《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 4 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)教學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 4 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)教學(xué)案（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第4講二次函數(shù)與冪函數(shù)1冪函數(shù)(1)定義：形如yx(R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，為常數(shù)常見的五類冪函數(shù)為yx，yx2，yx3，yx，yx1.(2)圖象(3)性質(zhì)冪函數(shù)在(0，)上都有定義；當0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，)上單調(diào)遞增；當0)f(x)ax2bxc(a0)圖象定義域(，)(，)值域單調(diào)性在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x對稱疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)y2x是冪函數(shù)()(2)如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點()(3)當n0時，冪函數(shù)yxn是定義域上的減函數(shù)()
2、(4)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(5)二次函數(shù)yax2bxc，xR不可能是偶函數(shù)()(6)在yax2bxc(a0)中，a決定了圖象的開口方向和在同一直角坐標系中的開口大小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)教材衍化1.(必修1P77圖象改編)如圖是yxa；yxb；yxc在第一象限的圖象，則a，b，c的大小關(guān)系為_解析：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知a1，0c1，故acb.答案：acb2(必修1P39B組T1改編)函數(shù)g(x)x22x(x0，3)的值域為_解析：由g(x)x22x(x1)21，x0，3，得g(x) 在0，1上是減函數(shù)，在1，3上是增函數(shù)所以g(x)ming
3、(1)1，而g(0)0，g(3)3.所以g(x)的值域為1，3答案：1，3易錯糾偏(1)二次函數(shù)圖象特征把握不準；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律掌握不到位；(3)冪函數(shù)的圖象掌握不到位1如圖，若a0，則函數(shù)yax2bx的大致圖象是_(填序號)解析：由函數(shù)的解析式可知，圖象過點(0，0)，故不正確又a0，所以二次函數(shù)圖象的對稱為x0，故正確答案：2若函數(shù)ymx2x2在3，)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是_解析：因為函數(shù)ymx2x2在3，)上是減函數(shù)，所以，即m.答案：3當x(0，1)時，函數(shù)yxm的圖象在直線yx的上方，則m的取值范圍是_答案：(，1)冪函數(shù)的圖象及性質(zhì) (1)冪函數(shù)yf(x)的圖象過
4、點(4，2)，則冪函數(shù)yf(x)的圖象是()(2)若(a1)(32a)，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為yx，因為冪函數(shù)yf(x)的圖象過點(4，2)，所以24，解得.所以y，其定義域為0，)，且是增函數(shù)，當0x1時，其圖象在直線yx的上方，對照選項，故選C.(2)易知函數(shù)yx的定義域為0，)，在定義域內(nèi)為增函數(shù)，所以解得1a0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則0. 1已知冪函數(shù)f(x)xm22m3(mZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，并且f(x)在第一象限是單調(diào)遞減函數(shù)，則m_解析：因為冪函數(shù)f(x)xm22m3(mZ)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以m22m3為偶數(shù)
5、，所以m22m為奇數(shù)，又m22m0，故m1.答案：12當0xg(x)f(x)答案：h(x)g(x)f(x)求二次函數(shù)的解析式 已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式【解】法一：(利用一般式)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得所以所求二次函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.法二：(利用頂點式)設(shè)f(x)a(xm)2n(a0)因為f(2)f(1)，所以拋物線的對稱軸為x.所以m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，所以n8，所以f(x)a8.因為f(2)1，所以a81，解得a4，所以f(x)484x24x7.法三：(利用零點式)由已知f(x)
6、10的兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值8，即8.解得a4或a0(舍去)，所以所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.求二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)的解析式，一般用待定系數(shù)法，但所給條件不同選取的求解方法也不同，選擇規(guī)律如下： 1若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)a，bR)是偶函數(shù)，且它的值域為(，4，則該函數(shù)的解析式f(x)_解析：由f(x)是偶函數(shù)知f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，所以a，即b2，所以f(x)2x22a2，又f(x)的值域為(，4，所以2a24，故f(x)2x24.答案：2x242已知二次函
7、數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(4，3)，它在x軸上截得的線段長為2，并且對任意xR，都有f(2x)f(2x)，求f(x)的解析式解：因為f(2x)f(2x)對任意xR恒成立，所以f(x)的對稱軸為x2.又因為f(x)的圖象被x軸截得的線段長為2，所以f(x)0的兩根為1和3.設(shè)f(x)的解析式為f(x)a(x1)(x3)(a0)，又f(x)的圖象過點(4，3)，所以3a3，a1，所以所求f(x)的解析式為f(x)(x1)(x3)，即f(x)x24x3.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)(高頻考點)高考對二次函數(shù)圖象與性質(zhì)進行考查，多與其他知識結(jié)合，且常以選擇題形式出現(xiàn)，屬中高檔題主要命題角度有：(1)二次函數(shù)圖象
8、的識別問題；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題；(3)二次函數(shù)的最值問題角度一二次函數(shù)圖象的識別問題 已知abc0，則二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是()【解析】A項，因為a0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故A錯B項，因為a0，所以b0.又因為abc0，所以c0，故B錯C項，因為a0，0.又因為abc0，所以c0，而f(0)c0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故選D.【答案】D角度二二次函數(shù)的單調(diào)性問題 函數(shù)f(x)ax2(a3)x1在區(qū)間1，)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是_【解析】當a0時，f(x)3x1在1，)上遞減，滿足條件當a0時，f(x)的對稱軸為x，由f(
9、x)在1，)上遞減知解得3a0.綜上，a的取值范圍為3，0【答案】3，0 (變條件)若函數(shù)f(x)ax2(a3)x1的單調(diào)減區(qū)間是1，)，則a為何值？解：因為函數(shù)f(x)ax2(a3)x1的單調(diào)減區(qū)間為1，)，所以，解得a3.角度三二次函數(shù)的最值問題 已知函數(shù)f(x)x22ax1，x1，2(1)若a1，求f(x)的最大值與最小值；(2)f(x)的最小值記為g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值【解】(1)當a1時，f(x)x22x1(x1)2，x1，2，則當x1時，f(x)的最小值為0，x1時，f(x)的最大值為4.(2)f(x)(xa)21a2，x1，2，當a2時，f(x)的最小值
10、為f(2)54a，則g(a)可知，g(a)在(，0)上單調(diào)遞增，在(0，)上單調(diào)遞減，g(a)的最大值為g(0)1. (1)確定二次函數(shù)圖象應(yīng)關(guān)注的三個要點一是看二次項系數(shù)的符號，它確定二次函數(shù)圖象的開口方向；二是看對稱軸和最值，它確定二次函數(shù)圖象的具體位置；三是看函數(shù)圖象上的一些特殊點，如函數(shù)圖象與y軸的交點、與x軸的交點，函數(shù)圖象的最高點或最低點等從這三個方面入手，能準確地判斷出二次函數(shù)的圖象反之，也可以從圖象中得到如上信息(2)二次函數(shù)最值的求法二次函數(shù)的區(qū)間最值問題一般有三種情況：對稱軸和區(qū)間都是給定的；對稱軸動，區(qū)間固定；對稱軸定，區(qū)間變動解決這類問題的思路是抓住“三點一軸”進行數(shù)形
11、結(jié)合，三點指的是區(qū)間兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸具體方法是利用函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解對于、，通常要分對稱軸在區(qū)間內(nèi)、區(qū)間外兩大類情況進行討論1若函數(shù)f(x)x2 axb在區(qū)間0, 1上的最大值是M，最小值是m，則Mm()A與a有關(guān)，且與b有關(guān)B與a有關(guān)，但與b無關(guān)C與a無關(guān)，且與b無關(guān)D與a無關(guān)，但與b有關(guān)解析：選B.f(x)b，當01時，f(x)minmfb，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb，1ab，所以Mmmax與a有關(guān)，與b無關(guān)；當1時，f(x)在0，1上單調(diào)遞減，所以Mmf(0)f(1)1a與a有關(guān)，與b無關(guān)綜上所述，Mm與a有關(guān)，但與b無關(guān)，故選B.2若
12、函數(shù)f(x)ax220x14(a0)對任意實數(shù)t，在閉區(qū)間t1，t1上總存在兩實數(shù)x1，x2，使得|f(x1)f(x2)|8成立，則實數(shù)a的最小值為_解析：因為a0，所以二次函數(shù)f(x)ax220x14的圖象開口向上在閉區(qū)間t1，t1上總存在兩實數(shù)x1，x2，使得|f(x1)f(x2)|8成立，只需t時f(t1)f(t)8，即a(t1)220(t1)14(at220t14)8，即2ata208，將t代入得a8.所以a的最小值為8.故答案為8.答案：8三個“二次”間的轉(zhuǎn)化 (2020金華市東陽二中高三調(diào)研)已知二次函數(shù)f(x)x2axb(a，bR)(1)當a6時，函數(shù)f(x)的定義域和值域都是，
13、求b的值；(2)當a1時在區(qū)間1，1上，yf(x)的圖象恒在y2x2b1的圖象上方，試確定實數(shù)b的范圍【解】(1)當a6時，函數(shù)f(x)x26xb，函數(shù)對稱軸為x3，故函數(shù)f(x)在區(qū)間1，3上單調(diào)遞減，在區(qū)間(3，)上單調(diào)遞增當2b6時，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減；故有，無解；當610時，f(x)在區(qū)間1，3上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且f(1)2x2b1對x1，1恒成立，化簡得bx23x1，令g(x)x23x1，x1，1，圖象開口向上，對稱軸為x，在區(qū)間1，1上單調(diào)遞減，則g(x)min1，故b1. (1)二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱三個“二次”，它們常結(jié)合在一起，而二次函數(shù)又是三個
14、“二次”的核心，通過二次函數(shù)的圖象貫穿為一體因此，解決此類問題首先采用轉(zhuǎn)化思想，把方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題借助于函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問題是高考命題的熱點(2)由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路及關(guān)鍵一般有兩個解題思路：一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值，至于用哪種方法，關(guān)鍵是看參數(shù)是否已分離這兩個思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min.提醒當二次項系數(shù)a是否為0不明確時，要分類討論1(2020寧波市余姚中學(xué)期中檢測)設(shè)a0，此時當x0時，3x2aa0不成立，若2xb0在(a，b)上恒成立，則2bb
15、0，即b0，若3x2a0在(a，b)上恒成立，則3a2a0，即a0，故ba的最大值為.2已知函數(shù)f(x)x2x1，在區(qū)間1，1上不等式f(x)2xm恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：f(x)2xm等價于x2x12xm，即x23x1m0，令g(x)x23x1m，要使g(x)x23x1m0在1，1上恒成立，只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1，1上的最小值大于0即可因為g(x)x23x1m在1，1上單調(diào)遞減，所以g(x)ming(1)m1.由m10，得m1 .因此滿足條件的實數(shù)m的取值范圍是(，1)答案：(，1)基礎(chǔ)題組練1已知冪函數(shù)f(x)kx的圖象過點，則k()A.B1C.D2解析：選C.因為
16、函數(shù)f(x)kx是冪函數(shù)，所以k1，又函數(shù)f(x)的圖象過點，所以，解得，則k.2若冪函數(shù)f(x)x(m，nN*，m，n互質(zhì))的圖象如圖所示，則()Am，n是奇數(shù)，且1Cm是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且1解析：選C.由圖知冪函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，且1，排除B，D；當m，n是奇數(shù)時，冪函數(shù)f(x)非偶函數(shù)，排除A；選C.3若函數(shù)f(x)x2bxc對任意的xR都有f(x1)f(3x)，則以下結(jié)論中正確的是()Af(0)f(2)f(5)Bf(2)f(5)f(0)Cf(2)f(0)f(5) Df(0)f(5)f(2)解析：選A.若函數(shù)f(x)x2bxc對任意的xR都有f(x1)f(3x)，則f(x)x2bxc的
17、圖象的對稱軸為x1且函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向上，則函數(shù)f(x)在(1，)上為增函數(shù)，所以f(2)f(4)f(5)，又f(0)f(2)，f(2)f(4)，所以f(0)f(2)f(5)4(2020瑞安四校聯(lián)考)定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x1)2f(x)，且當x0，1時，f(x)x2x，則當x2，1時，f(x)的最小值為()A BC D0解析：選A.當x2，1時，x20，1，則f(x2)(x2)2(x2)x23x2，又f(x2)f(x1)12f(x1)4f(x)，所以當x2，1時，f(x)(x23x2)，所以當x時，f(x)取得最小值，且最小值為，故選A.5若函數(shù)f(x)x22x1在區(qū)間
18、a，a2上的最小值為4，則a的取值集合為()A3，3 B1，3C3，3 D1，3，3解析：選C.因為函數(shù)f(x)x22x1(x1)2，對稱軸為x1，因為在區(qū)間a，a2上的最小值為4，所以當1a時，yminf(a)(a1)24，a1(舍去)或a3，當a21時，即a1，yminf(a2)(a1)24，a1(舍去)或a3，當a1a2，即1a1時，yminf(1)04，故a的取值集合為3，36(2020溫州高三月考)已知f(x)ax2bxc(a0)，g(x)f(f(x)，若g(x)的值域為2，)，f(x)的值域為k，)，則實數(shù)k的最大值為()A0 B1C2 D4解析：選C.設(shè)tf(x)，由題意可得g(
19、x)f(t)at2btc，tk，函數(shù)yat2btc，tk的圖象為yf(x)的圖象的部分，即有g(shù)(x)的值域為f(x)的值域的子集，即2，)k，)，可得k2，即有k的最大值為2.故選C.7已知冪函數(shù)f(x)x，若f(a1)0)，易知x(0，)時為減函數(shù)，又f(a1)f(102a)，所以解得所以3a5.答案：(3，5)8已知函數(shù)f(x)x22ax2a4的定義域為R，值域為1，)，則a的值為_解析：由于函數(shù)f(x)的值域為1，)，所以f(x)min1.又f(x)(xa)2a22a4，當xR時，f(x)minf(a)a22a41，即a22a30，解得a3或a1.答案：1或39(2020杭州四中第一次月
20、考)已知函數(shù)f(x)x2ax1，若存在x0使|f(x0)|，|f(x01)|同時成立，則實數(shù)a的取值范圍為_解析：由f(x)，考察g(x)x2h，當h0時，有，同時成立；當h時，有，|g(1)|同時成立所以h0，即0，解得a2或2a.答案：，22，10設(shè)函數(shù)f(x)x21，對任意x，f4m2f(x)f(x1)4f(m)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：依據(jù)題意，得14m2(x21)(x1)214(m21)在x上恒成立，即4m21在x上恒成立當x時，函數(shù)y1取得最小值，所以4m2，即(3m21)(4m23)0，解得m或m.答案：11已知冪函數(shù)f(x)(m25m7)xm1為偶函數(shù)(1)求f(x)
21、的解析式；(2)若g(x)f(x)ax3在1，3上不是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍解：(1)由題意m25m71，解得m2或m3，若m2，與f(x)是偶函數(shù)矛盾，舍去，所以m3，所以f(x)x2.(2)g(x)f(x)ax3x2ax3，g(x)的對稱軸是x，若g(x)在1，3上不是單調(diào)函數(shù)，則13，解得2a4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正確；對稱軸為x1，即1，2ab0，錯誤；結(jié)合圖象，當x1時，y0，即abc0，錯誤；由對稱軸為x1知，b2a，又函數(shù)圖象開口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正確故選B.2(2020溫州市十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
22、當x0時，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若xR，f(x1)f(x)，則實數(shù)a的取值范圍為()A. B.C. D.解析：選B.因為當x0時，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，所以當0xa2時，f(x)(a2x2a2x3a2)x；當a2x2a2時，f(x)(xa22a2x3a2)a2；當x2a2時，f(x)(xa2x2a23a2)x3a2.綜上，函數(shù)f(x)(|xa2|x2a2|3a2)在x0時的解析式等價于f(x)因此，根據(jù)奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱作出函數(shù)f(x)在R上的大致圖象如下，觀察圖象可知，要使xR，f(x1)f(x)，則需滿足2a2(4a2)1，解得a.3已知函數(shù)f(x)
23、|x2axb|在區(qū)間0，c內(nèi)的最大值為M(a，bR，c0為常數(shù))且存在實數(shù)a，b，使得M取最小值2，則abc_解析：函數(shù)yx2axb是二次函數(shù)，所以函數(shù)f(x)|x2axb|在區(qū)間0，c內(nèi)的最大值M在端點處或x處取得若在x0處取得，則b2，若在x處取得，則|b|2，若在xc處取得，則|c2acb|2.若b2，則|b|2，|c2acb|2，解得a0，c0，符合要求，若b2，則頂點處的函數(shù)值的絕對值大于2，不成立可得abc2.故答案為2.答案：24(2020寧波市余姚中學(xué)高三期中)已知f(x)x23x4，若f(x)的定義域和值域都是a，b，則ab_解析：因為f(x)x23x4(x2)21，所以x2
24、是函數(shù)的對稱軸，根據(jù)對稱軸進行分類討論：當b2時，函數(shù)在區(qū)間a，b上遞減，又因為值域也是a，b，所以得方程組，即，兩式相減得(ab)(ab)3(ab)ba，又因為ab，所以ab，由a23a4a，得3a28a0，所以a，所以b，故舍去當a2b時，得f(2)1a，又因為f(1)1時，yg(x)在區(qū)間1，1上是單調(diào)函數(shù)，則Mmaxg(1)，g(1)，而g(1)|12bc|，g(1)|12bc|，則2Mg(1)g(1)|f(1)f(1)|4|b|4，可知M2.()當|b|1時，函數(shù)yg(x)的對稱軸xb位于區(qū)間1，1之內(nèi)，此時Mmaxg(1)，g(1)，g(b)，又g(b)|b2c|，當1b0時，有f(1)f(1)f(b)，則Mmaxg(b)，g(1)(g(b)g(1)|f(b)f(1)|(b1)2；當0.綜上可知，對任意的b、c都有M.而當b0，c時，g(x)在區(qū)間1，1上的最大值M，故Mk對任意的b、c恒成立的k的最大值為.18
（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 4 第4講 二次函數(shù)與冪函數(shù)教學(xué)案
