(江蘇專用)2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第45講 空間點、線、面之間的位置關(guān)系學(xué)案

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1、 第45講 空間點、線、面之間的位置關(guān)系 考試要求 1.平面的基本性質(zhì)及其簡單應(yīng)用(證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題)(A級要求);2.空間點、線、面的位置關(guān)系(A級要求). 診 斷 自 測 1.下列命題中正確的個數(shù)為________. ①梯形可以確定一個平面; ②若兩條直線和第三條直線所成的角相等,則這兩條直線平行; ③兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面; ④如果兩個平面有三個公共點,則這兩個平面重合. 解析?、谥袃芍本€可以平行、相交或異面,④中若三個點在同一條直線上,則兩個平面相交,①③正確. 答案 2 2.(必修2P23練習(xí)2改編)用集合符號表示“點P在

2、直線l外,直線l在平面α內(nèi)”為________. 解析 考查點、線、面之間的符號表示. 答案 P?l,l?α 3.(必修2P31習(xí)題5改編)下列說法中正確的是________(填序號). ①兩兩相交的三條直線共面; ②四條線段首尾相接,所得的圖形是平面圖形; ③平行四邊形的四邊所在的四條直線共面; ④若AB,CD是兩條異面直線,則直線AC,BD不一定異面. 解析 當(dāng)三條直線交于一點時有可能不共面;四條線段首 尾相接,所得的圖形可以構(gòu)成空間四邊形;若AB,CD是兩條異面直線,則直線AC,BD一定異面,可反證. 答案 ③ 4.(教材改編)如圖所示,已知在長方體ABCD-EFG

3、H中,AB=2,AD=2,AE=2,則BC和EG所成角的大小是________,AE和BG所成角的大小是________. 解析 ∵BC與EG所成的角等于EG與FG所成的角即∠EGF,tan∠EGF===1,∴∠EGF=45°, ∵AE與BG所成的角等于BF與BG所成的角即∠GBF,tan∠GBF===,∴∠GBF=60°. 答案 45° 60° 5.如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖,G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點,在這個正四面體中, ①GH與EF平行; ②BD與MN為異面直線; ③GH與MN成60°角; ④DE與MN垂直. 以上四個命

4、題中正確命題的序號是________. 解析 把正四面體的平面展開圖還原,如圖所示,GH與EF為異面直線,BD與MN為異面直線,GH與MN成60°角,DE⊥MN. 答案?、冖邰? 知 識 梳 理 1.四個公理 公理1:如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點都在這個平面內(nèi). 公理2:如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線. 公理3:經(jīng)過不在同一條直線上的三點,有且只有一個平面. 公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行. 2.直線與直線的位置關(guān)系 (1)位置關(guān)系的分類 (2)異面直線所成的角 ①定

5、義:設(shè)a,b是兩條異面直線,經(jīng)過空間任意一點O,作直線a′∥a,b′∥b,把直線a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a,b所成的角. ②范圍:. 3.直線與平面的位置關(guān)系有直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行三種情況. 4.平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況. 5.等角定理 如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同,那么這兩個角相等. 考點一 平面基本性質(zhì)的應(yīng)用 【例1】 (1)(2016·山東卷)已知直線a,b分別在兩個不同的平面α,β內(nèi),則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的________條件. (2)已知空間四邊形ABCD

6、(如圖所示),E、F分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上的點,且CG=BC,CH=DC.求證: ①E、F、G、H四點共面; ②三直線FH、EG、AC共點. (1)解析 若直線a和直線b相交,則平面α和平面β相交;若平面α和平面β相交,那么直線a和直線b可能平行或異面或相交. 答案 充分不必要 (2)證明?、龠B接EF,GH,如圖所示, ∵E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點, ∴EF∥BD. 又∵CG=BC,CH=DC, ∴GH∥BD,∴EF∥GH, ∴E、F、G、H四點共面. ②易知FH與直線AC不平行,但共面, ∴設(shè)FH∩AC=M,∴M∈平面EFHG,M∈

7、平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC=EG, ∴M∈EG,∴FH、EG、AC共點. 規(guī)律方法 共面、共線、共點問題的證明 (1)證明點或線共面問題的兩種方法:①首先由所給條件中的部分線(或點)確定一個平面,然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi);②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合. (2)證明點共線問題的兩種方法:①先由兩點確定一條直線,再證其他各點都在這條直線上;②直接證明這些點都在同一條特定直線上. (3)證明線共點問題的常用方法是:先證其中兩條直線交于一點,再證其他直線經(jīng)過該點. 【訓(xùn)練1】 如圖,平面ABEF⊥平面ABCD,四邊形ABEF與四邊形

8、ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD且BC=AD,BE∥AF且BE=AF,G、H分別為FA、FD的中點. (1)證明:四邊形BCHG是平行四邊形; (2)C、D、F、E四點是否共面?為什么? (1)證明 由已知FG=GA,F(xiàn)H=HD, 可得GH綊AD.又BC綊AD,∴GH綊BC. ∴四邊形BCHG為平行四邊形. (2)解 ∵BE綊AF,G是FA的中點,∴BE綊FG, ∴四邊形BEFG為平行四邊形,∴EF∥BG. 由(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF與CH共面. 又D∈FH,∴C、D、F、E四點共面. 考點二 判斷空間兩直線的位置關(guān)系 【例

9、2】 (1)(2015·廣東改編)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是________(填序號). ①l與l1,l2都不相交; ②l與l1,l2都相交; ③l至多與l1,l2中的一條相交; ④l至少與l1,l2中的一條相交. (2)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是BC1,CD1的中點,則下列判斷錯誤的是________(填序號). ①MN與CC1垂直; ②MN與AC垂直; ③MN與BD平行; ④MN與A1B1平行. (3)在圖中,G、N、M、H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直

10、棱柱)的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________(填上所有正確答案的序號). 解析 (1)若l與l1,l2都不相交,則l∥l1,l∥l2,∴l(xiāng)1∥l2,這與l1和l2異面矛盾,∴l(xiāng)至少與l1,l2中的一條相交. (2)連接B1C,B1D1,如圖所示,則點M是B1C的中點,MN是△B1CD1的中位線,∴MN∥B1D1,又BD∥B1D1, ∴MN∥BD. ∵CC1⊥B1D1,AC⊥B1D1, ∴MN⊥CC1,MN⊥AC. 又∵A1B1與B1D1相交, ∴MN與A1B1不平行. (3)圖①中,直線GH∥MN; 圖②中,G、H、N三點共面,但

11、M?平面GHN,N?GH, 因此直線GH與MN異面; 圖③中,連接MG,GM∥HN,因此GH與MN共面; 圖④中,G、M、N共面,但H?平面GMN,G?MN, 因此GH與MN異面. 所以圖②④中GH與MN異面. 答案 (1)④ (2)④ (3)②④ 規(guī)律方法 空間中兩直線位置關(guān)系的判定,主要是異面、平行和垂直的判定.對于異面直線,可采用直接法或反證法;對于平行直線,可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理;對于垂直關(guān)系,往往利用線面垂直的性質(zhì)來解決. 【訓(xùn)練2】 (1)已知a,b,c為三條不重合的直線,有下列結(jié)論: ①若a⊥b,a⊥c,則b∥c;

12、②若a⊥b,a⊥c,則b⊥c;③若a∥b,b⊥c,則a⊥c.其中正確的個數(shù)為________. (2)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點M∈AB1,N∈BC1,且AM=BN≠,有以下四個結(jié)論: ①AA1⊥MN;②A1C1∥MN; ③MN∥平面A1B1C1D1;④MN與A1C1是異面直線. 其中正確結(jié)論的序號是________(注:把你認為正確結(jié)論的序號都填上). 解析 (1)在空間中,若a⊥b,a⊥c,則b,c可能平行,也可能相交,還可能異面,所以①②錯,③顯然成立. (2)過N作NP⊥BB1于點P,連接MP,可證AA1⊥平面MNP,∴AA1⊥MN,①正確,過

13、M、N分別作MR⊥A1B1、NS⊥B1C1于點R,S,則當(dāng)M不是AB1的中點、N不是BC1的中點時,直線A1C1與直線RS相交;當(dāng)M、N分別是AB1、BC1的中點時,A1C1∥RS,∴A1C1與MN可以異面,也可以平行,故②④錯誤.由①正確知,AA1⊥平面MNP,而AA1⊥平面A1B1C1D1,∴平面MNP∥平面A1B1C1D1,故③正確.綜上所述,其中正確的序號是①③. 答案 (1)1 (2)①③ 考點三 求兩條異面直線所成的角 【例3】 (2018·南京模擬)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,則異面直線AP與BD所成的角為________. 解析

14、 如圖,將原圖補成正方體ABCD-QGHP,連接GP,則GP∥BD, 所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角, 在△AGP中,AG=GP=AP,所以∠APG=. 答案  規(guī)律方法 用平移法求異面直線所成的角的三步法 (1)一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角; (2)二證:證明作出的角是異面直線所成的角; (3)三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補角才是要求的角. 【訓(xùn)練3】 (2018·鹽城模擬)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點,則異面直線CE與BD所成角的余弦值為________. 解析

15、 畫出正四面體ABCD的直觀圖,如圖所示. 設(shè)其棱長為2,取AD的中點F,連接EF, 設(shè)EF的中點為O,連接CO, 則EF∥BD, 則∠FEC就是異面直線CE與BD所成的角. △ABC為等邊三角形,則CE⊥AB, 易得CE=,同理可得CF=, 故CE=CF. 因為OE=OF,所以CO⊥EF. 又EO=EF=BD=, 所以cos∠FEC===. 答案  一、必做題 1.設(shè)a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,a?α,b⊥β,則“α∥β”是“a⊥b”的________條件. 解析 若a?α,b⊥β,α∥β,則由α∥β,b⊥β?b⊥α, 又a?α,所以

16、a⊥b;若a⊥b,a?α,b⊥β, 則b⊥α或b∥α或b?α,此時α∥β或α與β相交, 所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要條件. 答案 充分不必要 2.(2018·南京、鹽城一模)現(xiàn)有如下命題: ①過平面外一點有且只有一條直線與該平面垂直; ②過平面外一點有且只有一條直線與該平面平行; ③如果兩個平行平面和第三個平面相交,那么所得的兩條交線平行; ④如果兩個平面相互垂直,那么經(jīng)過第一個平面內(nèi)一點且垂直于第二個平面的直線必在第一個平面內(nèi). 其中正確的命題是________(填序號). 解析 過平面外一點有無數(shù)條直線與該平面平行,故②錯. 答案 ①③④ 3.(2018·

17、鎮(zhèn)江模擬)設(shè)b,c表示兩條直線,α,β表示兩個平面,現(xiàn)給出下列命題: ①若b?α,c∥α,則b∥c; ②若b?α,b∥c,則c∥α; ③若c∥α,α⊥β,則c⊥β; ④若c∥α,c⊥β,則α⊥β. 其中正確的命題是________(填序號). 解析 ①中直線b,c平行或異面,則①錯誤;②中c∥α或c?α,則②錯誤;③中c,β的位置關(guān)系可能平行、相交或者直線在平面內(nèi),則③錯誤;由線面平行的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)、面面垂直的判定定理可知④正確,故正確命題是④. 答案?、? 4.(2018·常州模擬)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,既與AB共面又與CC1共面的棱有_______

18、_條. 解析 如圖,有5條.其為BC,AA1,CD,C1D1,BB1. 答案 5 5.在四面體ABCD的棱AB,BC,CD,DA上分別取E,F(xiàn),G,H四點,如果EF與HG交于點M,則下列命題正確的有________(填序號). ①M一定在直線AC上; ②M一定在直線BD上; ③M可能在AC上,也可能在BD上; ④M既不在AC上,也不在BD上. 解析 由于EF∩HG=M,且EF?平面ABC, HG?平面ACD,所以點M為平面ABC與平面ACD的一個公共點,而這兩個平面的交線為AC, 所以點M一定在直線AC上,故①正確. 答案?、? 6.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C

19、1中,底面為直角三角形.∠ACB=90°,AC=6,BC=CC1=,P是BC1上一動點,則CP+PA1的最小值為________. 解析 連接A1B,將△A1BC1與△CBC1同時展開形成一個平面四邊形A1BCC1,則此時對角線CP+PA1=A1C達到最小,在等腰直角三角形△BCC1中,BC1=2, ∠CC1B=45°,在△A1BC1中,A1B==2,A1C1=6,BC1=2,∴A1C+BC=A1B2,即∠A1C1B=90°.對于展開形成的四邊形A1BCC1,在△A1C1C中,C1C=,A1C1=6,∠A1C1C=135°,由余弦定理有CP+PA1=A1C===5. 答案 5 7.

20、(2017·全國Ⅲ卷)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論: ①當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成30°角; ②當(dāng)直線AB與a成60°角時,AB與b成60°角; ③直線AB與a所成角的最小值為45°; ④直線AB與a所成角的最小值為60°; 其中正確的是________(填寫所有正確結(jié)論的編號). 解析 由題意,AB是以AC為軸,BC為底面半徑的圓錐的母線,由AC⊥a,AC⊥b,又AC⊥圓錐底面,在底面內(nèi)可以過點B,作BD∥a,交底面圓C于點D,如圖所示,連接DE,則DE⊥BD,∴D

21、E∥b,連接AD,設(shè)BC=1,等腰△ABD中 ,AB=AD=,當(dāng)直線AB與a成60°角時,∠ABD=60°,故BD=,又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=, 過點B作BF∥DE,交圓C于點F,連接AF,EF,由圓的對稱性可知BF=DE=, ∴△ABF為等邊三角形,∴∠ABF=60°,即AB與b成60°角,②正確,①錯誤,由最小角定理可知③正確;很明顯,可以滿足平面ABC⊥直線a,直線AB與a所成的最大角為90°,④錯誤,正確的說法為②③. 答案?、冖? 8.(2015·浙江卷)如圖,三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M,N分別是AD,BC的中點,則異面直

22、線AN,CM所成的角的余弦值是________. 解析 如圖所示,連接DN,取線段DN的中點K,連接MK,CK. ∵M為AD的中點,∴MK∥AN, ∴∠KMC為異面直線AN,CM所成的角. ∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,N為BC的中點,由勾股定理求得AN=DN=CM=2, ∴MK=. 在Rt△CKN中,CK==. 在△CKM中,由余弦定理得 cos∠KMC= ==. 答案  9.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為正方形ABCD的中心,H為直線B1D與平面ACD1的交點.求證:D1、H、O三點共線. 證明 連接BD,B1D1,如圖

23、. 則BD∩AC=O, ∵BB1綊DD1, ∴四邊形BB1D1D為平行四邊形,又H∈B1D, B1D?平面BB1D1D, 則H∈平面BB1D1D, ∵平面ACD1∩平面BB1D1D=OD1,H∈平面ACD1,∴H∈OD1. 即D1、H、O三點共線. 10.如圖所示,等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=,DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E為DA的中點.求異面直線BE與CD所成角的余弦值. 解 如圖所示,取AC的中點F,連接EF,BF, 在△ACD中,E,F(xiàn)分別是AD,AC的中點, ∴EF∥CD. ∴∠BEF或其補角即為異面直線BE與CD所成的角.

24、 在Rt△EAB中,AB=AC=1,AE=AD=, ∴BE=. 在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=, ∴EF=. 在Rt△BAF中,AB=1,AF=,∴BF=. 在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===. ∴異面直線BE與CD所成角的余弦值為. 二、選做題 11.(2018·泰州質(zhì)檢)如圖,矩形ABCD中,AB=2AD,E為邊AB的中點,將△ADE沿直線DE翻折成△A1DE.若M為線段A1C的中點,則在△ADE翻折過程中,下面四個命題中不正確的是________(填序號). ①BM是定值; ②點M在某個球面上運動; ③存在某個位置,使DE⊥A1C; ④存在某

25、個位置,使MB∥平面A1DE. 解析 取DC中點F,連接MF,BF,MF∥A1D且MF=A1D,F(xiàn)B∥ED且FB=ED,所以∠MFB=∠A1DE.由余弦定理可得MB2=MF2+FB2-2MF·FB·cos∠MFB是定值,所以M是在以B為球心,MB為半徑的球上,可得①②正確;由MF∥A1D與FB∥ED,可得平面MBF∥平面A1DE,此時MB∥平面A1DE可得,④正確;A1C在平面ABCD中的投影與AC重合,AC與DE不垂直,可得③不正確. 答案?、? 12.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為D1C1,C1B1的中點,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求證: (1)D

26、、B、F、E四點共面; (2)若A1C交平面DBFE于R點,則P,Q,R三點共線. 證明 (1)如圖所示,因為EF是△D1B1C1的中位線, 所以EF∥B1D1. 在正方體ABCD-A1B1C1D1中,B1D1∥BD, 所以EF∥BD. 所以EF,BD確定一個平面. 即D、B、F、E四點共面. (2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中, 設(shè)平面A1ACC1確定的平面為α, 又設(shè)平面BDEF為β. 因為Q∈A1C1,所以Q∈α. 又Q∈EF,EF?β,所以Q∈β. 則Q是α與β的公共點, 同理,P點也是α與β的公共點. 所以α∩β=PQ. 又A1C∩β=R, 所以R∈A1C,則R∈α且R∈β. 則R∈PQ,故P,Q,R三點共線. 14

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