2022屆高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 課堂達標43 橢圓 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學一輪復習 第八章 解析幾何 課堂達標43 橢圓 文 新人教版 1.(2018·廣東深圳4月調(diào)研)在平面直角坐標系xOy中,橢圓C的中心為原點,焦點F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為,點P為橢圓上一點,且△PF1F2的周長為12,那么C的方程為(  ) A.+y2=1     B.+=1 C.+=1 D.+=1 [解析] 由題設可得=?a=2c, 又橢圓的定義可得2a+2c=12?a+c=6, 即3c=6?c=2,a=4,所以b2=16-4=12, 則橢圓方程為+=1, 應選答案D. [答案] D 2.(2018·鄭州第三次質(zhì)檢)橢圓+=1的左焦點為F,直線x=

2、a與橢圓相交于點M,N,當△FMN的周長最大時,△FMN的面積是(  ) A. B. C. D. [解析] 設橢圓右焦點為F′,則|MF′|+|NF′|≥|MN|,當M,N,F(xiàn)′三點共線時,等號成立,所以△FMN的周長|MF|+|NF|+|MN|≤|MF|+|NF|+|MF′|+|NF′|=4a=4, 此時|MN|==,所以此時△FMN的面積為S=××2=,故選擇C. [答案] C 3.(2018·邯鄲一模)橢圓+=1的焦點為F1,F(xiàn)2,點P在橢圓上,如果線段PF2的中點在y軸上,那么|PF2|是|PF1|的(  ) A.7倍   B.5倍 C.4倍   D.3倍 [解

3、析] 設線段PF2的中點為D,則|OD|=|PF1|,OD∥PF1,OD⊥x軸,∴PF1⊥x軸. ∴|PF1|===. 又∵|PF1|+|PF2|=4, ∴|PF2|=4-=. ∴|PF2|是|PF1|的7倍. [答案] A 4.(2018·青島月考)已知A1,A2分別為橢圓C:+=1(a>b>0)的左,右頂點,P是橢圓C上異于A1,A2的任意一點,若直線PA1,PA2的斜率的乘積為-,則橢圓C的離心率為(  ) A.   B. C.    D. [解析] 設P(x0,y0),則×=-, 化簡得+=1,則=,e===,故選D. [答案] D 5.(2018·廣州二模)

4、設F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,點P在橢圓C上,若線段PF1的中點在y軸上,∠PF1F2=30°,則橢圓的離心率為(  ) A.   B. C.    D. [解析] 如圖,設PF1的中點為M,連接PF2.因為O為F1F2的中點,所以OM為△PF1F2的中位線. 所以OM∥PF2,所以∠PF2F1=∠MOF1=90°. 因為∠PF1F2=30°, 所以|PF1|=2|PF2|. 由勾股定理得|F1F2| ==|PF2|, 由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2| =3|PF2|?a=,2c=|F1F2|=|PF2|?c=, 則e==·=.

5、故選A. [答案] A 6.(2018·東北師大附中三模)已知F是橢圓C:+=1(a>b>0)的右焦點,點P在橢圓C上,線段PF與圓2+y2=相切于點Q,且PQ=2QF,則橢圓C的離心率等于(  ) A.   B. C.    D. [解析] 設橢圓的左焦點為F1,連接F1,設圓心為C,則 ∵2+y2=,則圓心坐標為, 半徑為r=,∴|F1F|=3|FC| ∵PQ=2QF,∴PF1∥QC,|PF1|=b ∴|PF|=2a-b ∵線段PF與圓+=1(a>b>0)(其中c2=a2-b2)相切于點Q,∴CQ⊥PF,∴PF1⊥PF, ∴b2+(2a-b)2=4c2,∴b2+(2

6、a-b)2=4(a2-b2) ∴a=b,則=,∴e===, 故選A. [答案] A 7.(2018·保定一模)與圓C1:(x+3)2+y2=1外切,且與圓C2:(x-3)2+y2=81內(nèi)切的動圓圓心P的軌跡方程為______. [解析] 設動圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有|PC1|=r+1,|PC2|=9-r.所以|PC1|+|PC2|=10>|C1C2|,即P在以C1(-3,0),C2(3,0)為焦點,長軸長為10的橢圓上,得點P的軌跡方程為+=1. [答案] +=1 8.(2018·北京東城模擬)已知橢圓C的中心在原點,一個焦點F(-2,0),且長軸長與短軸長的比是2

7、∶,則橢圓C的方程是______. [解析] 設橢圓C的方程為+=1(a>b>0). 由題意知解得a2=16,b2=12. 所以橢圓C的方程為+=1. [答案]?。? 9.(2018·河北武邑中學二模)如圖,已知橢圓C1:+y2=1,曲線C2:y=x2-1與y軸的交點為M,過坐標原點O的直線l與C2相交于A,B兩點,直線MA,MB分別與C1相交于D,E兩點,則·的值是(  ) A.正數(shù) B.0 C.負數(shù) D.皆有可能 [解析] 設A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,-1), =(x1,y1+1),=(x2,y2+1)設直線l的方程為y=kx與拋物線方程聯(lián)立,

8、 整理為:x2-kx-1=0,所以x1+x2=k,x1x2=-1, ·=·=x1x2+(y1+1)(y2+1)=x1x2+y1y2+(y1+y2)+1 =x1x2+k2x1x2+k(x1+x2)+1=-1-k2+k2+1=0,故選B. [答案] B 10.(2016·北京卷)已知橢圓C:+=1過點A(2,0),B(0,1)兩點. (1)求橢圓C的方程及離心率; (2)設P為第三象限內(nèi)一點且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點M,直線PB與x軸交于點N,求證:四邊形ABNM的面積為定值. [解] (1)由題意得,a=2,b=1. 所以橢圓C的方程為+y2=1. 又c==, 所以

9、離心率e==. (2)設P(x0,y0)(x0<0,y0<0),則x+4y=4. 又A(2,0),B(0,1), 所以,直線PA的方程為y=(x-2). 令x=0,得yM=-, 從而|BM|=1-yM=1+. 直線PB的方程為y=x+1. 令y=0,得xN=-, 從而|AN|=2-xN=2+. 所以四邊形ABNM的面積 S=|AN|·|BM| = = ==2. 從而四邊形ABNM的面積為定值. [B能力提升練] 1.(2018·石家莊質(zhì)檢)已知兩定點A(-2,0)和B(2,0),動點P(x,y)在直線l:y=x+3上移動,橢圓C以A,B為焦點且經(jīng)過點P,則橢圓C

10、的離心率的最大值為(  ) A. B. C. D. [解析] 設點A關(guān)于直線l的對稱點為A1(x1,y1), 則有解得x1=-3,y1=1, 易知|PA|+|PB|的最小值等于|A1B|=, 因此橢圓C的離心率e==的最大值為. [答案] B 2.2016年1月14日,國防科工局宣布,嫦娥四號任務已經(jīng)通過了探月工程重大專項領(lǐng)導小組審議通過,正式開始實施.如圖所示,假設“嫦娥四號”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用2c1和2c2分別表

11、示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的長軸長,給出下列式子: ①a1+c1=a2+c2;②a1-c1=a2-c2;③<; ④c1a2>a1c2. 其中正確式子的序號是(  ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ [解析] 觀察圖形可知a1+c1>a2+c2, 即①式不正確;a1-c1=a2-c2=|PF|,即②式正確;由a1-c1=a2-c2>0,c1>c2>0,知<, 即<,從而c1a2>a1c2,>,即④式正確,③式不正確. 故選D. [答案] D 3.(2018·石家莊質(zhì)檢)橢圓+y2=1的左,右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P為

12、橢圓上一動點,若∠F1PF2為鈍角,則點P的橫坐標的取值范圍是______. [解析] 設橢圓上一點P的坐標為(x,y), 則=(x+,y),=(x-,y). ∵∠F1PF2為鈍角,∴·<0, 即x2-3+y2<0,① ∵y2=1-,代入①得x2-3+1-<0, x2<2,∴x2<. 解得-b>0)的右焦點F(c,0)關(guān)于直線y=x的對稱點Q在橢圓上,則橢圓的離心率是______. [解析] 設橢圓的另一個焦點為F1(-c,0),如圖,連接QF1,QF,設QF與直線y=x交于點M. 由題意知M為線段QF的

13、中點,且OM⊥FQ. 又O為線段F1F的中點, ∴F1Q∥OM,∴F1Q⊥QF,|F1Q|=2|OM|. 在Rt△MOF中,tan∠MOF==,|OF|=c, 可解得|OM|=,|MF|=,故|QF|=2|MF|=,|QF1|=2|OM|=. 由橢圓的定義得|QF|+|QF1|=+=2a, 整理得b=c,∴a==c,故e==. [答案]  5.(2017·天津)設橢圓+=1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,離心率為.已知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,F(xiàn)到拋物線的準線l的距離為. (1)求橢圓的方程和拋物線的方程; (2)設l上兩點P,Q關(guān)于x軸對稱,直線AP

14、與橢圓相交于點B(B異于點A),直線BQ與x軸相交于點D.若△APD的面積為,求直線AP的方程. [解] (1)設F的坐標為(-c,0).依題意,=,=a,a-c=,解得a=1,c=,p=2,于是b2=a2-c2=.所以,橢圓的方程為x2+=1,拋物線的方程為y2=4x. (2)設直線AP的方程為x=my+1(m≠0), 與直線l的方程x=-1聯(lián)立,可得點P, 故A.將x=my+1與x2+=1聯(lián)立,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=.由點B異于點A,可得點B.由Q,可得直線BQ的方程為(x+1)-=0,令y=0,解得x=,故D. 所以|AD|=1-=.

15、 又因為△APD的面積為,故××=,整理得3m2-2|m|+2=0,解得|m|=,所以m=±. 所以,直線AP的方程為3x+y-3=0, 或3x-y-3=0. [C尖子生專練] (2016·四川卷)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角形的三個頂點,直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T. (1)求橢圓E的方程及點T的坐標; (2)設O是坐標原點,直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點A,B,且與直線l交于點P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值. [解] (1)由已知,a=b,則橢圓E的方程為+=1.

16、 由方程組得3x2-12x+(18-2b2)=0.① 方程①的判別式為Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,此時方程①的解為x=2,所以橢圓E的方程為+=1. 點T坐標為(2,1). (2)由已知可設直線l′的方程為y=x+m(m≠0), 有方程組可得 所以P點坐標為,|PT|2=m2. 設點A,B的坐標為A(x1,y1),B(x2,y2). 由方程組 可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.② 方程②的判別式Δ=16(9-2m2),由Δ>0, 解得-<m<. 由②得x1+x2=-,x1x2=. 所以|PA|==, 同理|PB|=, 所以|PB|·|PB|== ==m2. 故存在常數(shù)λ=,使得|PT|2=λ|PA|·|PB|.

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