《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形學(xué)案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形學(xué)案（29頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、5.3正弦、余弦定理及解三角形考綱解讀考點考綱內(nèi)容要求浙江省五年高考統(tǒng)計201320142015201620171.正弦、余弦定理掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題.掌握16,4分18(1)(文),7分17,4分20(2),7分16(1),7分16(文),14分14,3分2.解三角形及其綜合應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.掌握7,5分18(2)(文),7分18(2),7分18(文),6分16,14分16(2)(文),7分16(2),7分11,4分14,3分分析解讀1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角
2、形面積公式解三角形.2.高考命題仍會以三角形為載體,以正弦定理和余弦定理為框架綜合考查三角知識.3.預(yù)計2019年高考中,仍會對解三角形進(jìn)行重點考查,復(fù)習(xí)時應(yīng)引起高度重視.五年高考考點一正弦、余弦定理 1.(2017課標(biāo)全國文,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,則C=()A.B.C.D.答案B2.(2017山東理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若ABC為銳角三角形,且滿足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是()A
3、.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A3.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,則AC=() A.1B.2C.3D.4答案A4.(2013浙江,16,4分)在ABC中,C=90,M是BC的中點.若sinBAM=,則sinBAC=.答案5.(2017課標(biāo)全國文,16,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=.答案606.(2016課標(biāo)全國,13,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=.答案7.(2015天津,13,5分)在ABC中
4、,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-,則a的值為.答案88.(2014課標(biāo),16,5分)已知a,b,c分別為ABC三個內(nèi)角A,B,C的對邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則ABC面積的最大值為.答案9.(2017山東文,17,12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.解析本題考查向量數(shù)量積的運算及解三角形.因為=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0A0).則a=ksin A,b=ks
5、in B,c=ksin C.代入+=中,有+=,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有cos A=.所以sin A=.由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B=4.教師用書專用(1127)11.(2013湖南,3,5分)在銳角ABC中,角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asin B=b
6、,則角A等于() A.B.C.D.答案D12.(2013陜西,7,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不確定答案B13.(2013遼寧,6,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且ab,則B=()A.B.C.D.答案A14.(2013天津,6,5分)在ABC中,ABC=,AB=,BC=3,則sinBAC=()A.B.C.D.答案C15.(2015福建,12,4分)若銳角ABC的面積為10,且AB
7、=5,AC=8,則BC等于.答案716.(2014江蘇,14,5分)若ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是.答案17.(2015重慶,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分線AD=,則AC=.答案18.(2015廣東,11,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=.答案119.(2014天津,12,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,則cos A的值為.答案-20.(2014廣東,12,5分)在ABC中,角A,B,C所對應(yīng)的邊
8、分別為a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,則=.答案221.(2014福建,12,4分)在ABC中,A=60,AC=4,BC=2,則ABC的面積等于.答案222.(2013安徽,12,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=.答案23.(2016江蘇,15,14分)在ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的長;(2)求cos的值.解析(1)因為cos B=,0B,所以sin B=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)
9、=-cos=-cos Bcos +sin Bsin,又cos B=,sin B=,故cos A=-+=-.因為0A,所以sin A=.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-+=.24.(2015課標(biāo),17,12分)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,ABD面積是ADC面積的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的長.解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因為SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因為SABDSADC=BDDC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD
10、2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.25.(2013山東,17,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在ABC中,sin B=,由正弦定理得sin A=.因為a=c,所以A為銳角
11、,所以cos A=.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.26.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=.(1)求cosCAD的值;(2)若cosBAD=-,sinCBA=,求BC的長.解析(1)在ADC中,由余弦定理,得cosCAD=.(2)設(shè)BAC=,則=BAD-CAD.因為cosCAD=,cosBAD=-,所以sinCAD=,sinBAD=.于是sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD=-=.在ABC中,由正弦定理,得=,故BC=3.27.(2013北京,15,13分
12、)在ABC中,a=3,b=2,B=2A.(1)求cos A的值;(2)求c的值.解析(1)因為a=3,b=2,B=2A,所以在ABC中,由正弦定理得=.所以=.故cos A=.(2)由(1)知cos A=,所以sin A=.又因為B=2A,所以cos B=2cos2A-1=.所以sin B=.在ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c=5.考點二解三角形及其綜合應(yīng)用1.(2014課標(biāo),4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=()A.5B.C.2D.1答案B2.(2017浙江,11,4分)我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”
13、可以估算圓周率,理論上能把的值計算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將的值精確到小數(shù)點后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=.答案 3.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則BDC的面積是,cosBDC=.答案;4.(2017課標(biāo)全國文,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60,b=,c=3,則A=.答案755.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,則=.答案16.(2016浙江,16,14分)在ABC中
14、,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)證明:A=2B;(2)若ABC的面積S=,求角A的大小.解析(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B,因sin B0,得sin C=cos B.
15、又B,C(0,),所以C=B.當(dāng)B+C=時,A=;當(dāng)C-B=時,A=.綜上,A=或A=.7.(2015浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若ABC的面積為3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos 2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C(0,)得sin C=,cos C=.又因為sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=
16、b,又因為A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.8.(2014浙江,18,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ab,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B.(1)求角C的大小;(2)若sin A=,求ABC的面積.解析(1)由題意得-=sin 2A-sin 2B,即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B,sin=sin.由ab,得AB,又A+B(0,),得2A-+2B-=,即A+B=,所以C=.(2)由c=,sin A=,=,得a=,由ac,得AC.從而cos A=,故sin B=sin(A+C)=sin
17、 Acos C+cos Asin C=,所以,ABC的面積為S=acsin B=.9.(2013浙江文,18,14分)在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asin B=b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面積.解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因為A是銳角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得ABC的面積為.10.(2017課標(biāo)全國理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為.(1)求sin Bsi
18、n C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求ABC的周長.解析本題考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式及其綜合應(yīng)用.(1)由題設(shè)得acsin B=,即csin B=.由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由題設(shè)得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周長為3+.11.(2017課標(biāo)全國理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sin(A+C
19、)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,ABC的面積為2,求b.解析本題考查了三角公式的運用和余弦定理的應(yīng)用.(1)由題設(shè)及A+B+C=得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故SABC=acsin B=ac.又SABC=2,則ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.12.(2017課標(biāo)全國理,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B
20、,C的對邊分別為a,b,c.已知sin A+cos A=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)設(shè)D為BC邊上一點,且ADAC,求ABD的面積.解析本題考查解三角形.(1)由已知可得tan A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由題設(shè)可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面積與ACD面積的比值為=1.又ABC的面積為42sinBAC=2,所以ABD的面積為.13.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求ABC的面積.解析本題考
21、查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式.(1)在ABC中,因為A=60,c=a,所以由正弦定理得sin C=.(2)因為a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面積S=bcsin A=83=6.14.(2016課標(biāo)全國,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面積為,求ABC的周長.解析(1)由已知及正弦定理得,2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分)
22、2cos Csin(A+B)=sin C.故2sin Ccos C=sin C.(4分)可得cos C=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absin C=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7.故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周長為5+.(12分)15.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B=.又因為0B,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cos A+cos C=cos A+cos
23、=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos.(11分)因為0A8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24答案A20.(2015課標(biāo),16,5分)在平面四邊形ABCD中,A=B=C=75,BC=2,則AB的取值范圍是.答案(-,+)21.(2014山東,12,5分)在ABC中,已知=tan A,當(dāng)A=時,ABC的面積為.答案22.(2013福建,13,4分)如圖,在ABC中,已知點D在BC邊上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3,則BD的長為.答案23.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ta
24、n=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面積.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以=.(2)由tan A=,A(0,),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.設(shè)ABC的面積為S,則S=absin C=9.24.(2017江蘇,18,16分)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形玻璃容器的高均為32 cm,容器的底面對角線AC的長為10 cm,容器的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14 cm和62 cm.分別在容器和容器中注入水,水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為4
25、0 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計)(1)將l放在容器中,l的一端置于點A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度;(2)將l放在容器中,l的一端置于點E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.解析本小題主要考查正棱柱、正棱臺的概念,考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識,考查空間想象能力和運用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.(1)由正棱柱的定義,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.記玻璃棒的另一端落在CC1上點M處.因為AC=10,AM=40,所以MC=30,從而sinMAC=.記AM與水面的交點為P1,過P1作P1Q1AC,
26、Q1為垂足,則P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1=16.答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為16 cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24 cm)(2)如圖,O,O1是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處.過G作GKE1G1,K為垂足,則GK=OO1=32.因為EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,從而GG1=40.設(shè)EGG1=,ENG=,則sin =sin=cosKGG1=.因為,所以co
27、s =-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin =.因為00,所以A.于是sin A+sin C=sin A+sin=sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1=-2+.因為0A,所以0sin A,因此-2+.由此可知sin A+sin C的取值范圍是.26.(2015陜西,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,b)與n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面積.解析(1)因為mn,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B0,從而
28、tan A=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面積為bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,從而sin B=,又由ab,知AB,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以ABC的面積為absin C=.27.(2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.(1)證明:tan=;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.解析(1)證明:tan=.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tan+tan+tan+t
29、an=+=+.連接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C,所以AB2+AD2-2ABADcos A=BC2+CD2+2BCCDcos A.則cos A=.于是sin A=.連接AC.同理可得cos B=,于是sin B=.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.28.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長.解析設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236c
30、os=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sin B=,由題設(shè)知0B,所以cos B=.在ABD中,由正弦定理得AD=.29.(2014北京,15,13分)如圖,在ABC中,B=,AB=8,點D在BC邊上,且CD=2,cosADC=.(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長.解析(1)在ADC中,因為cosADC=,所以sinADC=.所以sinBAD=sin(ADC-B)=sinADCcos B-cosADCsin B=-=.(2)在ABD中,由正弦定理得BD=3.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=82+52-285=49.所以AC
31、=7.30.(2014安徽,16,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因為A=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b.因為b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-.由于0A,所以sin A=.故sin=sin Acos+cos Asin=+=.31.(2014大綱全國,17,10分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由題設(shè)和正弦定理得3sin Aco
32、s C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因為tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.(6分)所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=(8分)=-1,即B=135.(10分)32.(2013江蘇,18,16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運行的速度為
33、130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=,cos C=.(1)求索道AB的長;(2)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?解析(1)在ABC中,因為cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.從而sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=+=.由=,得AB=sin C=1 040(m).所以索道AB的長為1 040 m.(2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d m,此時,甲行走了(100+50t)m,乙距
34、離A處130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t)=200(37t2-70t+50),因0t,即0t8,故當(dāng)t=(min)時,甲、乙兩游客距離最短.(3)由=,得BC=sin A=500(m).乙從B出發(fā)時,甲已走了50(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3-3,解得v,所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi).33.(2013江西,16,12分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知cos C+(co
35、s A-sin A)cos B=0.(1)求角B的大小;(2)若a+c=1,求b的取值范圍.解析(1)由已知得-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0,即有sin Asin B-sin Acos B=0,因為sin A0,所以sin B-cos B=0,又cos B0,所以tan B=,又0B,所以B=.(2)因為a+c=1,cos B=,有b2=3+.又0a1,于是有b21,即有b1.34.(2013湖北,17,12分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面積S=5,b=5,
36、求sin Bsin C的值.解析(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).因為0A,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc=bc=5,得bc=20.又b=5,知c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=.又由正弦定理得sin Bsin C=sin Asin A=sin2A=.35.(2013課標(biāo)全國,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b
37、=2,求ABC面積的最大值.解析(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.又A=-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.由,和C(0,)得sin B=cos B.又B(0,),所以B=.(2)ABC的面積S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos.又a2+c22ac,故ac,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時,等號成立.因此ABC面積的最大值為+1.三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點一正弦、余弦定理 1.(2017浙江臺州4月調(diào)研(一模),6)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a
38、,b,c,已知a=1,2b-c=2acos C,sin C=,則ABC的面積為()A. B.C.或 D.或答案C2.(2017浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷五,4)在ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,若a,b,c成等差數(shù)列,B=30,ABC 的面積為,則b=()A.B.1+C.D.2+答案B3.(2018浙江高考模擬卷,16)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,BC邊上的高為,則的最大值為.答案+14.(2017浙江稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考4月,13)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知csin A=acos C,則C=;若c=,ABC的面積為,則a+b=.答案;7
39、5.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,18)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ctan C=(acos B+bcos A).(1)求角C;(2)若c=2,求ABC面積的最大值.解析(1)ctan C=(acos B+bcos A),sin Ctan C=(sin Acos B+sin Bcos A),(2分)sin Ctan C=sin(A+B)=sin C.(4分)0C,sin C0,(5分)tan C=,C=60.(7分)(2)c=2,C=60,c2=a2+b2-2abcos C,12=a2+b2-ab2ab-ab,(10分)ab12,SABC=absin C3,(12分)當(dāng)且
40、僅當(dāng)a=b=2時,ABC的面積取到最大值3.(14分)考點二解三角形及其綜合應(yīng)用6.(2018浙江蕭山九中12月月考,16)設(shè)a,b,c分別為ABC三內(nèi)角A,B,C的對邊,面積S=c2,若ab=,則a2+b2+c2的最大值為.答案47.(2018浙江重點中學(xué)12月聯(lián)考,18)ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知2bcos C=2a-c.(1)求B的大小;(2)若+=2,且|=1,求ABC面積的最大值.解析(1)2bcos C=2a-c,2sin Bcos C=2sin A-sin C,(1分)2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,(2分)2sin Ccos B
41、=sin C,(4分)cos B=,(5分)0B0),則tanBAC=2t,所以tanMAC=,當(dāng)且僅當(dāng)t=時取等號,所以tanMAC的最大值為.(14分)B組20162018年模擬提升題組一、選擇題 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,10)若ABC沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個三棱錐,則稱這樣的ABC為“和諧三角形”,設(shè)ABC的三個內(nèi)角分別為A,B,C,則由下列條件不能夠確定ABC為“和諧三角形”的是()A.ABC=72025B.sin Asin Bsin C=72025C.cos Acos Bcos C=72025D.tan Atan Btan C=72025答案B2.(2016浙江寧波
42、二模,7)已知ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對的邊,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+=tan Atan B,則ABC的面積為() A.B.3C.D.3答案C二、填空題3.(2018浙江重點中學(xué)12月聯(lián)考,14)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S為ABC的面積,若c=2acos B,S=a2-c2,則ABC的形狀為,C的大小為.答案等腰三角形;454.(2018浙江杭州地區(qū)重點中學(xué)第一學(xué)期期中,15)等腰三角形ABC中,AB=AC,D為AC的中點,BD=1,則ABC面積的最大值為.答案5.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(3月),14)在ABC中,內(nèi)角A,B,
43、C所對的邊分別為a,b,c,已知A=,b=,ABC的面積為,則c=,B=.答案1+;6.(2017浙江杭州二模(4月),16)設(shè)a,b,c分別為ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊,且SABC=c2.若ab=,則a2+b2+c2的最大值是.答案4三、解答題7.(2018浙江杭州二中期中,18)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知tan C=.(1)求角C的大小;(2)若ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍.解析(1)tan C=,即=,sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C,即sin Ccos A-sin Acos C=sin
44、Bcos C-sin Ccos B,即sin(C-A)=sin(B-C),C-A=B-C或C-A=-(B-C)(舍去),2C=A+B,C=.(2)由(1)知C=,故設(shè)A=+,B=-+,其中-,a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B.故a2+b2=sin2A+sin2B=(1-cos 2A)+(1-cos 2B)=1+cos 2.-,-2,-cos 21,a2+b2.8.(2017浙江名校(諸暨中學(xué))交流卷四,18)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,已知(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0.(1)求ABC的內(nèi)角C的值;(2)若c
45、=2,2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,求ABC的面積.解析(1)由(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0,可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0,整理得a2-c2+b2=ab.由余弦定理可得,cos C=.又C(0,),所以C=.(2)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C可得,4sin Acos A+sin(B+-A)=sin(B+A).整理得,4sin Acos A=sin(B+A)+sin(B-A)=2sin Bcos A.當(dāng)cos A=0,即A=時,b=,所以ABC的面積為bc=.當(dāng)cos A0時,sin B=2sin A.由正弦定
46、理可得b=2a,又a2+b2-ab=4,解得a=,b=,所以SABC=absin C=.綜上所述,ABC的面積為.C組20162018年模擬方法題組方法1利用正、余弦定理解三角形 1.(2017浙江衢州質(zhì)量檢測(1月),17)已知ABC的面積為1,A的平分線交對邊BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,kR,則當(dāng)k=時,邊BC的長度最短.答案方法2利用正、余弦定理解決實際問題2.如圖,一棟建筑物AB的高為(30-10)m,在該建筑物的正東方向有一個通信塔CD.在它們之間的地面點M(B,M,D三點共線)處測得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15和60,在樓頂A處測得塔頂C的仰角為30,則通信塔CD的高
47、為m.答案603.某觀察站C在A城的南偏西20方向上,由A城出發(fā)有一條公路,走向是南偏東40,距C處31千米的公路上的B處有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到達(dá)D處,此時C、D的距離為21千米,問此人還需走多少千米才能到達(dá)A城?解析設(shè)AD=x千米,AC=y千米,BAC=20+40=60,在ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos 60=212,即x2+y2-xy=441.而在ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2(x+20)ycos 60=312,即x2+y2-xy+40x-20y=561.-得y=2x-6,代入得x2-6x-135=0,解得x=15或x=-9(舍去),故此人還需走15千米才能到達(dá)A城.29
（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形學(xué)案
