2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)43 橢圓 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)43 橢圓 文 新人教版1(2018廣東深圳4月調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,離心率為,點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn),且PF1F2的周長(zhǎng)為12,那么C的方程為()A.y21B.1C.1 D.1解析由題設(shè)可得a2c,又橢圓的定義可得2a2c12ac6,即3c6c2,a4,所以b216412,則橢圓方程為1,應(yīng)選答案D.答案D2(2018鄭州第三次質(zhì)檢)橢圓1的左焦點(diǎn)為F,直線xa與橢圓相交于點(diǎn)M,N,當(dāng)FMN的周長(zhǎng)最大時(shí),F(xiàn)MN的面積是()A. B.C. D.解析設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F,則|MF|NF|MN|,當(dāng)M

2、,N,F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,所以FMN的周長(zhǎng)|MF|NF|MN|MF|NF|MF|NF|4a4,此時(shí)|MN|,所以此時(shí)FMN的面積為S2,故選擇C.答案C3(2018邯鄲一模)橢圓1的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在橢圓上,如果線段PF2的中點(diǎn)在y軸上,那么|PF2|是|PF1|的()A7倍B5倍 C4倍D3倍解析設(shè)線段PF2的中點(diǎn)為D,則|OD|PF1|,ODPF1,ODx軸,PF1x軸|PF1|.又|PF1|PF2|4,|PF2|4.|PF2|是|PF1|的7倍答案A4(2018青島月考)已知A1,A2分別為橢圓C:1(ab0)的左,右頂點(diǎn),P是橢圓C上異于A1,A2的任意一點(diǎn),若直線PA1,P

3、A2的斜率的乘積為,則橢圓C的離心率為()A.B. C.D.解析設(shè)P(x0,y0),則,化簡(jiǎn)得1,則,e,故選D.答案D5(2018廣州二模)設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1(ab0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上,PF1F230,則橢圓的離心率為()A.B. C.D.解析如圖,設(shè)PF1的中點(diǎn)為M,連接PF2.因?yàn)镺為F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)M為PF1F2的中位線所以O(shè)MPF2,所以PF2F1MOF190.因?yàn)镻F1F230,所以|PF1|2|PF2|.由勾股定理得|F1F2|PF2|,由橢圓定義得2a|PF1|PF2|3|PF2|a,2c|F1F2|PF2|c,則e.故選

4、A.答案A6(2018東北師大附中三模)已知F是橢圓C:1(ab0)的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓C上,線段PF與圓2y2相切于點(diǎn)Q,且PQ2QF,則橢圓C的離心率等于()A.B. C.D.解析設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F1,連接F1,設(shè)圓心為C,則2y2,則圓心坐標(biāo)為,半徑為r,|F1F|3|FC|PQ2QF,PF1QC,|PF1|b|PF|2ab線段PF與圓1(ab0)(其中c2a2b2)相切于點(diǎn)Q,CQPF,PF1PF,b2(2ab)24c2,b2(2ab)24(a2b2)ab,則,e,故選A.答案A7(2018保定一模)與圓C1:(x3)2y21外切,且與圓C2:(x3)2y281內(nèi)切的動(dòng)圓圓心P的軌跡方

5、程為_解析設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,圓心為P(x,y),則有|PC1|r1,|PC2|9r.所以|PC1|PC2|10|C1C2|,即P在以C1(3,0),C2(3,0)為焦點(diǎn),長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10的橢圓上,得點(diǎn)P的軌跡方程為1.答案18(2018北京東城模擬)已知橢圓C的中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)F(2,0),且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比是2,則橢圓C的方程是_解析設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)由題意知解得a216,b212.所以橢圓C的方程為1.答案19(2018河北武邑中學(xué)二模)如圖,已知橢圓C1:y21,曲線C2:yx21與y軸的交點(diǎn)為M,過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與C2相交于A,B兩點(diǎn),直線MA,MB分別與C1相交于D,

6、E兩點(diǎn),則的值是()A正數(shù) B0C負(fù)數(shù) D皆有可能解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(0,1),(x1,y11),(x2,y21)設(shè)直線l的方程為ykx與拋物線方程聯(lián)立,整理為:x2kx10,所以x1x2k,x1x21,x1x2(y11)(y21)x1x2y1y2(y1y2)1x1x2k2x1x2k(x1x2)11k2k210,故選B.答案B10(2016北京卷)已知橢圓C:1過點(diǎn)A(2,0),B(0,1)兩點(diǎn)(1)求橢圓C的方程及離心率;(2)設(shè)P為第三象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓C上,直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:四邊形ABNM的面積為定值解(1)由題意得,a2,b

7、1.所以橢圓C的方程為y21.又c,所以離心率e.(2)設(shè)P(x0,y0)(x00,y00),則x4y4.又A(2,0),B(0,1),所以,直線PA的方程為y(x2)令x0,得yM,從而|BM|1yM1.直線PB的方程為yx1.令y0,得xN,從而|AN|2xN2.所以四邊形ABNM的面積S|AN|BM|2.從而四邊形ABNM的面積為定值B能力提升練1(2018石家莊質(zhì)檢)已知兩定點(diǎn)A(2,0)和B(2,0),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)在直線l:yx3上移動(dòng),橢圓C以A,B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P,則橢圓C的離心率的最大值為()A. B.C. D.解析設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A1(x1,y1),則有解得x1

8、3,y11,易知|PA|PB|的最小值等于|A1B|,因此橢圓C的離心率e的最大值為.答案B22016年1月14日,國(guó)防科工局宣布,嫦娥四號(hào)任務(wù)已經(jīng)通過了探月工程重大專項(xiàng)領(lǐng)導(dǎo)小組審議通過,正式開始實(shí)施如圖所示,假設(shè)“嫦娥四號(hào)”衛(wèi)星將沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球后,在月球附近一點(diǎn)P變軌進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行若用2c1和2c2分別表示橢圓軌道和的焦距,用2a1和2a2分別表示橢圓軌道和的長(zhǎng)軸長(zhǎng),給出下列式子:a1c1a2c2;a1c1a2c2;a1c2.其中正確式子的序號(hào)是()A BC D解析觀察圖形可知a1c1a2c

9、2,即式不正確;a1c1a2c2|PF|,即式正確;由a1c1a2c20,c1c20,知,即a1c2,即式正確,式不正確故選D.答案D3(2018石家莊質(zhì)檢)橢圓y21的左,右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),若F1PF2為鈍角,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是_解析設(shè)橢圓上一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則(x,y),(x,y)F1PF2為鈍角,0,即x23y20,y21,代入得x2310,x22,x2.解得xb0)的右焦點(diǎn)F(c,0)關(guān)于直線yx的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓上,則橢圓的離心率是_解析設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為F1(c,0),如圖,連接QF1,QF,設(shè)QF與直線yx交于點(diǎn)M.由題意知M為線段QF的

10、中點(diǎn),且OMFQ.又O為線段F1F的中點(diǎn),F(xiàn)1QOM,F(xiàn)1QQF,|F1Q|2|OM|.在RtMOF中,tanMOF,|OF|c,可解得|OM|,|MF|,故|QF|2|MF|,|QF1|2|OM|.由橢圓的定義得|QF|QF1|2a,整理得bc,ac,故e.答案5(2017天津)設(shè)橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為.已知A是拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn),F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于點(diǎn)A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若APD的面積為,求直線AP的方程解(1)設(shè)F的坐標(biāo)為(c,

11、0)依題意,a,ac,解得a1,c,p2,于是b2a2c2.所以,橢圓的方程為x21,拋物線的方程為y24x.(2)設(shè)直線AP的方程為xmy1(m0),與直線l的方程x1聯(lián)立,可得點(diǎn)P,故A.將xmy1與x21聯(lián)立,消去x,整理得(3m24)y26my0,解得y0,或y.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A,可得點(diǎn)B.由Q,可得直線BQ的方程為(x1)0,令y0,解得x,故D.所以|AD|1.又因?yàn)锳PD的面積為,故,整理得3m22|m|20,解得|m|,所以m.所以,直線AP的方程為3xy30,或3xy30.C尖子生專練(2016四川卷)已知橢圓E:1(ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直

12、線l:yx3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù),使得|PT|2|PA|PB|,并求的值解(1)由已知,ab,則橢圓E的方程為1.由方程組得3x212x(182b2)0.方程的判別式為24(b23),由0,得b23,此時(shí)方程的解為x2,所以橢圓E的方程為1.點(diǎn)T坐標(biāo)為(2,1)(2)由已知可設(shè)直線l的方程為yxm(m0),有方程組可得所以P點(diǎn)坐標(biāo)為,|PT|2m2.設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2)由方程組可得3x24mx(4m212)0.方程的判別式16(92m2),由0,解得m.由得x1x2,x1x2.所以|PA|,同理|PB|,所以|PB|PB|m2.故存在常數(shù),使得|PT|2|PA|PB|.

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