（浙江專版）2018年高考數學 第1部分 重點強化專題 專題1 三角函數與平面向量 突破點1 三角函數問題教學案

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1、 專題一　三角函數與平面向量 建知識網絡　明內在聯系 [高考點撥]　三角函數與平面向量是浙江新高考的高頻考點，常以“兩小一大”的形式呈現，兩小題主要考查三角函數的圖象和性質與平面向量內容，一大題常考查解三角形內容，有時平面向量還與圓錐曲線、線性規(guī)劃等知識相交匯．本專題按照“三角函數問題”“解三角形”“平面向量”三條主線分門別類進行備考． 突破點1　三角函數問題 (對應學生用書第7頁) [核心知識提煉] 提煉1 三角函數的圖象問題 　 (1)函數y＝Asin(ωx＋φ)解析式的確定：利用函數圖象的最高點和最低點確定A，利用周期確定ω，利用圖象的某一已知點坐標確定φ.

2、 (2)三角函數圖象的兩種常見變換 提煉2 三角函數奇偶性與對稱性 　 (1)y＝Asin(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數；當φ＝kπ＋(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)求得，對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝kπ，(k∈Z)解得． (2)y＝Acos(ωx＋φ)，當φ＝kπ＋(k∈Z)時為奇函數；當φ＝kπ(k∈Z)時為偶函數；對稱軸方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得，對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得． y＝Atan(ωx＋φ)，當φ＝kπ(k∈Z)時為奇函數；對稱中心的橫坐標可由ωx＋φ＝(k∈Z)解得，無對稱軸.

3、 提煉3 三角變換常用技巧 　 (1)常值代換：特別是“1”的代換，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)項的分拆與角的配湊：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等． (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦. 提煉4 三角函數最值問題 　 (1)y＝asin x＋bcos x＋c型函數的最值：可將y轉化為y＝sin(x＋φ)＋c其中tan φ＝的形式，這樣通過引入輔助角φ可將此類函數的最值問題轉化為y＝sin(x＋φ)＋c的最值問題，然后利用三角函數的圖象和

4、性質求解． (2)y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x型函數的最值：可利用降冪公式sin2x＝，sin xcos x＝，cos2x＝，將y＝asin2x＋bsin xcos x＋ccos2x轉化整理為y＝Asin 2x＋Bcos 2x＋C，這樣就可將其轉化為(1)的類型來求最值． [高考真題回訪] 回訪1　三角函數的圖象問題 1．(2016·浙江高考)函數y＝sin x2的圖象是(　　) D　[∵y＝sin(－x)2＝sin x2， ∴函數為偶函數，可排除A項和C項；當x＝時，sin x2＝sin ≠1，排除B項，故選D.] 2．(2014·浙江高考)

5、為了得到函數y＝sin 3x＋cos 3x的圖象，可以將函數y＝cos 3x的圖象(　　) A．向右平移個單位 B．向左平移個單位 C．向右平移個單位 D．向左平移個單位 C　[因為y＝sin 3x＋cos 3x＝sin ＝sin，又y＝cos 3x ＝sin＝sin， 所以應由y＝cos 3x的圖象向右平移個單位得到．] 3．(2013·浙江高考)函數f(x)＝sin xcos x＋cos 2x的最小正周期和振幅分別是 (　　) 【導學號：68334026】 A．π，1　　 B．π，2 C．2π，1 D．2π，2 A　[f(x)＝sin 2x

6、＋cos 2x＝sin，所以最小正周期為T＝＝π，振幅A＝1.] 回訪2　三角函數的性質問題 4．(2016·浙江高考)設函數f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，則f(x)的最小正周期(　　) A．與b有關，且與c有關 B．與b有關，但與c無關 C．與b無關，且與c無關 D．與b無關，但與c有關 B　[當b＝0時，f(x)＝sin2x＋c＝＋c＝－cos 2x，其最小正周期為π. 當b≠0時，φ(x)＝sin2x＋c的最小正周期為π，g(x)＝bsin x的最小正周期為2π，所以f(x)＝φ(x)＋g(x)的最小正周期為2π. 綜上可知，f(x)＝sin2x

7、＋bsin x＋c的最小正周期與b有關，但與c無關．] 5．(2015·浙江高考)函數f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________． 【導學號：68334027】 π　　[f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1 ＝＋sin 2x＋1＝＋sin. 故最小正周期T＝＝π.當sin＝－1時，f(x)取得最小值為－＝.] 6．(2017·浙江高考)已知函數f(x)＝sin2 x－cos2 x－2sin xcos x(x∈R)． (1)求f的值； (2)求f(x)的最小正周期及單調遞增區(qū)間． [解]　(1)

8、由sin＝，cos＝－， 得f＝2－2－2××， 得f＝2. 6分 (2)由cos 2x＝cos2 x－sin2 x與sin 2x＝2sin xcos x得 f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin， 所以f(x)的最小正周期是π. 8分 由正弦函數的性質得＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 12分 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是 (k∈Z). 14分 回訪3　三角恒等變換 7．(2016·浙江高考)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，則A＝________，b＝____

9、____. 　1　[∵2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝sin＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝，b＝1.] 8．(2013·浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝(　　) 【導學號：68334028】 A.　　　　 B. C．－　　　　 D．－ C　[把條件中的式子兩邊平方，得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝，即3cos2α＋4sin αcos α＝， 所以＝，所以＝，即3tan2α－8tan α－3＝0，解得tan α＝3或tan α＝－，所以tan 2α＝＝－.] (對應學生用

10、書第9頁) 熱點題型1　三角函數的圖象問題 題型分析：高考對該熱點的考查方式主要體現在以下兩方面：一是考查三角函數解析式的求法；二是考查三角函數圖象的平移變換，常以選擇、填空題的形式考查，難度較低. 【例1】　(1)將函數y＝cos x＋sin x(x∈R)的圖象向左平移m(m＞0)個單位長度后，所得到的圖象關于y軸對稱，則m的最小值是(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. (2)(2017·紹興市方向性仿真考試)函數y＝sin x(0＜x＜π)的圖象大致是 (　　) (1)A　(2)B　[(1)設f(x)＝cos x＋sin x＝2＝2sin，向

11、左平移m個單位長度得g(x)＝2sin.∵g(x)的圖象關于y軸對稱，∴g(x)為偶函數，∴＋m＝＋kπ(k∈Z)，∴m＝＋kπ(k∈Z)，又m＞0，∴m的最小值為. (2)法一：因為0＜x＜π，所以0＜sin x≤1，所以y＝sin x＝|cos x|≥0，排除A，C，D，故選B. 法二：當x＝時，y＝，排除C，D； 當x＝時，y＝，排除A，故選B.] [方法指津] 1．函數y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的確定 (1)A由最值確定，A＝； (2)ω由周期確定； (3)φ由圖象上的特殊點確定． 提醒：根據“五點法”中的零點求φ時，一般先依據圖象的升降分清零點的

12、類型． 2．在圖象變換過程中務必分清是先相位變換，還是先周期變換．變換只是相對于其中的自變量x而言的，如果x的系數不是1，就要把這個系數提取后再確定變換的單位長度和方向． [變式訓練1]　(1)為了得到函數y＝sin的圖象，可以將函數y＝cos 2x的圖象(　　) 【導學號：68334029】 A．向右平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 (2)(2016·金華十校調研)函數f(x)＝Asin ωx(A＞0，ω＞0)的部分圖象如圖1-1所示，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 018)的值為(　　)

13、圖1-1 A．0　　　 B．2＋　　　 C．2　　　 D．2－ (1)B　(2)B　[(1)∵y＝cos 2x＝sin，∴y＝cos 2x的圖象向右平移個單位長度，得y＝sin＝sin的圖象．故選B. (2)由題圖可得，A＝2，T＝8，＝8，ω＝， ∴f(x)＝2sinx. ∴f(1)＝，f(2)＝2，f(3)＝，f(4)＝0，f(5)＝－，f(6)＝－2，f(7)＝－，f(8)＝0， 而2 018＝8×252＋2， ∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)＝2＋.] 熱點題型2　三角函數的性質問題 題型分析：三角函數的性質涉及周期性、單調性以及最值、對稱

14、性等，是高考的重要命題點之一，常與三角恒等變換交匯命題，難度中等. 【例2】　已知函數f(x)＝4tan x·sin·cos－. (1)求f(x)的定義域與最小正周期； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性． [解]　(1)f(x)的定義域為. 1分 f(x)＝4tan xcos xcos－ ＝4sin xcos－ ＝4sin x－ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin. 4分 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 6分 (2)令z＝2x－，則函數y＝2sin z的

15、單調遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 8分 設A＝，B＝x－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，易知A∩B＝. 12分 所以當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減. 14分 [方法指津] 研究函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質的“兩種”意識 1．轉化意識：利用三角恒等變換把待求函數化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式． 2．整體意識：類比于研究y＝sin x的性質，只需將y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sin x中的“x”代入求解便可． [變式訓練2]　(1)(名師押題)已知函

16、數f(x)＝2sin，把函數f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得到函數g(x)的圖象．關于函數g(x)，下列說法正確的是(　　) A．在上是增函數 B．其圖象關于直線x＝－對稱 C．函數g(x)是奇函數 D．當x∈時，函數g(x)的值域是[－2,1] (2)已知函數f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|＜π)，若是f(x)的一個單調遞增區(qū)間，則φ的取值范圍為(　　) 【導學號：68334030】 A. B. C. D.∪ (1)D　(2)C　[(1)因為f(x)＝2sin，把函數f(x)的圖象沿x軸向左平移個單位，得g(x)＝f＝2sin＝2sin

17、＝2cos 2x. 對于A，由x∈可知2x∈，故g(x)在上是減函數，故A錯；又g＝2cos＝0，故x＝－不是g(x)的對稱軸，故B錯；又g(－x)＝2cos 2x＝g(x)，故C錯；又當x∈時，2x∈，故g(x)的值域為[－2,1]，D正確． (2)令2kπ＋＜2x＋φ＜2kπ＋，k∈Z， 所以kπ＋－≤x≤kπ＋－，k∈Z， 所以函數f(x)在上單調遞增． 因為是f(x)的一個單調遞增區(qū)間， 所以≤kπ＋－，且kπ＋－≤，k∈Z， 解得2kπ＋≤φ≤2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜π，所以≤φ≤.故選C.] 熱點題型3　三角恒等變換 題型分析：高考對該熱點的考查

18、方式主要體現在以下兩個方面：一是直接利用和、差、倍、半角公式對三角函數式化簡求值；二是以三角恒等變換為載體，考查y＝Asin(ωx＋φ)的有關性質. 【例3】　(1)(2017·浙江五校聯考)如圖1-2，圓O與x軸的正半軸的交點為A，點C，B在圓O上，且點C位于第一象限，點B的坐標為，∠AOC＝α，若|BC|＝1，則cos2－sincos －的值為________． 圖1-2 (2)已知函數f(x)＝sin2－cos2＋2sin·cos＋λ的圖象經過點，則函數f(x)在區(qū)間上的最大值為________． (1)　(2)－　[(1)由題意可知|OB|＝|BC|＝1，∴△OBC為正

19、三角形． 由三角函數的定義可知，sin∠AOB＝sin＝， ∴cos2－sincos－＝－－＝cos α－sin α＝sin＝. (2)f(x)＝sin2－cos2＋2sin·cos ＋λ＝－cos＋sin＋λ＝2sin＋λ. 由f(x)的圖象過點， 得λ＝－2sin＝－2sin＝－， 故f(x)＝2sin－. 因為0≤x≤，所以－≤－≤. 因為y＝sin x在上單調遞增， 所以f(x)的最大值為f＝2sin－＝－.] [方法指津] 1．解決三角函數式的化簡求值要堅持“三看”原則：一看“角”，通過看角之間的差別與聯系，把角進行合理的拆分；二是“函數名稱”

20、，是需進行“切化弦”還是“弦化切”等，從而確定使用的公式；三看“結構特征”，了解變式或化簡的方向． 2．在研究形如f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的函數的性質時，通常利用輔助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)把函數f(x)化為Asin(ωx＋φ)的形式，通過對函數y＝Asin(ωx＋φ)性質的研究得到f(x)＝asin ωx＋bcos ωx的性質． [變式訓練3]　(1)設α∈，β∈，且tan α＝，則(　　) 【導學號：68334031】 A．3α－β＝ B．2α－β＝ C．3α＋β＝ D．2α＋β＝ (2)已知sin＋sin α＝－，－＜α＜0

21、，則cos等于(　　) A．－ B．－ C. D. (1)B　(2)C　[(1)法一：由tan α＝得＝， 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ∴sin(α－β)＝cos α＝sin. ∵α∈，β∈， ∴α－β∈，－α∈， 由sin(α－β)＝sin， 得α－β＝－α， ∴2α－β＝. 法二：tan α＝＝ ＝ ＝cot ＝tan ＝tan， ∴α＝kπ＋，k∈Z， ∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z. 當k＝0時，滿足2α－β＝， 故選B. (2)∵sin＋sin α＝－，－＜α＜0， ∴sin α＋cos α＝－， ∴sin α＋cos α＝－， ∴cos＝cos αcos －sin αsin ＝－cos α－sin α＝.] 13