2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達(dá)標(biāo)36 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 課堂達(dá)標(biāo)36 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文 新人教版1如圖是正方體或四面體,P,Q,R,S分別是所在棱的中點(diǎn),則這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是()解析A,B,C圖中四點(diǎn)一定共面,D中四點(diǎn)不共面答案D2(2018廣西名校聯(lián)考)已知m,l是直線,是平面,給出下列命題:若l垂直于,則l垂直于內(nèi)的所有直線,若l平行于,則l平行于內(nèi)的所有直線若l,且l,則若m,l,且,則ml其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A4B3C2D1解析對于,由線面垂直的定義可知正確;對于,若l平行于內(nèi)的所有直線,根據(jù)平行公理可得:內(nèi)的所有直線都互相平行,顯然是錯(cuò)誤的,故錯(cuò)誤;對于,根據(jù)面

2、面垂直的判定定理可知正確;對于,若m,l,且,則直線l與m無公共點(diǎn),l與m平行或異面,故錯(cuò)誤;故選C.答案C3空間四邊形兩對角線的長分別為6和8,所成的角為45,連接各邊中點(diǎn)所得四邊形的面積是()A6 B12C12 D24解析如圖,已知空間四邊形ABCD,設(shè)對角線AC6,BD8,易證四邊形EFGH為平行四邊形,EFG或FGH為AC與BD所成的45角,故S四邊形EFGH34sin 456,故選A. 答案A4(2018浙江金麗衢十二校二聯(lián))已知a,b,c為三條不同的直線,且a平面,b平面,c.若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交;若a不垂直于c,則a與b一定不垂直;若ab,則必有ac;

3、若ab,ac,則必有.其中正確的命題的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3解析中若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交,故正確;中平面平面時(shí),若bc,則b平面,此時(shí)不論a,c是否垂直,均有ab,故錯(cuò)誤;中當(dāng)ab時(shí),則a平面,由線面平行的性質(zhì)定理可得ac,故正確;中若bc,則ab,ac時(shí),a與平面不一定垂直,此時(shí)平面與平面也不一定垂直,故錯(cuò)誤,所以正確命題的個(gè)數(shù)是2.答案C5如圖,ABCDA1B1C1D1是長方體,O是B1D1的中點(diǎn),直線A1C交平面AB1D1于點(diǎn)M,則下列結(jié)論正確的是()AA,M,O三點(diǎn)共線 BA,M,O,A1不共面CA,M,C,O不共面 DB,B1,O,M共面解析連接A

4、1C1,AC,則A1C1AC,所以A1C1,C,A四點(diǎn)共面,所以A1C平面ACC1A1,因?yàn)镸A1C,所以M平面ACC1A1,又M平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,同理O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上,所以A,M,O三點(diǎn)共線答案A6已知正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是A1D1,A1C1的中點(diǎn),則異面直線AE和CF所成的角的余弦值為()A. B. C. D.解析如圖,設(shè)正方體的棱長為a,取線段AB的中點(diǎn)M,連接CM,MF,EF.則MF綊AE,所以CFM即為所求角或所求角的補(bǔ)角在CFM中,MFCMa,CFa,根據(jù)余弦定理可得cosCFM,所

5、以可得異面直線AE與CF所成的角的余弦值為.故選C.答案C7(2018甘肅省蘭州市二模)已知長方體ABCDA1B1C1D1中,B1C,C1D與底面ABCD所成的角分別為60和45,則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為()A. B. C. D.解析如圖所示:B1B平面ABCD,BCB1是B1C與底面所成角,BCB160. C1C底面ABCD,CDC1是C1D與底面所成的角,CDC145.連接A1D,A1C1,則A1DB1C.A1DC1或其補(bǔ)角為異面直線B1C與C1D所成的角不妨設(shè)BC1,則CB1DA12,BB1CC1CD,C1D,A1C12.在等腰A1C1D中,cosA1DC1.故選:A.答

6、案A8.正方體ABCDA1B1C1D1中,P、Q、R分別是AB、AD、B1C1的中點(diǎn)那么,正方體的過P、Q、R的截面圖形是_邊形解析延長PQ或(QP)分別交BC延長線于E,交CD延長線于F,取C1D1中點(diǎn)M,連接RM,連接RE交BB1于S,連接MF交DD1于N,連接NQ,PS,則六邊形PQNMRS即為正方體ABCDA1B1C1D1的過P、Q、R三點(diǎn)的截面圖形答案六9如圖所示,在三棱錐ABCD中,E,F(xiàn),G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則當(dāng)AC,BD滿足條件_時(shí),四邊形EFGH為菱形,當(dāng)AC,BD滿足條件_時(shí),四邊形EFGH是正方形解析易知EHBDFG,且EHBDFG,同理EFACH

7、G,且EFACHG,顯然四邊形EFGH為平行四邊形要使平行四邊形EFGH為菱形需滿足EFEH,即ACBD;要使平行四邊形EFGH為正方形需滿足EFEH且EFEH,即ACBD且ACBD.答案ACBD;ACBD且ACBD10如圖所示,在三棱錐PABC中,PA底面ABC,D是PC的中點(diǎn)已知BAC90,AB2,AC2,PA2.求:(1)三棱錐PABC的體積;(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值解(1)SABC222,故三棱錐PABC的體積為VSABCPA22. (2)如圖所示,取PB的中點(diǎn)E,連接DE,AE,則DEBC,所以ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角在ADE中,DE2,AE,AD

8、2,則cosADE.即異面直線BC與AD所成角的余弦值為.B能力提升練1已知空間四邊形ABCD中,M,N分別為AB,CD的中點(diǎn),則下列判斷:MN(ACBD);MN(ACBD);MN(ACBD);MN(ACBD)其中正確的是()A B C D解析如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接MO,NO,則OMAC,ONBD.在MON中,MNOMON(ACBD),正確答案D2(2018廣州綜合測試二)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中,M是棱A1D1的中點(diǎn),過C1,B,M作正方體的截面,則這個(gè)截面的面積為()A. B. C. D.解析設(shè)AA1的中點(diǎn)為N,則MNBC1,連接MN,NB,BC1,MC1,則梯形M

9、NBC1就是過C1,B,M正方體的截面,其面積為(2),故選C.答案C3(2018鄭州質(zhì)檢)如圖,矩形ABCD中,AB2AD,E為邊AB的中點(diǎn),將ADE沿直線DE翻折成A1DE.若M為線段A1C的中點(diǎn),則在ADE翻折過程中,下面四個(gè)命題中不正確的是_BM是定值;點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng);存在某個(gè)位置,使DEA1C;存在某個(gè)位置,使MB平面A1DE.解析取DC中點(diǎn)F,連接MF,BF,MFA1D且MFA1D,F(xiàn)BED且FBED,所以MFBA1DE.由余弦定理可得MB2MF2FB22MFFBcosMFB是定值,所以M是在以B為圓心,MB為半徑的球上,可得正確;由MFA1D與FBED可得平面MBF平面A1

10、DE,可得正確;A1C在平面ABCD中的投影與AC重合,AC與DE不垂直,可得不正確答案4(2018南昌高三期末)如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面為直角三角形,ABC90,AC6,BCCC1,P是BC1上一動(dòng)點(diǎn),則CPPA1的最小值為_解析連接A1B,將A1BC1與CBC1同時(shí)展平形成一個(gè)平面四邊形A1BCC1,則此時(shí)對角線CPPA1A1C達(dá)到最小,在等腰直角三角形BCC1中,BC12,CC1B45,在A1BC1中,A1B2,A1C16,BC12,A1CBCA1B2,即A1C1B90.對于展開形成的四邊形A1BCC1,在A1C1C中,C1C,A1C16,A1C1C135,由余弦定理有

11、,CPPA1A1C5.答案55已知正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為D1C1,C1B1的中點(diǎn),ACBDP,A1C1EFQ.求證:(1)D、B、F、E四點(diǎn)共面;(2)若A1C交平面DBFE于R點(diǎn),則P,Q,R三點(diǎn)共線證明(1)如圖所示,因?yàn)镋F是D1B1C1的中位線,所以EFB1D1.在正方體ABCDA1B1C1D1中,B1D1BD,所以EFBD.所以EF,BD確定一個(gè)平面即D、B、F、E四點(diǎn)共面(2)在正方體ABCDA1B1C1D1中,設(shè)平面A1ACC1確定的平面為 ,又設(shè)平面BDEF為.因?yàn)镼A1C1,所以Q.又QEF,所以Q.則Q是與的公共點(diǎn),同理,P點(diǎn)也是與的公共點(diǎn)所以PQ.又A1CR,所以RA1C,則R且R.則RPQ,故P,Q,R三點(diǎn)共線C尖子生專練如圖所示,等腰直角三角形ABC中,A90,BC,DAAC,DAAB,若DA1,且E為DA的中點(diǎn)求異面直線BE與CD所成角的余弦值解如圖所示,取AC的中點(diǎn)F,連接EF,BF,在ACD中,E、F分別是AD、AC的中點(diǎn),EFCD.BEF或其補(bǔ)角即為異面直線BE與CD所成的角在RtEAB中,ABAC1,AEAD,BE.在RtEAF中,AFAC,AE,EF.在RtBAF中,AB1,AF,BF.在等腰三角形EBF中,cosFEB.異面直線BE與CD所成角的余弦值為.

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