2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入章末檢測試卷 新人教A版選修2-2

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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)系的擴充與復(fù)數(shù)的引入章末檢測試卷 新人教A版選修2-2 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝5i(3－4i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　運算結(jié)果與點的對應(yīng) 答案　A 2．“復(fù)數(shù)z是實數(shù)”的充分不必要條件為(　　) A．|z|＝z B．z＝ C．z2是實數(shù) D．z＋是實數(shù) 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　復(fù)數(shù)的概念及分類 答案　A 解析　由|z|＝z可知z必為實數(shù)，但由z為

2、實數(shù)不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此時|z|≠z，故“|z|＝z”是“z為實數(shù)”的充分不必要條件． 3．已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若a＋i＝2－bi，則(a＋bi)2等于(　　) A．3－4i B．3＋4i C．4－3i D．4＋3i 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　乘除法的運算法則 答案　A 解析　∵a，b∈R，a＋i＝2－bi， ∴a＝2，b＝－1， ∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i. 4．若復(fù)數(shù)z滿足＝i，其中i是虛數(shù)單位，則z等于(　　) A．－1－i B．1＋i C．1－i D．－1＋i 考點　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點　

3、利用定義求共軛復(fù)數(shù) 答案　C 解析?。?1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i. 5．下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是(　　) A．(1＋i)2 B．i2(1－i) C．i(1＋i)2 D．i(1＋i) 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 答案　A 解析　A項，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是純虛數(shù)； B項，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)； C項，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝2i2＝－2，不是純虛數(shù)； D項，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)． 故選A. 6．在復(fù)平面內(nèi)，O是原點，，，對應(yīng)的

4、復(fù)數(shù)分別為－2＋i，3＋2i,1＋5i，i為虛數(shù)單位，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(　　) A．4＋7i B．1＋3i C．4－4i D．－1＋6i 考點　復(fù)數(shù)的加減法運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法與向量的對應(yīng) 答案　C 解析　因為，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，＝－＝－(＋)，所以對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i. 7．已知復(fù)數(shù)z＝－＋i，i為虛數(shù)單位，則＋|z|等于(　　) A．－－i B．－＋i C.＋i D.－i 考點　復(fù)數(shù)加減法的運算法則 題點　復(fù)數(shù)加減法的運算法則 答案　D 解析　因為z＝－＋i， 所以＋|

5、z|＝－－i＋ ＝－i. 8．已知i是虛數(shù)單位，若z(i＋1)＝i，則|z|等于(　　) A．1 B. C. D. 考點　復(fù)數(shù)的模的定義與應(yīng)用 題點　利用定義求復(fù)數(shù)的模 答案　B 解析　∵z(i＋1)＝i，∴z＝＝＝(1＋i)， 則|z|＝. 9．已知復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝i2 016(其中i為虛數(shù)單位)，則的虛部為(　　) A. B．－ C.i D．－i 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　利用乘除法求復(fù)數(shù)中的未知數(shù) 答案　B 解析　∵i4＝1，∴i2 016＝(i4)504＝1， ∴z＝＝，則＝－i，∴的虛部為－. 10．已知關(guān)于復(fù)數(shù)z＝

6、的四個命題：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i，p4：z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限．其中的真命題為(　　) A．p2，p3 B．p1，p4 C．p2，p4 D．p3，p4 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　乘除法的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　z＝＝＝1－i， p1：|z|＝＝. p2：z2＝(1－i)2＝－2i. p3：z的共軛復(fù)數(shù)為1＋i，真命題． p4：z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為(1，－1)，位于第四象限，真命題．故選D. 11．已知復(fù)數(shù)z1＝2＋i，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x＝1上，且滿足1·z2是實數(shù)，則z2等于(　　)

7、 A．1－i B．1＋i C.＋i D.－i 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　乘除法的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　由z1＝2＋i，得1＝2－i， 由z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線x＝1上， 可設(shè)z2＝1＋bi(b∈R)， 則1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i. 又1·z2為實數(shù)，所以2b－1＝0，b＝. 所以z2＝1＋i. 12．如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　) A．1 B. C．2 D. 考點　復(fù)數(shù)幾何意義的綜合應(yīng)用 題點　利用幾何意義解決距離、角、面積 答案　A 解析　

8、設(shè)復(fù)數(shù)－2i,2i，－(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋2i|＋|z－2i|＝4，|Z1Z2|＝4，所以復(fù)數(shù)z的幾何意義為線段Z1Z2，如圖所示，問題轉(zhuǎn)化為：動點Z在線段Z1Z2上移動，求ZZ3的最小值． 因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，則Z3與Z0的距離即為所求的最小值，|Z0Z3|＝1.故選A. 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．已知i是虛數(shù)單位，若＝b＋i(a，b∈R)，則ab的值為________． 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 題點　與混合運算有關(guān)的方程問題 答案?。? 解析　∵＝b＋i，∴a＋3i＝(b＋i)i，

9、則a＋3i＝－1＋bi，可得∴ab＝－3. 14．已知復(fù)數(shù)z＝，i為虛數(shù)單位，是z的共軛復(fù)數(shù)，則z·＝________. 考點　共軛復(fù)數(shù)的定義與應(yīng)用 題點　與共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的綜合問題 答案　 解析　z＝－(－i)，|z|＝， ∴z·＝|z|2＝. 15．已知m，n∈R，若log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)為純虛數(shù)，復(fù)數(shù)z＝m＋ni的對應(yīng)點在直線x＋y－2＝0上，則|z|＝________. 考點　復(fù)數(shù)的幾何意義 題點　復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)關(guān)系 答案　2 解析　由純虛數(shù)的定義知 解得m＝4，所以z＝4＋ni. 因為z的對應(yīng)點在直線x＋y－2＝0上， 所以4＋

10、n－2＝0，所以n＝－2. 所以z＝4－2i， 所以|z|＝＝2. 16．下列說法中正確的是________．(填序號) ①若(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，其中x∈R，y∈?CR，則必有 ②2＋i>1＋i； ③虛軸上的點表示的數(shù)都是純虛數(shù)； ④若一個數(shù)是實數(shù)，則其虛部不存在； ⑤若z＝，則z3＋1對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的第一象限． 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　復(fù)數(shù)的概念及分類 答案?、? 解析　由y∈?CR，知y是虛數(shù)，則不成立，故①錯誤；兩個不全為實數(shù)的復(fù)數(shù)不能比較大小，故②錯誤；原點也在虛軸上，表示實數(shù)0，故③錯誤；實數(shù)的虛部為0，故④錯誤；⑤中z3＋1＝＋1＝i＋1，

11、對應(yīng)點在第一象限，故⑤正確． 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)設(shè)復(fù)數(shù)z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，當(dāng)m為何值時， (1)z是實數(shù)？(2)z是純虛數(shù)？ 考點　復(fù)數(shù)的概念 題點　由復(fù)數(shù)的分類求未知數(shù) 解　(1)要使復(fù)數(shù)z為實數(shù)，需滿足 解得m＝－2或－1. 即當(dāng)m＝－2或－1時，z是實數(shù)． (2)要使復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，需滿足 解得m＝3. 即當(dāng)m＝3時，z是純虛數(shù)． 18．(12分)已知復(fù)數(shù)z＝. (1)求z的共軛復(fù)數(shù)； (2)若az＋b＝1－i，求實數(shù)a，b的值． 考點　復(fù)數(shù)四則運算的綜合應(yīng)用 題點　與混合運算有關(guān)的方程問

12、題 解　(1)因為z＝＝＝1＋i， 所以＝1－i. (2)由題意得a(1＋i)＋b＝1－i， 即a＋b＋ai＝1－i. 解得a＝－1，b＝2. 19．(12分)已知復(fù)數(shù)z1滿足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范圍． 考點　轉(zhuǎn)化與化歸思想在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用 題點　轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用 解　因為z1＝＝2＋3i， z2＝a－2－i， 2＝a－2＋i， 所以|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)| ＝|4－a＋2i|＝， 又因為|z1|＝，|z1－2|<|z1|， 所以<， 所以a2－8a＋

13、7<0， 解得1

14、，求z2. 考點　復(fù)數(shù)的乘除法運算法則 題點　乘除法的綜合應(yīng)用 解　∵(z1－2)(1＋i)＝1－i， ∴z1－2＝＝＝＝－i， ∴z1＝2－i. 設(shè)z2＝a＋2i(a∈R)， 則z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i. 又∵z1·z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i. 22．(12分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝，z2的虛部是2. (1)求復(fù)數(shù)z； (2)設(shè)z，z2，z－z2在復(fù)平面上的對應(yīng)點分別為A，B，C，求△ABC的面積． 考點　復(fù)數(shù)的幾何意義的綜合應(yīng)用 題點　利用幾何意義解決距離、角、面積問題 解　(1)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi， 由題意得a2＋b2＝2且2ab＝2， 解得a＝b＝1或a＝b＝－1， 所以z＝1＋i或z＝－1－i. (2)當(dāng)z＝1＋i時，z2＝2i，z－z2＝1－i， 所以A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝1. 當(dāng)z＝－1－i時，z2＝2i，z－z2＝－1－3i， 所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)， 所以S△ABC＝1.綜上，△ABC的面積為1.