2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時(shí) 組合與組合數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3

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1、2022-2023版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.2 第1課時(shí) 組合與組合數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解組合的定義,正確認(rèn)識(shí)組合與排列的區(qū)別與聯(lián)系.2.理解排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系,掌握組合數(shù)公式,能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算.3.會(huì)解決一些簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一 組合的定義 思考?、?gòu)?,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相除; ②從3,5,7,11中任取兩個(gè)數(shù)相乘. 以上兩個(gè)問(wèn)題中哪個(gè)是排列?①與②有何不同特點(diǎn)? 答案 ①是排列,①中選取的兩個(gè)數(shù)是有序的,②中選取的兩個(gè)數(shù)無(wú)需排列. 梳理 一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素

2、合成一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合. 知識(shí)點(diǎn)二 組合數(shù)與組合數(shù)公式 組合數(shù)及組合數(shù)公式 組合數(shù)定義及表示 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)C表示. 組合數(shù)公式 乘積形式 C= 階乘形式 C= 性質(zhì) C=C C=C+C 備注 規(guī)定C=1 1.從a1,a2,a3三個(gè)不同元素中任取兩個(gè)元素組成一個(gè)組合是C.( × ) 2.從1,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)相乘可得C個(gè)積.( √ ) 3.C=5×4×3=60.( × ) 4.C=C=2 017.( √ ) 類型一 

3、組合概念的理解 例1 給出下列問(wèn)題: (1)a,b,c,d四支足球隊(duì)之間進(jìn)行單循環(huán)比賽,共需比賽多少場(chǎng)? (2)a,b,c,d四支足球隊(duì)爭(zhēng)奪冠、亞軍,有多少種不同的結(jié)果? (3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù),有多少種不同的選法? (4)從全班40人中選出3人參加某項(xiàng)活動(dòng),有多少種不同的選法? 在上述問(wèn)題中,哪些是組合問(wèn)題,哪些是排列問(wèn)題? 考點(diǎn) 組合的概念 題點(diǎn) 組合的判斷 解 (1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊(duì)之間只打一場(chǎng)比賽,沒(méi)有順序,是組合問(wèn)題. (2)冠、亞軍是有順序的,是排列問(wèn)題. (3)3人分別擔(dān)任三個(gè)不同職務(wù),有順序,是排列問(wèn)題.

4、 (4)3人參加某項(xiàng)相同活動(dòng),沒(méi)有順序,是組合問(wèn)題. 反思與感悟 區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么,區(qū)分的標(biāo)志是有無(wú)順序,而區(qū)分有無(wú)順序的方法是:把問(wèn)題的一個(gè)選擇結(jié)果寫(xiě)出來(lái),然后交換這個(gè)結(jié)果中任意兩個(gè)元素的位置,看是否產(chǎn)生新的變化,若有新變化,即說(shuō)明有順序,是排列問(wèn)題;若無(wú)新變化,即說(shuō)明無(wú)順序,是組合問(wèn)題. 跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,并求出相應(yīng)的結(jié)果. (1)集合{0,1,2,3,4}的含三個(gè)元素的子集的個(gè)數(shù)是多少? (2)某小組有9位同學(xué),從中選出正、副班長(zhǎng)各一個(gè),有多少種不同的選法?若從中選出2名代表參加一個(gè)會(huì)議,有多少種不同的選法? 考點(diǎn) 組合的

5、概念 題點(diǎn) 組合的判斷 解 (1)由于集合中的元素是不講次序的,一個(gè)含三個(gè)元素的集合就是一個(gè)從0,1,2,3,4中取出3個(gè)數(shù)組成的集合.這是一個(gè)組合問(wèn)題,組合的個(gè)數(shù)是C=10. (2)選正、副班長(zhǎng)時(shí)要考慮次序,所以是排列問(wèn)題,排列數(shù)是A=9×8=72,所以選正、副班長(zhǎng)共有72種選法;選代表參加會(huì)議是不用考慮次序的,所以是組合問(wèn)題,所以不同的選法有C=36(種). 類型二 組合數(shù)公式及性質(zhì)的應(yīng)用 例2 (1)計(jì)算C-C·A; 考點(diǎn) 組合數(shù)公式 題點(diǎn) 利用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算 (1)解 原式=C-A=-7×6×5=210-210=0. (2)求證:C=C. 考點(diǎn) 組合

6、數(shù)公式 題點(diǎn) 組合數(shù)公式的應(yīng)用 (2)證明 因?yàn)橛疫叄紺=·==C, 左邊=C,所以左邊=右邊,所以原式成立. 反思與感悟 (1)涉及具體數(shù)字的可以直接用公式C==計(jì)算. (2)涉及字母的可以用階乘式C=計(jì)算. (3)計(jì)算時(shí)應(yīng)注意利用組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì): ①C=C;②C=C+C. 跟蹤訓(xùn)練2 (1)計(jì)算C+C+C+…+C的值為(  ) A.C B.C C.C-1 D.C-1 (2)計(jì)算C+C=________. 考點(diǎn) 組合數(shù)性質(zhì) 題點(diǎn) 的性質(zhì)計(jì)算與證明 答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C+C+C+…+C =C+C+C+C+…+C-C =C+

7、C+…+C-1=… =C+C-1=C-1. (2)C+C=C+C =+200=5 150. 例3 (1)已知-=,求C+C; (2)解不等式C>C. 考點(diǎn) 組合數(shù)性質(zhì) 題點(diǎn) 含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題 解 (1)∵-=, ∴-=, 即- =. ∴1-=, 即m2-23m+42=0,解得m=2或21. ∵0≤m≤5,∴m=2, ∴C+C=C+C=C=84. (2)由C>C,得 即解得 又n∈N*,∴該不等式的解集為{6,7,8,9}. 反思與感悟 (1)解題過(guò)程中應(yīng)避免忽略根的檢驗(yàn)而產(chǎn)生增根的錯(cuò)誤,注意不要忽略n∈N*. (2)與排列組合有關(guān)的方程

8、或不等式問(wèn)題要用到排列數(shù)、組合數(shù)公式,以及組合數(shù)的性質(zhì),求解時(shí),要注意由C中的m∈N*,n∈N*,且n≥m確定m,n的范圍,因此求解后要驗(yàn)證所得結(jié)果是否適合題意. 跟蹤訓(xùn)練3 解方程3C=5A. 考點(diǎn) 組合數(shù)性質(zhì) 題點(diǎn) 含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題 解 原式可變形為3C=5A, 即 =5(x-4)(x-5), 所以(x-3)(x-6)=5×4×2=8×5. 所以x=11或x=-2(舍去). 經(jīng)檢驗(yàn)符合題意,所以方程的解為x=11. 類型三 簡(jiǎn)單的組合問(wèn)題 例4 有10名教師,其中6名男教師,4名女教師. (1)現(xiàn)要從中選2名去參加會(huì)議,有________種不同的選法;

9、 (2)選出2名男教師或2名女教師參加會(huì)議,有________種不同的選法; (3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會(huì)議,有________種不同的選法. 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 無(wú)限制條件的組合問(wèn)題 答案 (1)45 (2)21 (3)90 解析 (1)從10名教師中選2名去參加會(huì)議的選法種數(shù),就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù),即C==45(種). (2)可把問(wèn)題分兩類情況: 第1類,選出的2名是男教師有C種方法; 第2類,選出的2名是女教師有C種方法. 根據(jù)分類加法計(jì)算原理,共有C+C=15+6=21(種)不同選法. (3)從6名男教師中選2名的選法有C種

10、,從4名女教師中選2名的選法有C種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有不同的選法C×C=×=90(種). 反思與感悟 (1)解簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題時(shí),首先要判斷它是不是組合問(wèn)題,組合問(wèn)題與排列問(wèn)題的根本區(qū)別在于排列問(wèn)題與取出元素之間的順序有關(guān),而組合問(wèn)題與取出元素的順序無(wú)關(guān). (2)要注意兩個(gè)基本原理的運(yùn)用,即分類與分步的靈活運(yùn)用. 在分類和分步時(shí),一定注意有無(wú)重復(fù)或遺漏. 跟蹤訓(xùn)練4 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球. (1)從口袋內(nèi)取出的3個(gè)小球,共有多少種取法? (2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中含有1個(gè)黑球,有多少種取法? (3)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球,使其中不含黑球,有多少種取

11、法? 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 有限制條件的組合問(wèn)題 解 (1)從口袋內(nèi)的8個(gè)球中取出3個(gè)球, 取法種數(shù)是C==56. (2)從口袋內(nèi)取出3個(gè)球有1個(gè)是黑球,于是還要從7個(gè)白球中再取出2個(gè),取法種數(shù)是C==21. (3)由于所取出的3個(gè)球中不含黑球,也就是要從7個(gè)白球中取出3個(gè)球,取法種數(shù)是C==35. 1.給出下列問(wèn)題: ①?gòu)募?、乙、?名同學(xué)中選出2名分別去參加2個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)的社會(huì)調(diào)查,有多少種不同的選法? ②有4張電影票,要在7人中選出4人去觀看,有多少種不同的選法? ③某人射擊8槍,擊中4槍,且命中的4槍均為2槍連中,則不同的結(jié)果有多少種? 其中組合問(wèn)題的個(gè)數(shù)是(  

12、) A.3 B.2 C.1 D.0 考點(diǎn) 組合的概念 題點(diǎn) 組合的判斷 答案 B 解析?、倥c順序有關(guān),是排列問(wèn)題,②③均與順序無(wú)關(guān),是組合問(wèn)題,故選B. 2.集合M={x|x=C,n≥0且n∈N},集合Q={1,2,3,4},則下列結(jié)論正確的是 (  ) A.M∪Q={0,1,2,3,4} B.Q?M C.M?Q D.M∩Q={1,4} 考點(diǎn) 組合數(shù)公式 題點(diǎn) 利用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算 答案 D 解析 由C知n=0,1,2,3,4,因?yàn)镃=1,C=4,C==6,C=C=4,C=1,所以M={1,4,6}.故M∩Q={1,4}. 3.若C=C,則n等于(  

13、) A.3 B.5 C.3或5 D.15 考點(diǎn) 組合數(shù)性質(zhì) 題點(diǎn) 含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題 答案 C 解析 由組合數(shù)的性質(zhì)得n=2n-3或n+2n-3=12,解得n=3或n=5,故選C. 4.某校開(kāi)設(shè)A類選修課3門,B類選修課5門,一位同學(xué)要從中選3門,若要求兩類課程中至少各選1門,則不同的選法共有(  ) A.15種 B.30種 C.45種 D.90種 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 有限制條件的組合問(wèn)題 答案 C 解析 分兩類,A類選修課選1門,B類選修課選2門,或者A類選修課選2門,B類選修課選1門,因此,共有C·C+C·C=45(種)選法. 5.五個(gè)點(diǎn)

14、中任何三點(diǎn)都不共線,則這五個(gè)點(diǎn)可以連成________條線段;如果是有向線段,共有________條. 考點(diǎn) 組合的概念 題點(diǎn) 組合的判斷 答案 10 20 解析 從五個(gè)點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)恰好連成一條線段,這兩個(gè)點(diǎn)沒(méi)有順序,所以是組合問(wèn)題,連成的線段共有C=10(條) .再考慮有向線段的問(wèn)題,這時(shí)兩個(gè)點(diǎn)的先后排列次序不同則對(duì)應(yīng)不同的有向線段,所以是排列問(wèn)題,排列數(shù)是A=20.所以有向線段共有20條. 1.排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別 (1)聯(lián)系:二者都是從n個(gè)不同的元素中取m(m≤n)個(gè)元素. (2)區(qū)別:排列問(wèn)題中元素有序,組合問(wèn)題中元素?zé)o序. 2.關(guān)于組合數(shù)的計(jì)算 (1)涉及具

15、體數(shù)字的可以直接用公式C==計(jì)算; (2)涉及字母的可以用階乘式C=計(jì)算. (3)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì): 性質(zhì)1:C=C; 性質(zhì)2:C=C+C. 一、選擇題 1.以下四個(gè)問(wèn)題,屬于組合問(wèn)題的是(  ) A.從3個(gè)不同的小球中,取出2個(gè)排成一列 B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌 C.在電視節(jié)目中,主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星 D.從13位司機(jī)中任選出兩位開(kāi)同一輛車往返甲、乙兩地 考點(diǎn) 組合的概念 題點(diǎn) 組合的判斷 答案 C 解析 只有從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星,與順序無(wú)關(guān),是組合問(wèn)題. 2.等于(  ) A. B.101

16、C. D.6 考點(diǎn) 組合數(shù)公式 題點(diǎn) 利用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算 答案 D 解析?。剑剑紸=6. 3.下列等式不正確的是(  ) A.C= B.C=C C.C=C+C D.C=C 考點(diǎn) 組合數(shù)公式 題點(diǎn) 組合數(shù)公式的應(yīng)用 答案 D 解析 A是組合數(shù)公式;B,C是組合數(shù)性質(zhì);C=,C=,兩者不相等,故D錯(cuò)誤. 4.若A=6C,則n的值為(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 考點(diǎn) 組合數(shù)性質(zhì) 題點(diǎn) 含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題 答案 B 解析 由題意知n(n-1)(n-2)=6·, 化簡(jiǎn)得=1,所以n=7. 5.把三張游園票分給10個(gè)人中的

17、3人,則分法有(  ) A.A種 B.C種 C.CA種 D.30種 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 無(wú)限制條件的組合問(wèn)題 答案 B 解析 三張票沒(méi)區(qū)別,從10人中選3人即可,即C. 6.將2名女教師,4名男教師分成2個(gè)小組,分別安排到甲、乙兩所學(xué)校輪崗支教,每個(gè)小組由1名女教師和2名男教師組成,則不同的安排方案共有(  ) A.24種 B.10種 C.12種 D.9種 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 有限制條件的組合問(wèn)題 答案 C 解析 第一步,為甲地選1名女教師,有C=2(種)選法;第二步,為甲地選2名男教師,有C=6(種)選法;第三步,剩下的3名教師到乙地,故不同

18、的安排方案共有2×6×1=12(種),故選C. 7.現(xiàn)有6個(gè)白球,4個(gè)黑球,任取4個(gè),則至少有兩個(gè)黑球的取法種數(shù)是(  ) A.115 B.90 C.210 D.385 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 有限制條件的組合問(wèn)題 答案 A 解析 依題意根據(jù)取法可分為三類:兩個(gè)黑球,有CC=90(種);三個(gè)黑球,有CC=24(種);四個(gè)黑球,有C=1(種).根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得,至少有兩個(gè)黑球的取法種數(shù)是90+24+1=115,故選A. 8.對(duì)于所有滿足1≤m≤n≤5的自然數(shù)m,n,方程x2+Cy2=1所表示的不同橢圓的個(gè)數(shù)為(  ) A.15 B.7 C.6 D.0 考點(diǎn) 

19、組合數(shù)性質(zhì) 題點(diǎn) 利用組合數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算與證明 答案 C 解析 因?yàn)?≤m≤n≤5,且方程表示橢圓,所以C可能為C,C,C,C,C,C,C,C, C,C,其中C=C,C=C,C=C,C=C,所以x2+Cy2=1能表示的不同橢圓有6個(gè). 二、填空題 9.從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)不同的數(shù)相乘,有m個(gè)不同的積;任取兩個(gè)不同的數(shù)相除,有n個(gè)不同的商,則m∶n=________. 考點(diǎn) 組合的概念 題點(diǎn) 組合的判斷 答案 1∶2 解析 ∵m=C,n=A,∴m∶n=1∶2. 10.從進(jìn)入決賽的6名選手中決出1名一等獎(jiǎng)、2名二等獎(jiǎng)、3名三等獎(jiǎng),則可能的決賽結(jié)果共有_______

20、_種. 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 有限制條件的組合問(wèn)題 答案 60 解析 根據(jù)題意,所有可能的決賽結(jié)果有CCC=6××1=60(種). 11.不等式C-n<5的解集為_(kāi)_______. 考點(diǎn) 組合數(shù)性質(zhì) 題點(diǎn) 含有組合數(shù)的方程或不等式的問(wèn)題 答案 {2,3,4} 解析 由C-n<5,得-n<5, 即n2-3n-10<0, 解得-2

21、 =+, 整理得n2-21n+98=0, 解得n=7或n=14, 要求C的值,故n≥12, 所以n=14, 于是C=C==91. 13.在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,某學(xué)校有12人通過(guò)了初試,學(xué)校要從中選出5人參加市級(jí)培訓(xùn).在下列條件下,有多少種不同的選法? (1)任意選5人; (2)甲、乙、丙三人必須參加; (3)甲、乙、丙三人不能參加. 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 有限制條件的組合問(wèn)題 解 (1)從中任取5人是組合問(wèn)題,共有C=792(種)不同的選法. (2)甲、乙、丙三人必須參加,則只需要從另外9人中選2人,是組合問(wèn)題,共有C=36(種)不同的選法. (3)甲、乙、丙三人不能

22、參加,則只需從另外的9人中選5人,共有C=126(種)不同的選法. 四、探究與拓展 14.以下三個(gè)式子:①C=;②A=nA;③C÷C=.其中正確的個(gè)數(shù)是____. 考點(diǎn) 組合數(shù)公式 題點(diǎn) 組合數(shù)公式的應(yīng)用 答案 3 解析 ①式顯然成立; ②式中A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),A=(n-1)(n-2)…(n-m+1), 所以A=nA,故②式成立; 對(duì)于③式C÷C===,故③式成立. 15.某屆世界杯舉辦期間,共32支球隊(duì)參加比賽,它們先分成8個(gè)小組進(jìn)行循環(huán)賽,決出16強(qiáng)(每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽1場(chǎng),各組第一、二名晉級(jí)16強(qiáng)),這16支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽,即八

23、分之一淘汰賽,四分之一淘汰賽,半決賽,決賽,最后決出冠、亞軍,此外還要決出第三、四名,問(wèn)這屆世界杯總共將進(jìn)行多少場(chǎng)比賽? 考點(diǎn) 組合的應(yīng)用 題點(diǎn) 有限制條件的組合問(wèn)題 解 可分為如下幾類比賽:(1)小組循環(huán)賽,每組有C=6(場(chǎng)),8個(gè)小組共有48場(chǎng);(2)八分之一淘汰賽,8個(gè)小組的第一、二名組成16強(qiáng),根據(jù)賽制規(guī)則,每2支球隊(duì)一組,每組比賽1場(chǎng),可以決出8強(qiáng),共有8場(chǎng);(3)四分之一淘汰賽,根據(jù)賽制規(guī)則,8強(qiáng)中每2支球隊(duì)一組,每組比賽1場(chǎng),可以決出4強(qiáng),共有4場(chǎng);(4)半決賽,根據(jù)賽制規(guī)則,4強(qiáng)每2支球隊(duì)一組,每組比賽1場(chǎng),可以決出2強(qiáng),共有2場(chǎng);(5)決賽,2強(qiáng)比賽1場(chǎng)確定冠、亞軍,4強(qiáng)中的另2支球隊(duì)比賽1場(chǎng)決出第三、四名,共有2場(chǎng).綜上,由分類加法計(jì)數(shù)原理知,總共將進(jìn)行48+8+4+2+2=64(場(chǎng))比賽.

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