《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 7 第7講 拋物線教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 7 第7講 拋物線教學(xué)案（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第7講拋物線1拋物線的定義滿足以下三個條件的點的軌跡是拋物線：(1)在平面內(nèi)；(2)動點到定點F的距離與到定直線l的距離相等；(3)定點不在定直線上2拋物線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程y22px (p0)y22px (p0)x22py (p0)x22py (p0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0，0)對稱軸y0x0焦點FFFF離心率e1準線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的
2、距離相等的點的軌跡一定是拋物線()(2)若直線與拋物線只有一個交點，則直線與拋物線一定相切()(3)若一拋物線過點P(2，3)，則其標準方程可寫為y22px(p0)()(4)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()答案：(1)(2)(3)(4)教材衍化1(選修21P72練習(xí)T1改編)過點P(2，3)的拋物線的標準方程是()Ay2x或x2yBy2x或x2yCy2x或x2yDy2x或x2y解析：選A.設(shè)拋物線的標準方程為y2kx或x2my，代入點P(2，3)，解得k，m，所以y2x或x2y.故選A.2(選修21P73A組T3改編)拋物線y28x上到其焦點F距離為5的點P有()A0個B1個C2個
3、D4個解析：選C.設(shè)P(x1，y1)，則|PF|x125，y8x1，所以x13，y12.故滿足條件的點P有兩個故選C.易錯糾偏(1)忽視拋物線的標準形式；(2)忽視p的幾何意義；(3)易忽視焦點的位置出現(xiàn)錯誤1拋物線8x2y0的焦點坐標為()A(0，2) B(0，2)C. D.解析：選C.由8x2y0，得x2y.2p，p，所以焦點為，故選C.2已知拋物線C與雙曲線x2y21有相同的焦點，且頂點在原點，則拋物線C的方程是()Ay22x By22xCy24x Dy24x解析：選D.由已知可知雙曲線的焦點為(，0)，(，0)設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，則，所以p2，所以拋物線方程為y24x.故
4、選D.3若拋物線的焦點在直線x2y40上，則此拋物線的標準方程為_解析：令x0，得y2；令y0，得x4.所以拋物線的焦點是(4，0)或(0，2)，故所求拋物線的標準方程為y216x或x28y.答案：y216x或x28y拋物線的定義、標準方程與應(yīng)用(高頻考點)拋物線的定義是高考的熱點，考查時多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，個別高考題有一定難度主要命題角度有：(1)求拋物線的標準方程；(2)求拋物線上的點與焦點的距離；(3)求距離和的最值角度一求拋物線的標準方程 已知動圓過定點F，且與直線x相切，其中p0，則動圓圓心的軌跡E的方程為_【解析】依題意得，圓心到定點F的距離與到直線x的距離相等，由拋物線的
5、定義可知，動圓圓心的軌跡E為拋物線，其方程為y22px.【答案】y22px角度二求拋物線上的點與焦點的距離 已知F是拋物線C：y28x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點，則|FN|_【解析】法一：依題意，拋物線C：y28x的焦點F(2，0)，準線x2，因為M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，M為FN的中點，設(shè)M(a，b)(b0)，所以a1，b2，所以N(0，4)，|FN|6.法二：依題意，拋物線C：y28x的焦點F(2，0)，準線x2，因為M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，M為FN的中點，則點M的橫坐標為1，所以|MF|1(2)3，|FN|2|MF|6.
6、【答案】6角度三求距離和的最值 已知拋物線y24x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點B(3，2)，則|PB|PF|的最小值為_【解析】如圖，過點B作BQ垂直準線于點Q，交拋物線于點P1，則|P1Q|P1F|，則有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值為4.【答案】4 (變條件)若本例中的B點坐標改為(3，4)，試求|PB|PF|的最小值解：由題意可知點(3，4)在拋物線的外部因為|PB|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點間的距離，所以|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值為2.拋物線定義的應(yīng)用(1)利用拋物線的定義解決此類問題，應(yīng)靈活地進行拋物線上的點到焦點
7、的距離與到準線的距離的等價轉(zhuǎn)化即“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”(2)注意靈活運用拋物線上一點P(x，y)到焦點F的距離|PF|x|或|PF|y|. 1已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若4，則|QF|()A.B.C3 D2解析：選C.因為4，所以|4|，所以.如圖，過Q作QQl，垂足為Q，設(shè)l與x軸的交點為A，則|AF|4，所以，所以|QQ|3，根據(jù)拋物線定義可知|QF|QQ|3.2.如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則BCF與ACF的面積之比是()A.
8、B.C.D.解析：選A.由題圖可知，BCF與ACF有公共的頂點F，且A，B，C三點共線，易知BCF與ACF的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點F(1，0)，作準線l，如圖所示，則l的方程為x1.因為點A，B在拋物線上，過A，B分別作AK，BH與準線垂直，垂足分別為點K，H，且與y軸分別交于點N，M.由拋物線定義，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，所以 .拋物線的性質(zhì)及應(yīng)用 (1)以拋物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準線的距離為()A2 B4C6 D8(2)(2020寧波模擬)若點P為拋物線y2x2上
9、的動點，F(xiàn)為拋物線的焦點，則|PF|的最小值為()A2 B.C. D.【解析】(1)由題意，不妨設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，由|AB|4，|DE|2，可取A，D，設(shè)O為坐標原點，由|OA|OD|，得85，得p4，所以選B.(2)由題意知x2y，則F，設(shè)P(x0，2x)，則|PF|2x，所以當(dāng)x0時，|PF|min.【答案】(1)B(2)D拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準線時，關(guān)鍵是將拋物線方程化成標準方程(2)要結(jié)合圖形分析，靈活運用平面圖形的性質(zhì)以形助數(shù) 1已知拋物線C：y2x的焦點為F，A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0()A1 B2C4 D
10、8解析：選A.由題意知拋物線的準線為x.因為|AF|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0|AF|x0，解得x01.2(2020浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)拋物線y22px(p0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|4|OF|，MFO的面積為4，則拋物線的方程為()Ay26x By28xCy216x Dy2解析：選B.設(shè)M(x，y)，因為|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由拋物線定義知x2p，所以xp，所以yp，又MFO的面積為4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以拋物線的方程為y28x.3(2020杭州中學(xué)高三月考)設(shè)拋物線y22px(p0)的焦點為F，準線為l，點A(
11、0，2)若線段FA的中點B在拋物線上，則F到l的距離為_，|FB|_解析：依題意可知F點坐標為，所以B點坐標為，代入拋物線方程解得p，所以F到l的距離為，|FB|.答案：拋物線與圓的交匯 (1)設(shè)經(jīng)過拋物線C的焦點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，那么拋物線C的準線與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系為()A相離 B相切C相交但不經(jīng)過圓心 D相交且經(jīng)過圓心(2)(2020杭州市高三模擬)已知點A是拋物線y22px(p0)上一點，F(xiàn)為其焦點，以F為圓心，以|FA|為半徑的圓交準線于B，C兩點，F(xiàn)BC為正三角形，且ABC的面積是，則拋物線的方程為()Ay212x By214xCy216x Dy218x【解
12、析】(1)設(shè)圓心為M，過點A，B，M作準線l的垂線，垂足分別為A1，B1，M1，則|MM1|(|AA1|BB1|)由拋物線定義可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，所以|AB|BB1|AA1|，|MM1|AB|，即圓心M到準線的距離等于圓的半徑，故以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切(2)由題意，如圖可得cos 30及|DF|p，可得|BF|，從而|AF|，由拋物線的定義知點A到準線的距離也為，又因為ABC的面積為，所以，解得p8，故拋物線的方程為y216x.【答案】(1)B(2)C解拋物線與圓的交匯問題的方法(1)利用圓的幾何特征與拋物線的幾何特征相結(jié)合，轉(zhuǎn)化為兩者的元素關(guān)系列出相應(yīng)關(guān)系式(
13、2)利用圓的定義與拋物線的定義相結(jié)合建立相關(guān)的代數(shù)關(guān)系是求解圓與拋物線綜合問題的有效方法 設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x28y上的一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是()A(0，2) B0，2C(2，) D2，)解析：選C.設(shè)圓的半徑為r，因為F(0，2)是圓心，拋物線C的準線方程為y2，由圓與準線相交知r4，因為點M(x0，y0)為拋物線C：x28y上的一點，所以r|FM|y024，所以y02.基礎(chǔ)題組練1已知點A(2，3)在拋物線C：y22px(p0)的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為()AB1C D解析：選C.由已知
14、得準線方程為x2，所以F的坐標為(2，0)又A(2，3)，所以直線AF的斜率k.2已知拋物線C1：x22py(p0)的準線與拋物線C2：x22py(p0)交于A，B兩點，C1的焦點為F，若FAB的面積等于1，則C1的方程是()Ax22y Bx2yCx2y Dx2y解析：選A.由題意得，F(xiàn)，不妨設(shè)A，B(p，)，所以SFAB2pp1，則p1，即拋物線C1的方程是x22y，故選A.3(2020麗水調(diào)研)已知等邊ABF的頂點F是拋物線C：y22px(p0)的焦點，頂點B在拋物線的準線l上且ABl，則點A的位置()A在C開口內(nèi) B在C上C在C開口外 D與p值有關(guān)解析：選B.設(shè)B，由已知有AB中點的橫坐
15、標為，則A，ABF是邊長|AB|2p的等邊三角形，即|AF| 2p，所以p2m24p2，所以mp，所以A，代入y22px中，得點A在拋物線C上，故選B.4已知拋物線y22px(p0)的焦點為F，點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在拋物線上，且2x2x1x3，則有()A|FP1|FP2|FP3|B|FP1|2|FP2|2|FP3|2C|FP1|FP3|2|FP2|D|FP1|FP3|FP2|2解析：選C.根據(jù)拋物線的定義知|FP1|x1，|FP2|x2，|FP3|x3，所以|FP1|FP3|(x1x3)p2x2p22|FP2|.5拋物線y24x的焦點為F，準線為l，經(jīng)過
16、F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是()A4 B3C4 D8解析：選C.F(1，0)，直線AF：y(x1)，代入y24x得3x210x30，解得x3或x.由于點A在x軸上方且直線的斜率為，所以其坐標為(3，2)因為|AF|AK|314，AF的斜率為，即傾斜角為60，所以KAF60，所以AKF為等邊三角形，所以AKF的面積為424.6(2020杭州市高考模擬)設(shè)傾斜角為的直線l經(jīng)過拋物線：y22px(p0)的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，設(shè)點A在x軸上方，點B在x軸下方若m，則cos 的值為()A. B.C. D.解析：選A.設(shè)拋物線y22px
17、(p0)的準線為l：x.如圖所示，分別過點A，B作AMl，BNl，垂足分別為M，N.在ABC中，BAC等于直線AB的傾斜角，由m，|AF|m|BF|，|AB|AF|BF|(m1)|BF|，根據(jù)拋物線的定義得，|AM|AF|m|BF|，|BN|BF|，所以|AC|AM|MC|m|BF|BF|(m1)|BF|，在RtABC中，cos cos BAC，故選A.7已知拋物線y22px(p0)上一點M到焦點F的距離等于2p，則直線MF的斜率為_解析：設(shè)M(xM，yM)，由拋物線定義可得|MF|xM2p，解得xM，代入拋物線方程可得yMp，則直線MF的斜率為.答案：8已知拋物線C的方程為y22px(p0)
18、，M的方程為x2y28x120，如果拋物線C的準線與M相切，那么p的值為_解析：將M的方程化為標準方程(x4)2y24，圓心坐標為(4，0)，半徑r2，又因為拋物線的準線方程為x，所以2，p12或4.答案：12或49若點P在拋物線y2x上，點Q在圓(x3)2y21上，則|PQ|的最小值為_解析：由題意得拋物線與圓不相交，且圓的圓心為A(3，0)，則|PQ|PA|AQ|PA|1，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q，A三點共線時取等號，所以當(dāng)|PA|取得最小值時，|PQ|最小設(shè)P(x0，y0)，則yx0，|PA| ，當(dāng)且僅當(dāng)x0時，|PA|取得最小值，此時|PQ|取得最小值1.答案：110(2020浙江省名校協(xié)作體高
19、三聯(lián)考)拋物線的頂點在原點，焦點在x軸上，且過點(4，4)，焦點為F.(1)求拋物線的焦點坐標和標準方程；(2)P是拋物線上一動點，M是PF的中點，求M的軌跡方程解：(1)拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點(4，4)，設(shè)拋物線解析式為y22px，把(4，4)代入，得1624p，所以p2，所以拋物線的標準方程為y24x，焦點坐標為F(1，0)(2)設(shè)M(x，y)，P(x0，y0)，F(xiàn)(1，0)，M是PF的中點，則x012x，0y02y，所以x02x1，y02y，因為P是拋物線上一動點，所以y4x0，所以(2y)24(2x1)，化簡得y22x1.所以M的軌跡方程為y22x1.11已知拋物線y2
20、2px(p0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M.(1)求拋物線的方程；(2)若過M作MNFA，垂足為N，求點N的坐標解：(1)拋物線y22px的準線為x，于是45，所以p2.所以拋物線方程為y24x.(2)因為點A的坐標是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)又因為F(1，0)，所以kFA，因為MNFA，所以kMN.又FA的方程為y(x1)，MN的方程為y2x，聯(lián)立，解得x，y，所以點N的坐標為.綜合題組練1(2020臺州書生中學(xué)月考)拋物線y22px(p0)的焦點為F，已知點A，B為拋物
21、線上的兩個動點，且滿足AFB120，過AB的中點M作拋物線準線l的垂線MN，垂足為N，則的最大值為()A. B1C. D2解析：選A.過A，B分別作拋物線準線的垂線，垂足分別為A1，B1，連接AF，BF，由拋物線的定義知|MN|(|AA1|BB1|)(|AF|BF|)，在AFB中，|AB|2|AF|2|BF|22|AF|BF|cos 120|AF|2|BF|2|AF|BF|.所以，當(dāng)且僅當(dāng)|AF|BF|時取等號，所以的最大值為.2已知F為拋物線y2x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，2(其中O為坐標原點)，則ABO與AFO面積之和的最小值是()A2 B3C. D.解析：選B.設(shè)A(
22、x1，)，B(x2，)，則SAFO.由2得x1x22，即x1x220，解得x1x24，所以(|)2(xx1)(xx2)xxx1x2(x1x2)x1x2204(x1x2)，因為cosAOB，所以sinAOB所以SAOB|sinAOB| ，所以SABOSAFO23，當(dāng)，即x1時等號成立3如圖，正方形ABCD和正方形DEFG的邊長分別為a，b(ab)，原點O為AD的中點，拋物線y22px(p0)經(jīng)過C，F(xiàn)兩點，則_解析：依題知C，F(xiàn)，因為點C，F(xiàn)在拋物線上，所以兩式相除得210，解得1或1(舍)答案：14(2020臺州市高考模擬)如圖，過拋物線y24x的焦點F作直線與拋物線及其準線分別交于A，B，C
23、三點，若4，則|_解析：分別過A，B作準線的垂線，垂足分別為A1，B1，則|DF|p2，由拋物線的定義可知|FB|BB1|，|AF|AA1|，因為4，所以，所以|FB|BB1|.所以|FC|4|FB|6，所以cos DFC，所以cos A1AC，解得|AF|3，所以|AB|AF|BF|3.答案：5已知拋物線x24y的焦點為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點(1)當(dāng)|PF|2時，求點P的坐標；(2)求點P到直線yx10的距離的最小值解：(1)由拋物線x24y的焦點為F，P為該拋物線在第一象限內(nèi)的圖象上的一個動點，故設(shè)P(a0)，因為|PF|2，結(jié)合拋物線的定義得12，所以a2，所以點
24、P的坐標為(2，1)(2)設(shè)點P的坐標為P(a0)，則點P到直線yx10的距離為.因為a10(a2)29，所以當(dāng)a2時，a10取得最小值9，故點P到直線yx10的距離的最小值為.6(2020杭州寧波二市三校聯(lián)考)已知A，B，C是拋物線y22px(p0)上三個不同的點，且ABAC.(1)若A(1，2)，B(4，4)，求點C的坐標；(2)若拋物線上存在點D，使得線段AD總被直線BC平分，求點A的坐標解：(1)因為A(1，2)在拋物線y22px(p0)上，所以p2.所以拋物線方程為y24x.設(shè)C，則由kABkAC1，即1，解得t6，即C(9，6)(2)設(shè)A(x0，y0)，B，C，則y2px0，直線BC的方程為，即(y1y2)y2pxy1y2，由kABkAC1，得y0(y1y2)y1y2y4p2，與直線BC的方程聯(lián)立，化簡，得(y1y2)(yy0)2p(x2px0)，故直線BC恒過點E(x02p，y0)因此直線AE的方程為y(xx0)y0，代入拋物線的方程y22px(p0)，得點D的坐標為.因為線段AD總被直線BC平分，所以解得x0，y0p，即點A的坐標為.16
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 7 第7講 拋物線教學(xué)案
