2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第八節(jié) 第三課時(shí) 定點(diǎn)、定值、探索性問題課時(shí)作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 平面解析幾何 第八節(jié) 第三課時(shí) 定點(diǎn)、定值、探索性問題課時(shí)作業(yè)1已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到點(diǎn)F(1,0)的距離比到直線x2的距離小1,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為E.(1)求曲線E的方程;(2)若直線l:ykxm(km0),1,p2,動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為y24x.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由得k2x2(2km4)xm20,x1x2,x1x2.5,x1x2y1y2(1k2)x1x2km(x1x2)m25,m24km5k20,mk或m5k.km0,直線l的方程為yk(x5),直線l必經(jīng)過定點(diǎn)(5,0)2(2018昆明市檢測)已知點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(,0),(,0),直

2、線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是,點(diǎn)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過點(diǎn)F(1,0)作直線l交曲線E于P,Q兩點(diǎn),交y軸于R點(diǎn),若1,2,證明:12為定值解析:(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),由已知得(x),化簡得曲線E的方程:y21(x)(2)證明:設(shè)點(diǎn)P,Q,R的坐標(biāo)分別為P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0)由1,得(x1,y1y0)1(1x1,y1),所以x1,y1,因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線E上,所以()2()21,化簡得4122y0,同理,由2,可得x2,y2,代入曲線E的方程化簡得4222y0,由可知1,2是方程x24x22y0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(0),所以124,即1

3、2為定值3在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(,0),B(,0),直線MA,MB交于點(diǎn)M,它們的斜率之積為常數(shù)m(m0),且MAB的面積最大值為,設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)過曲線E外一點(diǎn)Q作E的兩條切線l1,l2,若它們的斜率之積為1,那么是否為定值?若是,請(qǐng)求出該值;若不是,請(qǐng)說明理由解析:(1)設(shè)M(x,y),則由已知得m,即y2m(x23),即1(x)(*)當(dāng)m0時(shí),方程(*)表示雙曲線,此時(shí)MAB面積不存在最大值(不符合);當(dāng)m1時(shí),方程(*)表示圓,此時(shí)MAB的面積最大值為3(不符合);當(dāng)mb0)的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,離心率為,點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn),且三角形PF1F2的

4、面積最大值為,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)若點(diǎn)M,N為C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),求常數(shù)m,使m時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值,求這個(gè)定值解析:(1)依題意知解得所以橢圓C的方程為1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1x2y1y2m,當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為ykxn,則點(diǎn)O到直線MN的距離d ,聯(lián)立,得消去y,得(4k23)x28knx4n2120,由0得4k2n230,則x1x2,x1x2,所以x1x2(kx1n)(kx2n)(k21)x1x2kn(x1x2)n2m,整理得12.因?yàn)閐 為常數(shù),則m0,d ,此時(shí)12滿足0.當(dāng)MNx軸時(shí),由m0得kOM1,聯(lián)立,得消

5、去y,得x2,點(diǎn)O到直線MN的距離d|x|亦成立綜上,當(dāng)m0時(shí),點(diǎn)O到直線MN的距離為定值,這個(gè)定值是.B組能力提升練1如圖,已知直線l:ykx1(k0)關(guān)于直線yx1對(duì)稱的直線為l1,直線l,l1與橢圓E:y21分別交于點(diǎn)A,M和A,N,記直線l1的斜率為k1.(1)求kk1的值;(2)當(dāng)k變化時(shí),試問直線MN是否恒過定點(diǎn)?若恒過定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不恒過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由解析:(1)設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線yx1對(duì)稱的點(diǎn)為P0(x0,y0),直線l與直線l1的交點(diǎn)為(0,1),l:ykx1,l1:yk1x1,k,k1,由1,得yy0xx02,由1,得yy0x0x,由得kk1

6、1.(2)由得(4k21)x28kx0,設(shè)M(xM,yM),N(xN,yN),xM,yM.同理可得xN,yN.kMN,直線MN:yyMkMN(xxM),即y(x),即yxx.當(dāng)k變化時(shí),直線MN過定點(diǎn)(0,)2.(2018合肥市質(zhì)檢)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)F(1,0),過直線l:x2右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)P作PAl于點(diǎn)A,APF的平分線交x軸于點(diǎn)B,|PA|BF|.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;(2)過點(diǎn)F的直線q交曲線C于M,N,試問:x軸正半軸上是否存在點(diǎn)E,直線EM,EN分別交直線l于R,S兩點(diǎn),使RFS為直角?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由解析:(1)設(shè)P(x,y),由平面幾何

7、知識(shí)得,即,化簡得x22y22,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為x22y22(x)(2)假設(shè)滿足條件的點(diǎn)E(n,0)(n0)存在,設(shè)直線q的方程為xmy1,M(x1,y1),N(x2,y2),R(2,y3),S(2,y4)聯(lián)立,得消去x,得(m22)y22my10,y1y2,y1y2,x1x2(my11)(my21)m2y1y2m(y1y2)11,x1x2m(y1y2)22,由條件知,y3,同理y4,kRFy3,kSFy4.因?yàn)镽FS為直角,所以y3y41,所以(2n)2y1y2x1x2n(x1x2)n2,(2n)2n2,所以(n22)(m21)0,n,故滿足條件的點(diǎn)E存在,其坐標(biāo)為(,0)3已知橢

8、圓C:9x2y2m2(m0),直線l不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值;(2)若l過點(diǎn)(,m),延長線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)l的斜率;若不能,說明理由解析:(1)證明:設(shè)直線l:ykxb(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM)將ykxb代入9x2y2m2得(k29)x22kbxb2m20,故xM,yMkxMb.于是直線OM的斜率kOM,即kOMk9.所以直線OM的斜率與l的斜率的積是定值(2)四邊形OAPB能為平行四邊形因?yàn)橹本€l過點(diǎn)(,m

9、),所以l不過原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0,k3.由(1)得OM的方程為yx.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xP,由得x,即xP.將點(diǎn)(,m)的坐標(biāo)代入l的方程得b,因此xM.四邊形OAPB為平行四邊形,當(dāng)且僅當(dāng)線段AB與線段OP互相平分,即xP2xM.于是2,解得k14,k24.因?yàn)閗i0,ki3,i1,2,所以當(dāng)l的斜率為4或4時(shí),四邊形OAPB為平行四邊形4(2018長沙市模擬)已知P(,)在橢圓C:1(ab0)上,F(xiàn)為右焦點(diǎn),PF垂直于x軸A,B,C,D為橢圓上四個(gè)動(dòng)點(diǎn),且AC,BD交于原點(diǎn)O.(1)求橢圓C的方程;(2)判斷動(dòng)直線l:x(mn)ymn(m,nR)與橢圓C的位置關(guān)系;(3)設(shè)

10、A(x1,y1),B(x2,y2)滿足,判斷kABkBC的值是否為定值,若是,請(qǐng)求出此定值,并求出四邊形ABCD面積的最大值,否則請(qǐng)說明理由解析:(1)P(,)在橢圓C:1(ab0)上,1.又F為右焦點(diǎn),PF垂直于x軸,.由,解得a2,b1,橢圓C的方程為y21.(2)將動(dòng)直線l的方程x(mn)ymn(m,nR),化為(y)m(y)n0.m,nR,解得動(dòng)直線l恒過點(diǎn)P,P在橢圓C上,動(dòng)直線l與橢圓C的位置關(guān)系是相切或相交(3),4y1y2x1x2.當(dāng)直線AB的斜率不存在或斜率為0時(shí),不滿足4y1y2x1x2.當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為ykxm,聯(lián)立,得得(14k2)x28kmx4(m21)0,(8km)24(4k21)4(m21)16(4k2m21)0(*)4y1y2x1x2,y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2,(4k21)x1x24km(x1x2)4m20,(4k21)4km4m20,整理得4k21,k.A,B,C,D的位置可輪換,直線AB,BC的斜率是或,kABkBC()0,為定值不妨設(shè)kAB,則設(shè)原點(diǎn)到直線AB的距離為d,則SAOB|AB|d|x2x1|1.當(dāng)m21時(shí)(滿足(*),SAOB1,S四邊形ABCD4SAOB4,即四邊形ABCD面積的最大值為4.

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