(浙江專版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ)學(xué)案
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1、 第一章 集合與常用邏輯用語(yǔ) 第一節(jié)集__合 1.集合的相關(guān)概念 (1)集合元素的三個(gè)特性:確定性、無序性、互異性. (2)元素與集合的兩種關(guān)系:屬于,記為∈;不屬于,記為?. (3)集合的三種表示方法:列舉法、描述法、圖示法. (4)五個(gè)特定的集合: 集合 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實(shí)數(shù)集 符號(hào) N N*或N+ Z Q R 2.集合間的基本關(guān)系 表示 關(guān)系 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 記法 基本關(guān)系 子集 集合A的元素都是集合B的元素 x∈A? x∈B A?B或 B?A 真子集 集合A是集合B的子集,
2、且集合B中至少有一個(gè)元素不屬于A A?B,且存在x0∈B,x0?A AB或 BA 相等 集合A,B的元素完全相同 A?B, B?A A=B 空集 不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集 任意的x,x??,??A ? 3.集合的基本運(yùn)算 表示 運(yùn)算 文字語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 記法 交集 屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合 {x|x∈A,且x∈B} A∩B 并集 屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合 {x|x∈A,或x∈B} A∪B 補(bǔ)集 全集U中不屬于集合A的元素組成的集合 {x|x∈U,且x?A}
3、
?UA
4.集合問題中的幾個(gè)基本結(jié)論
(1)集合A是其本身的子集,即A?A;
(2)子集關(guān)系的傳遞性,即A?B,B?C?A?C;
(3)A∪A=A∩A=A,A∪?=A,A∩?=?,?UU=?,?U?=U.
(4)A∩B=A?A?B,A∪B=B?A?B.
[小題體驗(yàn)]
1.已知集合A={1,2},B={x|0 4、(x+1)(x-2)<0},B={x|0≤x≤3},則A∩B=________.
答案:{x|0≤x<2}
1.認(rèn)清集合元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和化簡(jiǎn)集合是正確求解集合問題的兩個(gè)先決條件.
2.解題時(shí)注意區(qū)分兩大關(guān)系:一是元素與集合的從屬關(guān)系;二是集合與集合的包含關(guān)系.
3.易忘空集的特殊性,在寫集合的子集時(shí)不要忘了空集和它本身.
4.運(yùn)用數(shù)軸圖示法易忽視端點(diǎn)是實(shí)心還是空心.
5.在解決含參數(shù)的集合問題時(shí),要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性,否則很可能會(huì)因?yàn)椴粷M足“互異性”而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.
[小題糾偏]
1.設(shè)全集U=R,集合A={x|7-6x≤0},集合B={x|y 5、=lg(x+2)},則(?UA)∩B等于( )
A. B.
C. D.
解析:選A 依題意得A=,?UA=;B={x|x+2>0}={x|x>-2},因此(?UA)∩B=.
2.已知集合A={x∈N|x2-2x≤0},則滿足A∪B={0,1,2}的集合B的個(gè)數(shù)為________.
解析:由A中的不等式解得0≤x≤2,x∈N,即A={0,1,2}.∵A∪B={0,1,2},∴B可能為{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2},{0,1,2},?,共8個(gè).
答案:8
3.已知集合A={0, x+1,x2-5x},若-4∈A,則實(shí)數(shù)x的值為________.
解 6、析:∵-4∈A,∴x+1=-4或x2-5x=-4.
∴x=-5或x=1或x=4.
若x=1,則A={0, 2,-4},滿足條件;
若x=4,則A={0, 5,-4},滿足條件;
若x=-5,則A={0,-4,50},滿足條件.
所以x=1或x=4或-5.
答案:1或4或-5
[題組練透]
1.(易錯(cuò)題)已知集合A={1,2,4},則集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的個(gè)數(shù)為( )
A.3 B.6
C.8 D.9
解析:選D 集合B中元素有(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(4 7、,1),(4,2),(4,4),共9個(gè).
2.已知a>0,b∈R,若={a-b,0,a2},則a2+b2的值為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析:選B 由已知得a≠0,則=0,所以b=0,于是a2=4,即a=2或a=-2,因?yàn)閍>0,所以a=2,故a2+b2=22+02=4.
3.若集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}中只有一個(gè)元素,則a等于( )
A. B.
C.0 D.0或
解析:選D 若集合A中只有一個(gè)元素,則方程ax2-3x+2=0只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根.
當(dāng)a=0時(shí),x=,符合題意.
當(dāng)a≠0時(shí),由Δ=(-3)2-8a=0,得a=, 8、
所以a的值為0或.
4.(易錯(cuò)題)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,則m的值為________.
解析:由題意得m+2=3或2m2+m=3,則m=1或m=-,當(dāng)m=1時(shí),m+2=3且2m2+m=3,根據(jù)集合中元素的互異性可知不滿足題意;當(dāng)m=-時(shí),m+2=,而2m2+m=3,故m=-.
答案:-
[謹(jǐn)記通法]
與集合中的元素有關(guān)問題的求解策略
(1)確定集合的元素是什么,即集合是數(shù)集還是點(diǎn)集.如“題組練透”第1題.
(2)看這些元素滿足什么限制條件.
(3)根據(jù)限制條件列式求參數(shù)的值或確定集合中元素的個(gè)數(shù),但要注意檢驗(yàn)集合是否滿足元素的互異性.如“題組練透”第4 9、題.
[典例引領(lǐng)]
1.已知集合M={1,2,3,4},則集合P={x|x∈M且2x?M}的子集有( )
A.8個(gè) B.4個(gè)
C.3個(gè) D.2個(gè)
解析:選B 由題意,得P={3,4},所以集合P的子集有22=4個(gè).
2.已知集合A={2,3},B={x|ax-6=0},若B?A,則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.3 B.2
C.2或3 D.0或2或3
解析:選D 由題意可得,因?yàn)锽?A,所以B={2},{3}或?;若B={2},則2∈B,所以2a-6=0,解得a=3;若B={3},則3∈B,所以3a-6=0,解得a=2;若B=?,則a=0.所以滿足條件的 10、實(shí)數(shù)a的值為0或2或3.
[由題悟法]
集合間基本關(guān)系的兩種判定方法和一個(gè)關(guān)鍵
[即時(shí)應(yīng)用]
1.集合{a,b,c,d,e}的真子集的個(gè)數(shù)為( )
A.32 B.31
C.30 D.29
解析:選B 因?yàn)榧嫌?個(gè)元素,所以其子集的個(gè)數(shù)為25=32個(gè),其真子集的個(gè)數(shù)為25-1=31個(gè).
2.已知集合A={x|-1 11、圍為(-∞,1].
答案:(-∞,1]
[鎖定考向]
集合運(yùn)算多與解簡(jiǎn)單的不等式、函數(shù)的定義域、值域相聯(lián)系,考查對(duì)集合的理解及不等式的有關(guān)知識(shí);有些集合題為抽象集合題或新定義型集合題,考查學(xué)生的靈活處理問題的能力.
常見的命題角度有:
(1)集合的運(yùn)算;
(2)利用集合運(yùn)算求參數(shù);
(3)新定義集合問題.
[題點(diǎn)全練]
角度一:集合的運(yùn)算
1.(2018·寧波模擬)已知全集U=A∪B={x∈Z|0≤x≤6},A∩(?UB)={1,3,5},則B=( )
A.{2,4,6} B.{1,3,5}
C.{0,2,4,6} D.{x∈Z|0≤x≤6} 12、
解析:選C 因?yàn)閁=A∪B={x∈Z|0≤x≤6}={0,1,2,3,4,5,6},A∩(?UB)={1,3,5},所以B={0,2,4,6}.
2.(2016·浙江高考)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},則P∪(?RQ)=( )
A.[2,3] B.(-2,3]
C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)
解析:選B ∵Q={x∈R|x2≥4},
∴?RQ={x∈R|x2<4}={x∈R|-2<x<2}.
∵P={x∈R|1≤x≤3},
∴P∪(?RQ)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3].
角度二:利用集合運(yùn)算求參數(shù)
3.設(shè) 13、集合A={x|-1≤x<2},B={x|x-1,又因?yàn)閍<0,所以-10”的充分必要條件;
命題②:對(duì)任意有限集A,B,C,d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C 14、).
A.命題①和命題②都成立
B.命題①和命題②都不成立
C.命題①成立,命題②不成立
D.命題①不成立,命題②成立
解析:選A 命題①成立,若A≠B,則card(A∪B)>card(A∩B),所以d(A,B)=card(A∪B)-card(A∩B)>0.反之可以把上述過程逆推,故“A≠B”是“d(A,B)>0”的充分必要條件;
命題②成立,由Venn圖,知card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),
d(A,C)=card(A)+card(C)-2card(A∩C),
d(B,C)=card(B)+card(C)-2card(B∩C),
∴d 15、(A,B)+d(B,C)-d(A,C)
=card(A)+card(B)-2card(A∩B)+card(B)+card(C)
-2card(B∩C)-[card(A)+card(C)-2card(A∩C)]
=2card(B)-2card(A∩B)-2card(B∩C)+2card(A∩C)
=2card(B)+2card(A∩C)-2[card(A∩B)+card(B∩C)]
=2card(B)+2card(A∩C)-2[card((A∪C)∩B)+card(A∩B∩C)]
=[2card(B)-2card((A∪C)∩B)]+[2card(A∩C)-2card(A∩B∩C)] 16、≥0,
∴d(A,C)≤d(A,B)+d(B,C)得證.
[通法在握]
解集合運(yùn)算問題4個(gè)技巧
看元素構(gòu)成
集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的關(guān)鍵
對(duì)集合化簡(jiǎn)
有些集合是可以化簡(jiǎn)的,先化簡(jiǎn)再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算,可使問題簡(jiǎn)單明了、易于解決
應(yīng)用數(shù)形
常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖
創(chuàng)新性問題
以集合為依托,對(duì)集合的定義、運(yùn)算、性質(zhì)加以深入的創(chuàng)新,但最終化為原來的集合知識(shí)和相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)來解決
[演練沖關(guān)]
1.(2018·臺(tái)州模擬)若集合A={x|-1 17、(-1,+∞)
C.(-1,1)∪[2,+∞) D.?
解析:選C 因?yàn)閤-2≥0,解得x≥2,所以B=[2,+∞),所以A∪B=(-1,1)∪[2,+∞).
2.若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一個(gè)元素,則a=( )
A.4 B.2
C.0 D.0或4
解析:選A 由題意得方程ax2+ax+1=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,當(dāng)a=0時(shí),方程無實(shí)數(shù)解;當(dāng)a≠0時(shí),則Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不符合題意,舍去).
3.(2018·吳越聯(lián)盟模擬)已知集合M={0,1,2,3,4},N={2,4,6},P=M∩N,則滿足條件的P的子集有( )
A.2個(gè) B 18、.4個(gè)
C.6個(gè) D.8個(gè)
解析:選B 因?yàn)镻=M∩N={2,4},所以集合P的子集有?,{2},{4},{2,4},共4個(gè).
4.如圖所示的Venn圖中,A,B是非空集合,定義集合AB為陰影部分表示的集合.若x,y∈R,A={x|y=},B={y|y=3x,x>0},則AB為( )
A.{x|0 19、.
一抓基礎(chǔ),多練小題做到眼疾手快
1.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},則A∪B=( )
A.{1} B.{1,2}
C.{0,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3}
解析:選C 因?yàn)锽={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1 20、.[-1,3]
解析:選A 由|x|<2,可得-2 21、答案:0
5.已知A={x|x2-3x+2<0},B={x|1 22、},則A∩(?RB)=( )
A.{x|0 23、=R.
4.(2018·河南六市第一次聯(lián)考)已知集合A={x|x2-3x<0},B={1,a},且A∩B有4個(gè)子集,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.(0,3) B.(0,1)∪(1,3)
C.(0,1) D.(-∞,1)∪(3,+∞)
解析:選B ∵A∩B有4個(gè)子集,∴A∩B中有2個(gè)不同的元素,∴a∈A,∴a2-3a<0,解得0
24、} D.{x|x<-1}
解析:選C 由x2-5x-6<0,解得-1 25、B={x|x2-4x≤0},則A∪B=________,A∩(?RB)=________.
解析:因?yàn)锽={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},所以A∪B={x|-1≤x≤4};因?yàn)?RB={x|x<0或x>4},所以A∩(?RB)={x|-1≤x<0}.
答案:{x|-1≤x≤4} {x|-1≤x<0}
8.設(shè)集合A={(x,y)|y≥|x-2|,x≥0},B={(x,y)|y≤-x+b},A∩B≠?.
(1)b的取值范圍是________;
(2)若(x,y)∈A∩B,且x+2y的最大值為9,則b的值是________.
解析:由圖可知,當(dāng)y=-x往右移動(dòng)到陰影區(qū)域時(shí), 26、才滿足條件,所以b≥2;要使z=x+2y取得最大值,則過點(diǎn)(0,b),有0+2b=9?b=.
答案:(1)[2,+∞) (2)
9.已知集合A={x|4≤2x≤16},B=[a,b],若A?B,則實(shí)數(shù)a-b 的取值范圍是________.
解析:集合A={x|4≤2x≤16}={x|22≤2x≤24}={x|2≤x≤4}=[2,4],因?yàn)锳?B,所以a≤2,b≥4,所以a-b≤2-4=-2,即實(shí)數(shù)a-b的取值范圍是(-∞,-2].
答案:(-∞,-2]
10.已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|x2-2mx+m2-4≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[0,3] 27、,求實(shí)數(shù)m的值;
(2)若A??RB,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解:由已知得A={x|-1≤x≤3},
B={x|m-2≤x≤m+2}.
(1)因?yàn)锳∩B=[0,3],
所以所以m=2.
(2)?RB={x|x 28、
C.(1,+∞) D.[1,+∞)
解析:選C 由題可得,A=[-1,1],所以?RA=(-∞,-1)∪(1,+∞).又B=(0,+∞),所以(?RA)∩B=(1,+∞).
2.對(duì)于集合M,N,定義M-N={x|x∈M,且x?N},M⊕N=(M-N)∪(N-M),設(shè)A=,B={x|x<0,x∈R},則A⊕B=( )
A. B.
C.∪[0,+∞) D.∪(0,+∞)
解析:選C 依題意得A-B={x|x≥0,x∈R},B-A=,故A⊕B=∪[0,+∞).故選C.
3.設(shè)全集U=R,且集合A={x|x2-2x-8≤0},集合B={x|x2+2x-3>0},C={x|x2- 29、3ax+2a2<0}.
(1)求A∩B;
(2)試求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使得C?A∪(?UB).
解:(1)因?yàn)锳={x|x2-2x-8≤0}=[-2,4],
B={x|x2+2x-3>0}=(-∞,-3)∪(1,+∞),
所以A∩B=(1,4].
(2)由題可得,?UB=[-3,1],
所以A∪(?UB)=[-3,4].
因?yàn)镃={x|x2-3ax+2a2<0}={x|(x-a)(x-2a)<0},
所以當(dāng)a<0時(shí),C=(2a,a),
因?yàn)镃?A∪(?UB),
所以此時(shí)只需-3≤2a,解得a≥-,所以-≤a<0.
當(dāng)a=0時(shí),C=?,滿足C?A∪(?UB),所以a=0.
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