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1、2022屆高考數(shù)學一輪復(fù)習 第十二篇 坐標系與參數(shù)方程 第1節(jié) 坐標系訓練 理 新人教版
【選題明細表】
知識點、方法
題號
伸縮變換、極坐標與直角坐標的互化
1
直線和圓的極坐標方程及應(yīng)用
2
簡單曲線的極坐標方程及應(yīng)用
3,4
1.將圓x2+y2=1上每一點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,得曲線Γ.
(1)寫出Γ的參數(shù)方程;
(2)設(shè)直線l:3x+2y-6=0與Γ的交點為P1,P2,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程.
解:(1)設(shè)(x1,y1)為圓上的點,在已知變換下變?yōu)棣Ｉ系狞c(x,
2、y),
依題意,得即
由+=1,得()2+()2=1,
即曲線Γ的方程為+=1.
故Γ的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(2)由
解得或
不防設(shè)P1(2,0),P2(0,3),
則線段P1P2的中點坐標為(1,),
所求直線的斜率k=.
于是所求直線方程為y-= (x-1),
即4x-6y+5=0,化為極坐標方程,
得4ρcos θ-6ρsin θ+5=0.
2.在直角坐標系xOy中,直線C1:x=-2,圓C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求C1,C2的極坐標方程;
(2)若直線C3的極坐標方程為θ= (ρ∈
3、R),設(shè)C2與C3的交點為M,N,求△C2MN的面積.
解:(1)因為x=ρcos θ,y=ρsin θ,
所以C1的極坐標方程為ρcos θ=-2,
C2的極坐標方程為ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
(2)將θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,
得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.
故ρ1-ρ2=,
即|MN|=.
由于C2的半徑為1,所以△C2MN的面積為.
3.在極坐標系中,曲線C:ρ=2acos θ(a>0),l:ρcos(θ-)=,C與l有且僅有一個公共點.
(1)求a;
(2)O為極點,A,B為曲線C上的兩點,且∠AO
4、B=,求|OA|+|OB|的最
大值.
解:(1)曲線C:ρ=2acos θ(a>0),變形ρ2=2aρcos θ,
化為x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2.
所以曲線C是以(a,0)為圓心,a為半徑的圓.
由l:ρcos(θ-)=,展開為ρcos θ+ρsin θ=,所以l的直角坐標方程為x+y-3=0.
由題可知直線l與圓C相切,即=a,解得a=1.
(2)不妨設(shè)A的極角為θ,B的極角為θ+,
則|OA|+|OB|=2cos θ+2cos(θ+)=3cos θ-sin θ=2cos(θ+),
當θ=-時,|OA|+|OB|取得最大值2.
4. (2017·成
5、都模擬)在直角坐標系xOy中,半圓C的直角坐標方程為(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).以O(shè)為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.
(1)求C的極坐標方程;
(2)直線l的極坐標方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射線OM:θ=與半圓C的交點為O,P,與直線l的交點為Q,求線段PQ的長.
解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圓C的極坐標方程是ρ=2cos θ,θ∈[0,].
(2)設(shè)(ρ1,θ1)為點P的極坐標,
則有
解得
設(shè)(ρ2,θ2)為點Q的極坐標,
則有
解得
由于θ1=θ2,
所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以線段PQ的長為4.
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