（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 2 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案

《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 2 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 2 第2講 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示教學(xué)案（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1平面向量基本定理(1)定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2(2)基底：不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|(2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2x1，y2y1)，|3平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a(x1，y

2、1)，b(x2，y2)，abx1y2x2y10提醒當(dāng)且僅當(dāng)x2y20時(shí)，ab與等價(jià)即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底()(2)在ABC中，向量，的夾角為ABC.()(3)同一向量在不同基底下的表示是相同的()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab的充要條件可表示成.()(5)若a，b不共線，且1a1b2a2b，則12 ，12.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)教材衍化1(必修4P99例8改編)若P1(1，3)，P2(4，0)且P是線段P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

3、A(2，2)B(3，1)C(2，2)或(3，1) D(2，2)或(3，1)解析：選D.由題意得或，(3，3)設(shè)P(x，y)，則(x1，y3)，當(dāng)時(shí)，(x1，y3)(3，3)，所以x2，y2，即P(2，2)；當(dāng)時(shí)，(x1，y3)(3，3)，所以x3，y1，即P(3，1)故選D.2(必修4P97例5改編)已知ABCD的頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為_解析：設(shè)D(x，y)，則由，得(4，1)(5x，6y)，即解得答案：(1，5)3(必修4P119A組T9改編)已知向量a(2，3)，b(1，2)，若manb與a2b共線，則_解析：由向量a(2，3)，b(1，2)，得ma

4、nb(2mn，3m2n)，a2b(4，1)由manb與a2b共線，得，所以.答案：易錯(cuò)糾偏(1)忽視基底中基向量不共線致錯(cuò)；(2)弄不清單位向量反向的含義出錯(cuò)；(3)不正確運(yùn)用平面向量基本定理出錯(cuò)1給出下列三個(gè)向量：a(2，3)，b，c(1，1)在這三個(gè)向量中任意取兩個(gè)作為一組，能構(gòu)成基底的組數(shù)為_解析：易知ab，a與c不共線，b與c不共線，所以能構(gòu)成基底的組數(shù)為2.答案：22已知A(5，8)，B(7，3)，則與向量反向的單位向量為_解析：由已知得(12，5)，所以|13，因此與反向的單位向量為.答案：3.如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若，則的值為_解析：因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以，

5、即，所以，1，所以.答案：平面向量基本定理及其應(yīng)用 (1)已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足2，3，則_(用，表示)(2)在ABC中，點(diǎn)P是AB上一點(diǎn)，且，Q是BC的中點(diǎn)，AQ與CP的交點(diǎn)為M，又t，則實(shí)數(shù)t的值為_【解析】(1)如圖所示，()，()，所以()().(2)因?yàn)?，所?2，即22，所以2.即P為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)(靠近A點(diǎn))，又因?yàn)锳，M，Q三點(diǎn)共線，設(shè).所以，又tt()tt.故解得故t的值是.【答案】(1)(2)1(變問法)在本例(2)中，試用向量，表示.解：因?yàn)椋?2，即22，2，所以，.2(變問法)在本例(2)中，試問點(diǎn)M在AQ的什么位置？解：由本例(2)的解析及，

6、2知，()(1)(1).因此點(diǎn)M是AQ的中點(diǎn)平面向量基本定理應(yīng)用的實(shí)質(zhì)和一般思路(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來(lái)解決 1(2020溫州七校聯(lián)考)如圖，在四邊形ABCD中，ABBCCD1，且B90，BCD135.若向量a，b，則()A.abBabCabD.ab解析：選B.根據(jù)題意可得ABC為等腰直角三角形，由BCD135，得ACD1354590.以B為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，BC所在直線為y軸建立如圖所示的平面直角

7、坐標(biāo)系，并作DEy軸于點(diǎn)E，則CDE也為等腰直角三角形由CD1，得CEED，則A(1，0)，B(0，0)，C(0，1)，D，所以(1，0)，(1，1)，.令(，R)，則有得則ab，故選B.2在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，BE與AC相交于點(diǎn)F，若mn(m，nR)，則的值是_解析：法一：根據(jù)題意可知AFECFB，所以，故()，所以2.法二：如圖，2，mn，所以m(2n1)，因?yàn)镕，E，B三點(diǎn)共線，所以m2n11，所以2.答案：2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c；(2)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m，n；(3)求M

8、，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)【解】由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1，8)(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324)(6，42)(2)因?yàn)閙bnc(6mn，3m8n)，所以解得(3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，因?yàn)?c，所以3c(3，24)(3，4)(0，20)所以M(0，20)又因?yàn)?b，所以2b(12，6)(3，4)(9，2)，所以N(9，2)所以(9，18)向量坐標(biāo)運(yùn)算問題的一般思路(1)向量問題坐標(biāo)化：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，使得向量的線性運(yùn)算都可用坐標(biāo)來(lái)進(jìn)行，實(shí)現(xiàn)了向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái)，通過建立平面直角坐標(biāo)系，使幾何問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量運(yùn)算(2)巧借方程思

9、想求坐標(biāo)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過程中要注意方程思想的運(yùn)用(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標(biāo)運(yùn)算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出系數(shù) 在ABC中，點(diǎn)P在BC上，且2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若(4，3)，(1，5)，則等于()A(2，7) B(6，21)C(2，7) D(6，21)解析：選B.33(2)63(6，30)(12，9)(6，21)平面向量共線的坐標(biāo)表示(高頻考點(diǎn))平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的?？純?nèi)容，多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，難度較小，屬容易題主要命題角

10、度有：(1)利用兩向量共線求參數(shù)； (2)利用兩向量共線求向量坐標(biāo)；(3)三點(diǎn)共線問題角度一利用兩向量共線求參數(shù) (2020浙江省名校聯(lián)考)已知向量a(m，1)，b(1n，1)(其中m，n為正數(shù))，若ab，則的最小值是()A2 B3C32 D23【解析】已知a(m，1)，b(1n，1)(其中m，n為正數(shù))，若ab，則m(1n)0，即mn1.所以33232，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值是32，故選D.【答案】D角度二利用兩向量共線求向量坐標(biāo) 已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且A(1，1)，C(2，3)，|2|，則向量的坐標(biāo)是_【解析】由點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，|2|，得2.設(shè)點(diǎn)B(x，y)

11、，則(2x，3y)2(1，2)，即解得所以向量的坐標(biāo)是(4，7)【答案】(4，7)角度三三點(diǎn)共線問題 已知向量(k，12)，(4，5)，(k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是()A B.C. D.【解析】(4k，7)，(2k，2)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以，共線，所以2(4k)7(2k)，解得k.【答案】A (1)向量共線的兩種表示形式設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，abab(b0)；abx1y2x2y10，至于使用哪種形式，應(yīng)視題目的具體條件而定，一般情況涉及坐標(biāo)的應(yīng)用.(2)兩向量共線的充要條件的作用判斷兩向量是否共線(平行)，可解決三點(diǎn)共線的問題；另外，利用兩向量共線的充

12、要條件可以列出方程(組)，求出未知數(shù)的值 已知向量a(1，2)，b(3，m)，mR，則“m6”是“a(ab)”的()A充分必要條件 B充分不必要條件C必要不充分條件 D既不充分也不必要條件解析：選A.由題意得ab(2，2m)，由a(ab)，得1(2m)22，所以m6.當(dāng)m6時(shí)，a(ab)，則“m6”是“a(ab)”的充分必要條件核心素養(yǎng)系列11數(shù)學(xué)運(yùn)算平面向量與三角形的“四心”設(shè)O為ABC所在平面上一點(diǎn)，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c則(1)O為ABC的外心|.(2)O為ABC的重心0.(3)O為ABC的垂心.(4)O為ABC的內(nèi)心abc0.一、平面向量與三角形的“重心”問題 已知A，

13、B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足(1)(1)(12)，R，則點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過()AABC的內(nèi)心BABC的垂心CABC的重心 DAB邊的中點(diǎn)【解析】取AB的中點(diǎn)D，則2，因?yàn)?1)(1)(12)，所以2(1)(12)，而1，所以P，C，D三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過ABC的重心【答案】C二、平面向量與三角形的“內(nèi)心”問題 在ABC中，AB5，AC6，cos A，O是ABC的內(nèi)心，若xy，其中x，y0，1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為()A.B.C4D6【解析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形及其內(nèi)部，其面積為BOC面積的

14、2倍在ABC中，設(shè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，由余弦定理a2b2c22bccos A，得a7.設(shè)ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則bcsin A(abc)r，解得r，所以SBOCar7.故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2SBOC.【答案】B三、平面向量與三角形的“垂心”問題 已知O是平面上的一個(gè)定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，(0，)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的()A重心 B垂心C外心 D內(nèi)心【解析】因?yàn)椋?，所?|)0，所以，所以點(diǎn)P在BC的高線上，即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的垂心【答案】B四、平面向量與三角形的“外心”問題 已知在ABC中，AB1，BC，

15、AC2，點(diǎn)O為ABC的外心，若xy，則有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)為()A. B.C. D.【解析】取AB的中點(diǎn)M和AC的中點(diǎn)N，連接OM，ON，則，(xy)y，(xy)x.由，得2y0，由，得2x0，又因?yàn)?()222，所以，把代入，得解得x，y.故實(shí)數(shù)對(duì)(x，y)為.【答案】A基礎(chǔ)題組練1已知a(1，1)，b(1，1)，c(1，2)，則c等于()Aab B.abCab Dab解析：選B.設(shè)cab，則(1，2)(1，1)(1，1)，所以所以所以cab.2設(shè)向量a(x，1)，b(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是()A2 B2C2 D0解析：選B.因?yàn)閍與b方向相反，所以bma，m0，則有(4，x

16、)m(x，1)，所以解得m2.又m0，所以m2，xm2.3已知A(1，4)，B(3，2)，向量(2，4)，D為AC的中點(diǎn)，則()A(1，3) B(3，3)C(3，3) D(1，3)解析：選B.設(shè)C(x，y)，則(x3，y2)(2，4)，所以解得即C(1，6)由D為AC的中點(diǎn)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0，5)，所以(03，52)(3，3)4(2020溫州瑞安七中高考模擬)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若cab(，R)，則()A8 B4C4 D2解析：選C.設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則易知c(1，3)，a(1，1)，b(6，2)；因?yàn)閏ab，所以(1，3)(1，1)(6，2)，解得2，故4.5已知

17、非零不共線向量，若2xy，且(R)，則點(diǎn)Q(x，y)的軌跡方程是()Axy20 B2xy10Cx2y20 D2xy20解析：選A.由，得()，即(1).又2xy，所以消去得xy20，故選A.6(2020金華十校聯(lián)考)已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為(0，1)，(，0)，(0，2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|1，則|的最小值是()A.1 B.1C.1 D.1解析：選A.設(shè)點(diǎn)P(x，y)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|1可得x2(y2)21.根據(jù)的坐標(biāo)為(x，y1)，可得|，表示點(diǎn)P(x，y)與點(diǎn)Q(，1)之間的距離顯然點(diǎn)Q在圓C：x2(y2)21的外部，求得QC，|的最小值為QC11，故選A.7已知向量

18、a(1sin ，1)，b，若ab，則銳角_解析：因?yàn)閍b，所以(1sin )(1sin )10，得cos2，所以cos ，又因?yàn)闉殇J角，所以.答案：8設(shè)向量(1，2)，(a，1)，(b，0)，其中a0，b0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則ab的最大值為_解析：易知(a1，1)，(b1，2)，由A，B，C三點(diǎn)共線知，故2(a1)(b1)0，所以2ab1.由基本不等式可得12ab2，當(dāng)且僅當(dāng)2ab時(shí)等號(hào)成立，所以ab，即ab的最大值為.答案：9(2020臺(tái)州質(zhì)檢)在ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，向量a(cos C，bc)，向量b(cos A，a)且ab，則tan A_解析：

19、ab(bc)cos Aacos C0，即bcos Accos Aacos C，再由正弦定理得sin Bcos Asin Ccos Acos Csin Asin Bcos Asin(CA)sin B，即cos A，所以sin A，tan A.答案：10如圖，兩塊全等的等腰直角三角板拼在一起形成一個(gè)平面圖形，若直角邊長(zhǎng)為2，且，則_解析：因?yàn)镈EBABC45，所以ABDE，過D作AB，AC的垂線DM，DN，則ANDMBMBDsin 45，所以DNAMABBM2，所以，所以，所以1.答案：111已知a，b，c，d，e，設(shè)tR，如果3ac，2bd，et(ab)，那么t為何值時(shí)，C，D，E三點(diǎn)在一條直線

20、上？解：由題設(shè)，知dc2b3a，ec(t3)atb.C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得k，即(t3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b.若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)；若a，b不共線，則有解之得t.綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)；a，b不共線時(shí)，t.12(2020杭州市七校高三聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，M，N分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，且|DM|1，|DN|2，MDN.(1)試用向量，表示向量，；(2)求|，|；(3)設(shè)O為ADM的重心(三角形三條中線的交點(diǎn))，若xy，求x，y的值解：(1)如圖所示，；.(2)由(1)知，所以|，|.(3)由重

21、心性質(zhì)知：0，所以有：0xyx()y()(xy1)(x)(y).所以(xy1)(x)(y)111xy.綜合題組練1(2020寧波諾丁漢大學(xué)附中期中考試)在ABC中，BC7，AC6，cos C.若動(dòng)點(diǎn)P滿足(1)(R)，則點(diǎn)P的軌跡與直線BC，AC所圍成的封閉區(qū)域的面積為()A5 B10C2 D4解析：選A.設(shè)，因?yàn)?1)(1)，所以B，D，P三點(diǎn)共線所以P點(diǎn)軌跡為直線BC.在ABC中，BC7，AC6，cos C，所以sin C，所以SABC7615，所以SBCDSABC5.2設(shè)兩個(gè)向量a(2，2cos2)和b，其中，m，為實(shí)數(shù)，若a2b，則的取值范圍是()A6，1 B4，8C(，1 D1，6解

22、析：選A.由a2b，得所以又cos22sin sin2 2sin 1(sin 1)22，所以2cos22sin 2，所以22m2，將2(2m2)2代入上式，得2(2m2)2m2，得m2，所以26，13已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m滿足的條件是_解析：由題意得(3，1)，(2m，1m)，若A，B，C能構(gòu)成三角形，則，不共線，則3(1m)1(2m)，解得m.答案：m4(2020浙江名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)如圖，在等腰梯形ABCD中，DCAB，ADDCCBAB1，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在以A為圓心，AD為半徑的圓弧上變動(dòng)，E為圓弧與AB的交點(diǎn)，若，

23、其中，R，則2的取值范圍是_解析：建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，則A(0，0)，E(1，0)，D，B(2，0)，C，F(xiàn)；設(shè)P(cos ，sin )(060)，因?yàn)?，所?cos ，sin ).所以所以2sin cos 2sin(30)，因?yàn)?60，所以12sin(30)1.答案：1，15(2020嘉興模擬)已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0，2)，B(4，6)，t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件；(2)求證：當(dāng)t11時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線解：(1)t1t2t1(0，2)t2(4，4)(4t2，2t14t2)當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有故所求的充要條件為t20且t12t2

24、0.(2)證明：當(dāng)t11時(shí)，由(1)知(4t2，4t22)因?yàn)?4，4)，(4t2，4t2)t2(4，4)t2，且有公共點(diǎn)A，所以不論t2為何實(shí)數(shù)，A、B、M三點(diǎn)都共線6已知a(1，0)，b(2，1)(1)當(dāng)k為何值時(shí)，kab與a2b共線？(2)若2a3b，amb且A、B、C三點(diǎn)共線，求m的值解：(1)kabk(1，0)(2，1)(k2，1)，a2b(1，0)2(2，1)(5，2)因?yàn)閗ab與a2b共線，所以2(k2)(1)50，即2k450，得k.(2)法一：因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，所以，即2a3b(amb)，所以，解得m.法二：2a3b2(1，0)3(2，1)(8，3)，amb(1，0)m(2，1)(2m1，m)因?yàn)锳、B、C三點(diǎn)共線，所以.所以8m3(2m1)0，即2m30，所以m.18