2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測(cè)1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(含解析)
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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第2部分 大專題綜合測(cè)1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(含解析) 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.(文)設(shè)集合M={-1},N={1+cos,log0.2(|m|+1)},若M?N,則集合N等于( ) A.{2} B.{-2,2} C.{0} D.{-1,0} [答案] D [解析] 因?yàn)镸?N且1+cos≥0,log0.2(|m|+1)<0,所以log0.2(|m|+1)=-1,可得|m|+1=5,故m=±4,N={-1,0}. (理)(xx·福建理,1)若集合A={i,i2,i3,i4
2、}(i是虛數(shù)單位),B={1,-1},則A∩B等于( ) A.{-1} B.{1} C.{1,-1} D.? [答案] C [解析] 考查:(1)復(fù)數(shù)的概念;(2)集合的運(yùn)算. 由已知得A={i,-1,-i,1},故A∩B={1,-1},故選C. 2.(文)(xx·福建理,2)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( ) A.y= B.y=|sin x| C.y=cos x D.y=ex-e-x [答案] D [解析] 考查函數(shù)的奇偶性. 函數(shù)y=是非奇非偶函數(shù);y=|sin x|和y=cos x是偶函數(shù);y=ex-e-x是奇函數(shù),故選D. (理)下列函數(shù)中,定義域是
3、R且為增函數(shù)的是( ) A.y=e-x B.y=x3 C.y=lnx D.y=|x| [答案] B [解析] A為減函數(shù),C定義域?yàn)?0,+∞),D中函數(shù)在(-∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增. 3.(文)已知y=f(x)為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x≠0時(shí),f′(x)+>0,則函數(shù)g(x)=f(x)+的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為( ) A.1 B.2 C.0 D.0或2 [答案] C [解析] 由條件知,f′(x)+=>0. 令h(x)=xf(x),則當(dāng)x>0時(shí),h′(x)>0,當(dāng)x<0時(shí),h′(x)<0,∴h(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,且h(0)=0.
4、,則h(x)≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立.函數(shù)g(x)的零點(diǎn)即為y=h(x)與y=-1的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),所以函數(shù)g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.
(理)(xx·浙江理,6)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0≤f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,則( )
A.c≤3 B.3 5、)
A.?n∈N*, f(n)?N*且f(n)>n
B.?n∈N*, f(n)?N*或f(n)>n
C.?n0∈N*, f(n0)?N*且f(n0)>n0
D.?n0∈N*, f(n0)?N*或f(n0)>n0
[答案] D
[解析] 全稱命題的否定為特稱命題,“≤”的否定為“>”.
(理)(xx·浙江理,6)設(shè)A,B是有限集,定義:d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B),其中card(A)表示有限集A中元素的個(gè)數(shù).
命題①:對(duì)任意有限集A,B,“A≠B”是“ d(A,B)>0”的充分必要條件;
命題②:對(duì)任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B 6、,C).
A.命題①和命題②都成立
B.命題①和命題②都不成立
C.命題①成立,命題②不成立
D.命題①不成立,命題②成立
[答案] A
[解析] 考查集合的性質(zhì).
命題①顯然正確,通過(guò)下圖亦可知d(A,C)表示的區(qū)域不大于d(A,B)+d(B,C)的區(qū)域,故命題②也正確,故選A.
5.(文)(xx·福建理,4)若函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象如圖所示,則下列函數(shù)圖象正確的是( )
[答案] B
[解析] 由圖可知y=logax圖象過(guò)(3,1),∴l(xiāng)oga3=1,∴a=3,∵y=3-x為減函數(shù),∴排除A;∵y=(-x)3當(dāng)x>0時(shí),y<0,∴排除C; 7、∵y=log3(-x)中,當(dāng)x=-3時(shí),y=1,∴排除D,∴選B.
(理)函數(shù)f(x)=的圖象大致是( )
[答案] B
[解析] f ′(x)=(x≠2),令f ′(x)<0,得x<1.故f(x)的減區(qū)間是(-∞,1),增區(qū)間為(1,2),(2,+∞),f(x)在x=1處取得極小值,且極小值為f(1)=>0,故排除C、D兩項(xiàng);當(dāng)x>2時(shí),f(x)<0,排除A項(xiàng),故選B項(xiàng).
6.(xx·北京海淀期末)設(shè)a=0.23,b=log20.3,c=20.3,則( )
A.b 8、<1,b=log20.3<0,c=20.3>1,所以bxf ′(x),則一定有( )
A.函數(shù)F(x)=在(0,+∞)上為增函數(shù)
B.函數(shù)G(x)=xf(x)在(0,+ 9、∞)上為增函數(shù)
C.函數(shù)F(x)=在(0,+∞)上為減函數(shù)
D.函數(shù)G(x)=xf(x)在(0,+∞)上為減函數(shù)
[答案] C
[解析] 對(duì)于F(x)=,F(xiàn)′(x)=<0,故F(x)在(0,+∞)上為減函數(shù).
8.(文)若函數(shù)f(x)=lnx+在區(qū)間[1,e]上的最小值為,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A. B.
C. D.非上述答案
[答案] B
[解析] f ′(x)=-=,
令f ′(x)=0,則x=a,
若a<1,則f(x)min=f(1)=a=>1,不合題意.
若a>e,則f(x)min=f(e)=1+=,
則a= 10、=f(a)=lna+1=,則a=.
(理)(xx·新課標(biāo)Ⅱ理,8)設(shè)曲線y=ax-ln(x+1)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] D
[解析] 本題考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算及導(dǎo)數(shù)的幾何意義.
令f(x)=ax-ln(x+1),∴f′(x)=a-.
∴f(0)=0,且f′(0)=2.聯(lián)立解得a=3,故選D.
9.(文)(xx·北京西城區(qū)二模)設(shè)命題p:函數(shù)f(x)=ex-1在R上為增函數(shù);命題q:函數(shù)f(x)=cos(x+π)為奇函數(shù),則下列命題中真命題是( )
A.p∧q B.(?p)∨q
C.(?p)∧(?q) D 11、.p∧(?q)
[答案] D
[解析] p為真命題;∵cos(x+π)=-cosx,
∴f(x)為偶函數(shù),∴q為假命題.故選D.
(理)(xx·杭州市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)(x∈R)是以4為周期的奇函數(shù),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=ln(x2-x+b).若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上有5個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( )
A.-1
12、=f(2),∴f(2)=0,f(-2)=0,又f(0)=0,故若函數(shù)在區(qū)間[-2,2]內(nèi)存在5個(gè)零點(diǎn),只需x∈(0,2)時(shí),f(x)=ln(x2-x+b)只有一個(gè)零點(diǎn)即可,即方程x2-x+b=1在區(qū)間(0,2)內(nèi)只有一根,可轉(zhuǎn)化為y=b,y=-x2+x+1在x∈(0,2)上只有一個(gè)交點(diǎn),結(jié)合圖形可得-10恒成立得b>,綜上可得b的取值范圍是
13、滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f(x)稱為M函數(shù):①對(duì)任意的x∈[0,1],恒有f(x)≥0;②當(dāng)x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1時(shí),總有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,則下列函數(shù)不是M函數(shù)的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=2x-1
C.f(x)=ln(x2+1) D.f(x)=x2+1
[答案] D
[解析] 利用排除法求解.函數(shù)f(x)=x2≥0,x∈[0,1],且x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1時(shí),f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=(x1+x2)2-x-x=2x1x2≥0,所以f(x)=x2是M函數(shù),A選項(xiàng)正確;函數(shù)f(x)=2x-1≥0,x∈ 14、[0,1],且x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1時(shí),f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=2x1+x2-2x1-2x2+1=(2x1-1)(2x2-1)≥0,所以f(x)=2x-1是M函數(shù),B選項(xiàng)正確;函數(shù)f(x)=ln(x2+1)≥0,x∈[0,1],且x1,x2∈[0,1],x1+x2≤1時(shí),x1x2≤()2≤,所以[(x1+x2)2+1]-(x+1)(x+1)=x1x2(2-x1x2)≥0,則f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)=ln[(x1+x2)2+1]-ln(x+1)-ln(x+1)=ln≥0,所以f(x)=ln(x2+1)是M函數(shù),C選項(xiàng)正確;對(duì)于函數(shù)f(x)=x2+ 15、1,x1=x2=滿足條件,此時(shí)f(x1+x2)=f(1)=2 16、],即?x1,x2∈[-1,1],使得|g(x1)-g(x2)|>|x1-x2|,故g(x)?Ψ.在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y=h(x),y=x,y=-x的圖象如圖所示,觀察可知?x1,x2∈[-1,1],≤1,即|h(x1)-h(huán)(x2)|≤|x1-x2|,故h(x)∈Ψ.綜上所述,故選C.
11.(文)(xx·濟(jì)南模擬)若至少存在一個(gè)x(x≥0),使得關(guān)于x的不等式x2≤4-|2x-m|成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )
A.[-4,5] B.[-5,5]
C.[4,5] D.[-5,4]
[答案] A
[解析] 本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合思想.
至少存在一個(gè)x≥0, 17、使得不等式|x-|≤2-x2成立,即函數(shù)f(x)=|x-|與g(x)=2-x2的圖象存在橫坐標(biāo)是非負(fù)數(shù)的公共點(diǎn).在同一坐標(biāo)系下畫(huà)出函數(shù)g(x)=2-x2與y=|x|的圖象,結(jié)合圖象可知將y=|x|的圖象向左平移到經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)這個(gè)過(guò)程中的相應(yīng)曲線均滿足題意,即-4≤m≤0;將y=|x|的圖象向左平移到直線y=-x+與拋物線y=2-x2相切的過(guò)程中的相應(yīng)曲線均滿足題意,設(shè)相應(yīng)的切點(diǎn)橫坐標(biāo)是x0,則有-x0=-1,x0=1,切點(diǎn)坐標(biāo)是(1,),于是有=-1+,得m=5,所以0≤m≤5.因此滿足題意的實(shí)數(shù)m的取值范圍是[-4,5],故選A.
(理)(xx·東北三省四市聯(lián)考)若對(duì)于?x,y∈[0, 18、+∞),不等式4ax≤ex+y-2+ex-y-2+2恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值是( )
A. B.1
C.2 D.
[答案] D
[解析] 利用分離參數(shù)法求解.由題意可得4ax≤ex-2(ey+e-y)+2,y∈[0,+∞)恒成立,所以≤(ey+e-y)min=2,則2ax≤ex-2+1,x∈[0,+∞)恒成立,x=0時(shí)顯然成立,所以2ax≤ex-2+1,x∈(0,+∞)恒成立,即2a≤()min在x∈(0,+∞)上恒成立,令f(x)=,x∈(0,+∞),則f′(x)=,x∈(0,+∞),由f′(x)=0得x=2,當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減;當(dāng)x 19、∈(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,f(x)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(2)=1,則2a≤1,a≤,所以實(shí)數(shù)a的最大值是,故選D.
12.(文)(xx·四川理,9)如果函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(n-8)x+1(m≥0,n≥0)在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么mn的最大值為( )
A.16 B.18
C.25 D.
[答案] B
[解析] 考查函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用.
當(dāng)m=2時(shí),∵f(x)=(n-8)x+1在[,2]上單調(diào)遞減,∴n<8,又n≥0,∴mn=2n<16.當(dāng)m≠2時(shí),拋物線的對(duì)稱軸為x=-.據(jù)題意,當(dāng)m>2時(shí),-≥2即2m+n≤12.∵≤≤6,∴mn≤ 20、18.由2m=n且2m+n=12得m=3,n=6.∴當(dāng)m=3,n=6時(shí),mn取到最大值18.當(dāng)m<2時(shí),拋物線開(kāi)口向下,據(jù)題意得,-≤,即m+2n≤18.∵n≤9-m,∵0≤m<2,n≥0,∴mn≤9m-m2=-(m-9)2+<-(2-9)2+=16.綜上可知mn的最大值為18.選B.
(理)(xx·新課標(biāo)Ⅰ理,12)設(shè)函數(shù)f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0,則a的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
[答案] D
[解析] 解法1:設(shè)g(x)=ex(2x-1),h(x)=ax-a,由題知存在唯一的整數(shù)x0,使得(x0,g( 21、x0))在直線h(x)=ax-a的下方.因?yàn)間′(x)=ex(2x+1),所以當(dāng)x<-時(shí),g′(x)<0,當(dāng)x>-時(shí),g′(x)>0,所以當(dāng)x=-時(shí),[g(x)]min=-2e-,∵f(1)=e>0,
∴,解得≤a<1,故選D .
解法2:∵a<1,∴f(0)=-1+a<0,∴x0=0是符合題意的唯一的整數(shù)x0,從而∴a≥,
又a<1,∴≤a<1,故選D.
二、填空題(本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分,將正確答案填在題中橫線上)
13.已知命p:?x∈R,ax2+2x+1≤0.若命題p是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[答案] (1,+∞)
[解析] 根據(jù)原 22、命題是假命題,則其否定是真命題,結(jié)合二次函數(shù)圖象求解.命題p的否定?p:?x∈R,ax2+2x+1>0是真命題,故解得a>1.
14.(文)若曲線y=x-在點(diǎn)(m,m-)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積為18,則m=________.
[答案] 64
[解析] ∵y=x-,∴y′=-x-,∴切線的斜率為-m-,切線方程為y-m-=-m-(x-m),令x=0,得y=m-,令y=0,得x=3m,∵m>0,∴×3m×m-=18,∴m=8,∴m=64.
(理)已知函數(shù)f(x)=ax3+ax2-bx+b-1在x=1處的切線與x軸平行,若函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___ 23、_____.
[答案] (,)
[解析] 依題意得,f ′(1)=0,又f ′(x)=ax2+ax-b,
∴b=2a,
∴f ′(x)=ax2+ax-2a=a(x+2)(x-1),令f ′(x)=0,得x=-2或x=1,
①當(dāng)a=0時(shí),不合題意;
②當(dāng)a>0時(shí),要使圖象過(guò)四個(gè)象限,
只需結(jié)合a>0,解得a∈(,);
③當(dāng)a<0時(shí),要使圖象過(guò)四個(gè)象限,
只需結(jié)合a<0.可知不存在符合條件的實(shí)數(shù)a;
綜上得,a的取值范圍是(,).
15.(文)函數(shù)f(x)=ax3-2ax2+(a+1)x-log2(a2-1)不存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[答案] 1 24、0,∴a>1或a<-1;
f ′(x)=3ax2-4ax+a+1,
∵函數(shù)f(x)不存在極值點(diǎn),
∴f ′(x)=0不存在兩不等實(shí)根,
∴Δ=16a2-4×3a(a+1)=4a(a-3)≤0,
所以0≤a≤3,綜上可知:1
25、上可以看到:當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f ′(x)>0;當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f ′(x)<0;當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),f ′(x)>0,所以f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)1和2,且當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值,當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值.只有①不正確.
16.(文)(xx·長(zhǎng)沙市模擬)若關(guān)于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[答案] (-∞,-]∪[2,+∞)
[解析] 利用分離參數(shù)法求解.因?yàn)殛P(guān)于x的方程x4+ax3+ax2+ax+1=0有實(shí)根,易知實(shí)根不為0,則-a==,令x+=t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),則-a=,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞ 26、).因?yàn)?)′=>0,所以≤-2或≥,即-a≤-2或-a≥,解得a≥2或a≤-.
(理)(xx·福州市質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=x·sinx,有下列四個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;
②存在常數(shù)T>0,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,恒有f(x+T)=f(x)成立;
③對(duì)于任意給定的正數(shù)M,都存在實(shí)數(shù)x0,使得|f(x0)|≥M;
④函數(shù)f(x)的圖象上至少存在三個(gè)點(diǎn),使得該函數(shù)在這些點(diǎn)處的切線重合.
其中正確結(jié)論的序號(hào)是________(請(qǐng)把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填上).
[答案] ①③④
[解析] 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽,且f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsinx=f(x), 27、故函數(shù)f(x)=xsinx為偶函數(shù),圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,①正確;作出函數(shù)y=xsinx的圖象如圖所示,觀察可知,該函數(shù)沒(méi)有周期性,②錯(cuò)誤;因?yàn)楫?dāng)x→∞,x≠kπ時(shí),|f(x)|→+∞,故對(duì)于任意給定的正數(shù)M,都存在實(shí)數(shù)x0,使得|f(x0)|≥M,對(duì)于任意正數(shù)M,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=sinx與y=的圖象,易知當(dāng)x>0時(shí),總存在x0>0,使sinx0≥>0,∴x0sinx0≥M,
∴|x0sinx0|≥M,可知③正確;作出y=±x的圖象如圖所示,觀察可知,或由直線y=x與曲線切于點(diǎn)(+2kπ,+2kπ),k∈Z知④正確.綜上所述,正確命題的序號(hào)為①③④.
三、解答題(本大題共6個(gè)小題 28、,共70分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)
17.(本題滿分10分)(文)已知命題p:A={a|關(guān)于x的不等式x2+2ax+4>0在R上恒成立},命題q:B={a|1<<2}.
(1)若k=1,求A∩(?RB);
(2)若“非p”是“非q”的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
[解析] 依題意,可得A={a|4a2-16<0}={x|-2
29、必要條件.只需解得2≤k≤4.
所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[2,4].
(理)若集合A具有以下性質(zhì):
①0∈A,1∈A;
②若x、y∈A,則x-y∈A,且x≠0時(shí),∈A,
則稱集合A是“好集”.
(1)分別判斷集合B={-1,0,1},有理數(shù)集Q是否是“好集”,并說(shuō)明理由;
(2)設(shè)集合A是“好集”,求證:若x、y∈A,則x+y∈A;
(3)對(duì)任意的一個(gè)“好集”A,分別判斷下面命題的真假,并說(shuō)明理由.
命題p:若x、y∈A,則必有xy∈A;
命題q:若x、y∈A,且x≠0,則必有∈A.
[解析] (1)集合B不是“好集”.理由是:假設(shè)集合B是“好集”,因?yàn)椋?∈B,1∈B,所 30、以-1-1=-2∈B.
這與-2?B矛盾.
有理數(shù)集Q是“好集”.因?yàn)?∈Q,1∈Q,
對(duì)任意的x,y∈Q,有x-y∈Q,且x≠0時(shí),∈Q.
所以有理數(shù)集Q是“好集”.
(2)證明:因?yàn)榧螦是“好集”,所以0∈A.
若x、y∈A,則0-y∈A,即-y∈A.
所以x-(-y)∈A,即x+y∈A.
(3)命題p、q均為真命題.理由如下:
對(duì)任意一個(gè)“好集”A,任取x、y∈A,
若x、y中有0或1時(shí),顯然xy∈A.
下設(shè)x、y均不為0,1.由定義可知x-1、、∈A.
所以-∈A,即∈A.
所以x(x-1)∈A.
由(2)可得x(x-1)+x∈A,即x2∈A.同理可得y2 31、∈A.
若x+y=0或x+y=1,則顯然(x+y)2∈A.
若x+y≠0且x+y≠1,則(x+y)2∈A.
所以2xy=(x+y)2-x2-y2∈A.
所以∈A.
由(2)可得=+∈A.
所以xy∈A.
綜上可知,xy∈A,即命題p為真命題.
若x,y∈A,且x≠0,則∈A.
所以=y(tǒng)·∈A,即命題q為真命題.
18.(本題滿分12分)(xx·四川綿陽(yáng)一診)已知函數(shù)f(x)=1-(a>0且a≠1)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù).
(1)求a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的值域;
(3)當(dāng)x∈(0,1]時(shí),tf(x)≥2x-2恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
[解析] 解 32、法1:(1)∵f(x)是定義在(-∞,+∞)上的奇函數(shù),即f(-x)=-f(x)恒成立,∴f(0)=0.
即1-=0,解得a=2.
(2)由(1)知f(x)=1-=,
記y=f(x),即y=,
∴2x=,由2x>0知>0,
∴-1 33、
(2)由(1)知f(x)=1-,
而2x>0,∴2x+1>1,∴0<<2,
∴-1<1-<1,即-1 34、米4000元,從第二層開(kāi)始,每一層的建筑費(fèi)用比其下面一層每平方米增加100元.
(1)若該寫(xiě)字樓共x層,總開(kāi)發(fā)費(fèi)用為y萬(wàn)元,求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式;
(總開(kāi)發(fā)費(fèi)用=總建筑費(fèi)用+購(gòu)地費(fèi)用)
(2)要使整幢寫(xiě)字樓每平方米的平均開(kāi)發(fā)費(fèi)用最低,該寫(xiě)字樓應(yīng)建為多少層?
[解析] (1)由已知,寫(xiě)字樓最下面一層的總建筑費(fèi)用為4000×2000=8000000(元)=800(萬(wàn)元),
從第二層開(kāi)始,每層的建筑總費(fèi)用比其下面一層多
100×2000=200000(元)=20(萬(wàn)元),
寫(xiě)字樓從下到上各層的總建筑費(fèi)用構(gòu)成以800為首項(xiàng),20為公差的等差數(shù)列,
所以函數(shù)表達(dá)式為
y=f(x) 35、=800x+×20+9000
=10x2+790x+9000(x∈N*).
(2)由(1)知寫(xiě)字樓每平方米平均開(kāi)發(fā)費(fèi)用為
g(x)=×10000=
=50(x++79)
g′(x)=50(1-),由g′(x)=0及x∈N*得,x=30.
易知當(dāng)x=30時(shí),g(x)取得最小值.
答:該寫(xiě)字樓建為30層時(shí),每平方米平均開(kāi)發(fā)費(fèi)用最低.
(理)經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查,某旅游城市在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì)),旅游人數(shù)f(t)(萬(wàn)人)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足f(t)=4+,人均消費(fèi)g(t)(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足g(t)=115-|t-15|.
(1)求該城市的旅游日收益w( 36、t)(萬(wàn)元)與時(shí)間t(1≤t≤30,t∈N)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)求該城市旅游日收益的最小值(萬(wàn)元).
[解析] (1)依題意得,
w(t)=f(t)·g(t)=(4+)(115-|t-15|).
(2)因?yàn)閣(t)=
①當(dāng)1≤t<15時(shí),w(t)=(4+)(t+100)=4(t+)+401≥4×2+401=441,
當(dāng)且僅當(dāng)t=,即t=5時(shí)取等號(hào).
②當(dāng)15≤t≤30時(shí),w(t)=(4+)(130-t)=519+(-4t),可證w(t)在t∈[15,30]上單調(diào)遞減,所以當(dāng)t=30時(shí),w(t)取最小值為403.
由于403<441,
所以該城市旅游日收益的最小值為403萬(wàn)元 37、.
20.(本題滿分12分)(文)已知函數(shù)f(x)=x2+2alnx.
(1)若函數(shù)f(x)的圖象在(2,f(2))處的切線斜率為1,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若函數(shù)g(x)=+f(x)在[1,2]上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[解析] (1)f ′(x)=2x+=.
由已知f ′(2)=1,解得a=-3.
(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
①當(dāng)a≥0時(shí),f ′(x)>0,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞);
②當(dāng)a<0時(shí)f ′(x)=.
當(dāng)x變化時(shí),f ′(x),f(x)的變化情況如下:
x
(0,)
(,+∞)
38、f ′(x)
-
0
+
f(x)
極小值
由上表可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,);單調(diào)遞增區(qū)間是(,+∞).
(3)由g(x)=+x2+2alnx,得g′(x)=-+2x+,
由已知函數(shù)g(x)為[1,2]上的單調(diào)減函數(shù),
則g′(x)≤0在[1,2]上恒成立,
即-+2x+≤0在[1,2]上恒成立.
即a≤-x2在[1,2]上恒成立.
令h(x)=-x2,x∈[1,2],則h′(x)=--2x=-(+2x)<0,
∴h(x)在[1,2]上為減函數(shù).h(x)min=h(2)=-,
∴a≤-,故a的取值范圍為(-∞,-].
(理)設(shè)函數(shù)f(x 39、)=lnx+(x-a)2,a∈R.
(1)若a=0,求函數(shù)f(x)在[1,e]上的最小值;
(2)若函數(shù)f(x)在[,2]上存在單調(diào)遞增區(qū)間,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[解析] (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).
因?yàn)閒 ′(x)=+2x>0,
所以f(x)在[1,e]上是增函數(shù),
當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值f(1)=1.
所以f(x)在[1,e]上的最小值為1.
(2)法一:f ′(x)=+2(x-a)=
設(shè)g(x)=2x2-2ax+1,
依題意得,在區(qū)間[,2]上存在子區(qū)間使得不等式g(x)>0成立.
注意到拋物線g(x)=2x2-2ax+1的圖象開(kāi)口向上,
40、所以只要g(2)>0,或g()>0即可.
由g(2)>0,即8-4a+1>0,得a<,
由g()>0,即-a+1>0,得a<.
所以a<,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,).
法二:f ′(x)=+2(x-a)=,
依題意得,在區(qū)間[,2]上存在子區(qū)間使不等式2x2-2ax+1>0成立.
又因?yàn)閤>0,所以2a<(2x+).
設(shè)g(x)=2x+,所以2a小于函數(shù)g(x)在區(qū)間[,2]的最大值.
又因?yàn)間′(x)=2-,
由g′(x)=2->0,解得x>;
由g′(x)=2-<0,解得0 41、數(shù)g(x)在x=,或x=2處取得最大值.
又g(2)=,g()=3,
所以2a<,即a<,
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,).
21.(本題滿分12分)(文)(xx·新課標(biāo)Ⅰ文,21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-aln x.
(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),f(x)≥2a+aln.
[解析] (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=2e2x-(x>0).當(dāng)a≤0時(shí),
f′(x)>0,∴y=f′(x)沒(méi)有零點(diǎn);
當(dāng)a>0時(shí),因?yàn)閥=e2x單調(diào)遞增,
y=-單調(diào)遞增,所以f′(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.
又f′(a)>0, 42、當(dāng)b滿足0<b<且b<時(shí),f′(b)<0,故當(dāng)a>0時(shí),f′(x)存在唯一零點(diǎn).
(2)由(1),可設(shè)f′(x)在(0,+∞)的唯一零點(diǎn)為x0,
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f′(x)<0;
當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),f′(x)>0.
故f(x)在(0,x0)上單調(diào)遞減,在(x0,+∞)上單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時(shí),f(x)取得最小值,最小值為f(x0).
由于2e2x0-=0,
所以f(x0)=+2ax0+aln ≥2a+aln .
故當(dāng)a>0時(shí),f(x)≥2a+aln .
(理)(xx·新課標(biāo)Ⅱ文,21)已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x).
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
43、(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.
[解析] (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=-a,若a≤0,則f′(x)>0,f(x)在(0,+∞),單調(diào)遞增;若a>0,則當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
(2)由(1)知a≤0時(shí)f(x)在(0,+∞)無(wú)最大值.當(dāng)a>0時(shí)f(x)在x=處取得最大值,最大值為f=ln+a=-ln a+a-1.因此f>2a-2?ln a+a-1<0,令g(a)=ln a+a-1.則g(a)在(0,+∞)是增函數(shù),且g(1)=0,于是,當(dāng)0
44、a>1時(shí),g(a)>0.因此a的取值范圍是(0,1).
22.(本題滿分12分)(文)(xx·重慶文,19)已知函數(shù)f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-處取得極值.
(1)確定a的值;
(2)若g(x)=f(x)ex,討論g(x)的單調(diào)性.
[解析] (1)對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=3ax2+2x,因?yàn)閒(x)在x=-處取得極值,所以f′(-)=0,即3a×+2×(-)=-=0,解得a=.
(2)由(1)得,g(x)=ex.故g′(x)=ex+ex=ex=x(x+1)(x+4)ex,令g′(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.當(dāng)x<-4時(shí),g′(x)<0,故g(x)為減函 45、數(shù);當(dāng)-4 46、理由.
[解析] (1)∵f(x)=--2x
∴f ′(x)=+-2,
∵f(x)在x=0處取得極值,
∴f ′(0)=1+a-2=0,
∴a=1.(經(jīng)檢驗(yàn)a=1符合題意)
(2)因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?-1,+∞),且當(dāng)x=0時(shí),
f(0)=-a<0,
又直線y=-2x恰好通過(guò)原點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)的圖象應(yīng)位于區(qū)域Ⅲ內(nèi),
∵x>-1,∴可得f(x)<-2x,即<,
∵x+1>0,∴a>,
令φ(x)=,∴φ′(x)=,
令φ′(x)=0得x=e-1,∵x>-1,
∴x∈(-1,e-1)時(shí),φ′(x)>0,φ(x)單調(diào)遞增,
x∈(e-1,+∞)時(shí),φ′(x)< 47、0,φ(x)單調(diào)遞減.
∴φmax(x)=φ(e-1)=,∴a的取值范圍是:a>.
(3)法1:由(2)知函數(shù)φ(x)=在x∈(e-1,+∞)時(shí)單調(diào)遞減.
∴函數(shù)p(x)=在x∈(e,+∞)時(shí)單調(diào)遞減,
∴<,∴xln(x+1)<(x+1)lnx,
∴l(xiāng)n(x+1)x 48、<2+++…+<3,
∴<1,∴xxxx 49、>3} D.{x|x<-2或2 50、案] C
[解析] ∵f(x)=()x-log3x=()x+logx在(0,+∞)上為減函數(shù),又f(m)=0,∴x0>m時(shí),應(yīng)有f(x0) 51、2-|x|-3+x=-1無(wú)零點(diǎn);
當(dāng)x>2時(shí),f(2-x)=2-|2-x|=4-x,g(x)=x-1,函數(shù)f(x)-g(x)=(x-2)2-x+1=x2-5x+5大于2零點(diǎn)有一個(gè),故選A.
4.(文)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=lnx,x0是函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)的一個(gè)零點(diǎn),若x1∈(1,x0),x2∈(x0,+∞),則( )
A.h(x1)<0,h(x2)<0 B.h(x1)>0,h(x2)>0
C.h(x1)>0,h(x2)<0 D.h(x1)<0,h(x2)>0
[答案] D
[解析] 令h(x)=+lnx=0,從而有l(wèi)nx=,此方程的解即為函數(shù)h(x)的零點(diǎn). 52、在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)=lnx與f(x)=的圖象,如圖所示.
由圖象易知>lnx1,從而lnx1-<0,
故lnx1+<0,即h(x1)<0.同理h(x2)>0.
(理)函數(shù)f(x)=sin(3x)-x3的圖象最可能是( )
[答案] A
[解析] ∵f(-x)=sin(-3x)-(-x)3=-f(x),∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù),排除B項(xiàng);又f(2)=sin6-×23=sin6-1<0,故排除C、D兩選項(xiàng),應(yīng)選A.
5.(xx·山東文,10)設(shè)函數(shù)f(x)=若f=4,則b=( )
A.1 B.
C. D.
[答案] D
[解析] 考查分段函數(shù)與方程思想.
53、
由題意,f()=3×-b=-b,由f(f())=4得, 或解得b=,故選D.
6.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)=x(1+x),則f()=( )
A. B.
C.- D.-
[答案] B
[解析] ∵f(x)滿足f(x+1)=f(x-1),
∴f(x+2)=f(x),∴f(x)的周期為2,∴f()=f(),
∵f(x)為奇函數(shù),
∴f()=-f(-)=(1-)=,
∴f()=,故選B.
7.函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,則x1·x2等于( )
A.9 54、B.-9
C.1 D.-1
[答案] C
[解析] f ′(x)=3x2+2ax+3,則x1·x2=1.
8.(文)已知a≤+lnx對(duì)任意x∈[,2]恒成立,則a的最大值為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
[答案] A
[解析] 令f(x)=+lnx,則f ′(x)=,當(dāng)x∈[,1]時(shí),f ′(x)<0,當(dāng)x∈[1,2]時(shí),f ′(x)>0,
∴f(x)在[,1]上單調(diào)遞減,在[1,2]上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,故選A.
(理)若f ′(x)=(x+a)(x-2),f(0)=0,函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,0]上 55、不是單調(diào)函數(shù),且當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),不等式f(x) 56、.
9.(文)函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)? )
A.(0,) B.(2,+∞)
C.(0,)∪(2,+∞) D.(0,]∪[2,+∞)
[答案] C
[解析] (log2x)2-1>0,(log2x)2>1,
∴l(xiāng)og2x<-1或log2x>1,
∴0 57、x<-3或x>1;故選D.
10.已知函數(shù)f(x)=則f(x)>1的解集為( )
A.(-1,0)∪(0,e) B.(-∞,-1)∪(e,+∞)
C.(-1,0)∪(e,+∞) D.(-∞,1)∪(e,+∞)
[答案] C
[解析] 不等式f(x)>1化為或,
∴x>e或-1 58、)cos x=-f(x),故函數(shù)是奇函數(shù),所以排除A,B;取x=π,則f(π)=(π-)cos π=-(π-)<0,故選D.
12.(文)(xx·中原名校第二次聯(lián)考)已知函數(shù)g(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且a+2b+3c=0,f(0)f(1)>0,設(shè)x1、x2是方程f(x)=0的兩根,則|x1-x2|的取值范圍是( )
A.[0,) B.[0,)
C.(,) D.(,)
[答案] A
[解析] f(x)=g′(x)=3ax2+2bx+c,∵f()=++c=(a+2b+3c)=0,∴是f(x)=0的一根,又f(0)·f(1)>0,∴0 59、,
即或故選A.
(理)(xx·哈三中一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知P是函數(shù)f(x)=xlnx-x的圖象上的動(dòng)點(diǎn),該曲線在點(diǎn)P處的切線l交y軸于點(diǎn)M(0,yM),過(guò)點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N(0,yN).則的范圍是( )
A.(-∞,-1]∪[3,+∞)
B.(-∞,-3]∪[1,+∞)
C.[3,+∞)
D.(-∞,-3]
[答案] A
[解析] ∵f(x)=xlnx-x,∴f ′(x)=lnx,設(shè)P(x0,y0),則y0=x0lnx0-x0,kl=lnx0,∴l(xiāng):y-y0=(x-x0)·lnx0,令x=0得yM=y(tǒng)0-x0lnx0=-x0,過(guò)點(diǎn)P的直線l的垂線斜率k 60、=-,方程為y-y0=-·(x-x0),令x=0得yN=y(tǒng)0+=x0lnx0-x0+=
∴==-lnx0-+1
當(dāng)x0>1時(shí),lnx0>0,-lnx0-+1=-(lnx0+)+1≤1-2=-1,同理當(dāng)0 61、
14.(文)已知直線y=2x+b是曲線y=lnx(x>0)的一條切線,則實(shí)數(shù)b=________.
[答案]?。璴n2-1
[解析] 由y=lnx得y′=,令=2得x=,
∴切點(diǎn)為(,ln),∴l(xiāng)n=×2+b,
∴b=-ln2-1.
(理)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,若f(x)在區(qū)間(-1,0)上單調(diào)遞減,則a2+b2的取值范圍是________.
[答案] [,+∞)
[解析] 由題意得f ′(x)=3x2+2ax+b,f ′(x)≤0在x∈(-1,0)上恒成立,即3x2+2ax+b≤0在x∈(-1,0)上恒成立,
∴∴a、b所滿足的可行域如圖中的陰影部分所 62、示.則點(diǎn)O到直線2a-b-3=0的距離d=.∴a2+b2≥d2=.
∴a2+b2的取值范圍為[,+∞).
15.(文)給出下列四個(gè)命題:
①命題“?x∈R,cosx>0”的否定是“?x∈R,cosx≤0”;
②若00時(shí),f ′(x)>0,則當(dāng)x<0時(shí),f ′(x)<0.
其中真命題的序號(hào)是________(把所有真命題的序號(hào)都填上).
[答案] ①③④
[解析]?、僬_;令f(x)=x2+ax-3=0,則ax=3-x 63、2,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=ax(00時(shí),f ′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),∴f(x)在(-∞,0)上為減函數(shù),因此,當(dāng)x<0時(shí),f ′(x)<0,故④真.
(理)命題p:方程x2-x+a2-6a=0有一正根和一負(fù)根.命題q:函數(shù)y=x2+(a-3)x+1的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn).若命題“p或q”為真命題,而命題“p且q”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.
[答案] (0,1]∪[5,6)
[
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