y=-(x-1). 7.(xx新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5分)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上,|MF|=5.若以MF為直徑的圓過(guò)點(diǎn)(0,2),則C的方程為( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 解析:本題考查拋物線與圓的有關(guān)知識(shí),意在考查考生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力. 由
10、已知得拋物線的焦點(diǎn)F,設(shè)點(diǎn)A(0,2),拋物線上點(diǎn)M(x0,y0),則=,=.由已知得,·=0,即y-8y0+16=0,因而y0=4,M. 由|MF|=5得, =5,又p>0,解得p=2或p=8,故選C. 答案: C 8.(xx北京,5分)若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=________,準(zhǔn)線方程為________. 解析:本題主要考查拋物線的方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),意在考查考生的運(yùn)算求解能力. 因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),所以=1,p=2,準(zhǔn)線方程為x=-=-1. 答案:2 x=-1 9.(xx江西,5分)拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與
11、雙曲線-=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p=________. 解析:本題考查拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì),意在考查考生的數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化與化歸的能力.由x2=2py(p>0)得焦點(diǎn)F,準(zhǔn)線l為y=-,所以可求得拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線-=1的交點(diǎn)A,B,所以|AB|= ,則|AF|=|AB|= ,所以=sin ,即=,解得p=6. 答案:6 10.(xx湖南,13分)過(guò)拋物線E:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1,k2的兩條不同直線l1,l2,且k1+k2=2,l1與E相交于點(diǎn)A,B,l2與E相交于點(diǎn)C,D,以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N
12、為圓心)的公共弦所在直線記為l. (1)若k1>0,k2>0,證明:·<2p2; (2)若點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為,求拋物線E的方程. 解:本小題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何意義,圓的方程及兩圓的公共弦的求法,點(diǎn)到直線的距離公式,直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,向量的數(shù)量積,基本不等式的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值的求法,考查運(yùn)算求解能力和函數(shù)方程思想、轉(zhuǎn)化化歸思想和數(shù)形結(jié)合思想.屬難題. (1)由題意,拋物線E的焦點(diǎn)為F, 直線l1的方程為y=k1x+. 由得x2-2pk1x-p2=0. 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1,x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根
13、.從而x1+x2=2pk1,y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk+p.
所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為,=(pk1,pk).
同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為,=(pk2,pk).
于是·=p2(k1k2+kk).
由題設(shè),k1+k2=2,k1>0,k2>0,k1≠k2,
所以0 14、圓N的方程為
x2+y2-2pk2x-p(2k+1)y-p2=0.
于是圓M,圓N的公共弦所在直線l的方程為
(k2-k1)x+(k-k)y=0.
又k2-k1≠0,k1+k2=2,則l的方程為x+2y=0.
因?yàn)閜>0,所以點(diǎn)M到直線l的距離
d==
=.
故當(dāng)k1=-時(shí),d取最小值.由題設(shè),=,解得p=8.
故所求的拋物線E的方程為x2=16y.
11.(xx山東,5分)已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為( )
A.x2=y(tǒng) B. 15、x2=y(tǒng)
C.x2=8y D.x2=16y
解析:雙曲線的漸近線方程為y=±x,由于== =2,所以=,所以雙曲線的漸近線方程為y=±x.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,),所以=2,所以p=8,所以拋物線方程為x2=16y.
答案:D
12.(2011新課標(biāo)全國(guó),5分)已知直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn),且與C的對(duì)稱軸垂直,l與C交于A,B兩點(diǎn),|AB|=12,P為C的準(zhǔn)線上一點(diǎn),則△ABP的面積為( )
A.18 B.24
C.36 D.48
解析:設(shè)拋物線方程為y2=2px,則焦點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),將x=代入y2=2px可得y2=p2,|AB|=12,即2p=12,∴p=6.點(diǎn) 16、P在準(zhǔn)線上,到AB的距離為p=6,所以△PAB的面積為×6×12=36.
答案:C
13.(2011遼寧,5分)已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),|AF|+|BF|=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為( )
A. B.1
C. D.
解析:根據(jù)拋物線定義與梯形中位線定理,得線段AB中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為:(|AF|+|BF|)-=-=.
答案:C
14.(xx天津,5分)已知拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),其中p>0,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.過(guò)拋物線上一點(diǎn)M作l的垂線,垂足為E.若|EF|=|MF|,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3,則p=________.
解析:由 17、題意知,拋物線的普通方程為y2=2px(p>0),焦點(diǎn)F(,0),準(zhǔn)線x=-,設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A.由拋物線定義可得|EM|=|MF|,所以△MEF是正三角形,在直角三角形EFA中,|EF|=2|FA|,即3+=2p,得p=2.
答案:2
15.(xx陜西,5分)右圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米.水位下降1米后,水面寬______米.
解析:以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線的方程為x2=-2py,則點(diǎn)(2,-2)在拋物線上,代入可得p=1,所以x2=-2y.當(dāng)y=-3時(shí),x2=6,所以水面寬為2.
答案:2
16.(xx浙江,4 18、分)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(0,2).若線段FA的中點(diǎn)B在拋物線上,則B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為________.
解析:拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(,0),線段FA的中點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,1),代入拋物線方程得1=2p×,
解得p=,故點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,1),故點(diǎn)B到該拋物線準(zhǔn)線的距離為+=.
答案:
17.(2011新課標(biāo)全國(guó),12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,-1),B點(diǎn)在直線y=-3上,M點(diǎn)滿足∥,·=·,M點(diǎn)的軌跡為曲線C.
(1)求C的方程;
(2)P為C上的動(dòng)點(diǎn),l為C在P點(diǎn)處的切線,求O點(diǎn)到l距離的最小值.
解:(1)設(shè)M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).
所以=(-x,-1-y),=(0,-3-y),
=(x,-2).
再由題意可知(+)·=0,
即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0
所以曲線C的方程為y=x2-2.
(2)設(shè)P(x0,y0)為曲線C:y=x2-2上一點(diǎn),因?yàn)閥 ′=x,所以l的斜率為x0.
因此直線l的方程為y-y0=x0(x-x0),
即x0x-2y+2y0-x=0.
則O點(diǎn)到l的距離d=.又y0=x-2,所以
d==(+)≥2,
當(dāng)x0=0時(shí)取等號(hào),所以O(shè)點(diǎn)到l距離的最小值為2.
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