2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課時作業(yè)

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積課時作業(yè)1(2018合肥市質(zhì)檢)已知一個圓錐底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)切球的表面積為()AB.C2 D3解析:依題意,作出圓錐與球的軸截面,如圖所示,設(shè)球的半徑為r,易知軸截面三角形邊AB上的高為2,因此,解得r,所以圓錐內(nèi)切球的表面積為4()22,故選C.答案:C2平面截球O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面的距離為,則此球的體積為()A. B4C4 D6解析:設(shè)球的半徑為R,由球的截面性質(zhì)得R,所以球的體積VR34.答案:B3已知一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. BC. D解析:

2、該幾何體由一個三棱錐和一個三棱柱組合而成,直觀圖如圖所示,VV柱V錐(11)12(11)12,故選C.答案:C4如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線(實線和虛線)表示的是某幾何體的三視圖,則該幾何體外接球的體積為()A24 B29C48 D58解析:如圖,在324的長方體中構(gòu)造符合題意的幾何體(三棱錐ABCD),其外接球即為長方體的外接球,表面積為4R2(322242)29.答案:B5(2018合肥市質(zhì)檢)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,實線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的體積為()A3 B3C9 D9解析:由題中的三視圖,可得該幾何體是一個以俯視圖中的梯形為底面的四棱錐,其底面面積

3、S(24)13,高h3,故其體積VSh3,故選A.答案:A6若三棱錐PABC的最長的棱PA2,且各面均為直角三角形,則此三棱錐的外接球的體積是_解析:如圖,根據(jù)題意,可把該三棱錐補成長方體,則該三棱錐的外接球即該長方體的外接球,易得外接球的半徑RPA1,所以該三棱錐的外接球的體積V13.答案:7已知矩形ABCD的頂點都在半徑為2的球O的球面上,且AB3,BC,過點D作DE垂直于平面ABCD,交球O于E,則棱錐EABCD的體積為_解析:如圖所示,BE過球心O,DE2,VEABCD322.答案:28已知H是球O的直徑AB上一點,AHHB12,AB平面,H為垂足,截球O所得截面的面積為,則球O的表面

4、積為_解析:如圖,設(shè)截面小圓的半徑為r,球的半徑為R,因為AHHB12,所以O(shè)HR.由勾股定理,有R2r2OH2,又由題意得r2,則r1,故R21(R)2,即R2.由球的表面積公式,得S4R2.答案:9如圖,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O,點E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AECF,EF交BD于點H.將DEF沿EF折到DEF的位置(1)證明:ACHD;(2)若AB5,AC6,AE,OD2,求五棱錐DABCFE的體積解析:(1)證明:由已知得ACBD,ADCD.又由AECF得,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.(2)由EFAC得.由AB5,AC6得DOBO4.所以O(shè)H1,DH

5、DH3.于是OD2OH2(2)2129DH2,故ODOH.由(1)知,ACHD,又ACBD,BDHDH,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOHO,所以O(shè)D平面ABC.又由得EF.五邊形ABCFE的面積S683.所以五棱錐DABCFE的體積V2.10(2018莆田質(zhì)檢)如圖,在四棱錐SABCD中,四邊形ABCD為矩形,E為SA的中點,SASB2,AB2,BC3.(1)證明:SC平面BDE;(2)若BCSB,求三棱錐CBDE的體積解析:(1)證明:連接AC,設(shè)ACBDO,四邊形ABCD為矩形,則O為AC的中點在ASC中,E為AS的中點,SCOE,又OE平面BDE,SC平面BDE,

6、SC平面BDE.(2)BCAB,BCSB,ABSBB,BC平面SAB,又BCAD,AD平面SAB.SC平面BDE,點C與點S到平面BDE的距離相等,VCBDEVSBDEVDSBE,在ABS中,SASB2,AB2,SABS21.又E為AS的中點,SBESSABS.又點D到平面BES的距離為AD,VDBESSBESAD3,VCBDE,即三棱錐CBDE的體積為.B組能力提升練1(2018湖北七市聯(lián)考)一個幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體外接球的表面積為()A36 BC32 D28解析:根據(jù)三視圖,可知該幾何體是一個四棱錐,其底面是一個邊長為4的正方形,高是2.將該四棱錐補形成一個三棱柱,如圖所示,則

7、其底面是邊長為4的正三角形,高是4,該三棱柱的外接球即為原四棱錐的外接球三棱柱的底面是邊長為4的正三角形,底面三角形的中心到該三角形三個頂點的距離為2,外接球的半徑R ,外接球的表面積S4R24,故選B.答案:B2(2018廣州模擬)九章算術(shù)中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬;將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉臑若三棱錐PABC為鱉臑,PA平面ABC,PAAB2,AC4,三棱錐PABC的四個頂點都在球O的球面上,則球O的表面積為()A8 B12C20 D24解析:如圖,因為四個面都是直角三角形,所以PC的中點到每一個頂點的距離都相等,即PC的中點為球心O,易得2RPC,

8、所以R,球O的表面積為4R220,選C.答案:C3在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球若ABBC,AB6,BC8,AA13,則V的最大值是()A4B.C6D.解析:由題意可得若V最大,則球與直三棱柱的部分面相切,若與三個側(cè)面都相切,可求得球的半徑為2,球的直徑為4,超過直三棱柱的高,所以這個球放不進去,則球可與上下底面相切,此時球的半徑R,該球的體積最大,VmaxR3.答案:B4四棱錐SABCD的所有頂點都在同一個球面上,底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面內(nèi),當此四棱錐體積取得最大值時,其表面積等于88,則球O的體積等于()A. B C16 D解析:依題意,設(shè)球O的半徑

9、為R,四棱錐SABCD的底面邊長為a、高為h,則有hR,即h的最大值是R,又AC2R,則四棱錐SABCD的體積VSABCD2R2h.因此,當四棱錐SABCD的體積最大,即hR時,其表面積等于(R)24R 88,解得R2,因此球O的體積等于,選A.答案:A5(2017河北質(zhì)量監(jiān)測)多面體的三視圖如圖所示,則該多面體的體積為_cm3.解析:由三視圖可知該幾何體是一個三棱錐,如圖所示,在三棱錐DABC中,底面ABC是等腰三角形,設(shè)底邊AB的中點為E,則底邊AB及底邊上的高CE均為4,側(cè)棱AD平面ABC,且AD4,所以三棱錐DABC的體積VSABCAD444(cm3)答案:6已知正四棱錐OABCD的體

10、積為,底面邊長為,則以O(shè)為球心,OA為半徑的球的表面積為_解析:過O作底面ABCD的垂線段OE(圖略),則E為正方形ABCD的中心由題意可知()2OE,所以O(shè)E,故球的半徑ROA,則球的表面積S4R224.答案:247如圖,已知正三棱錐PABC的側(cè)面是直角三角形,PA6.頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D,D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G.(1)證明:G是AB的中點;(2)在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說明作法及理由),并求四面體PDEF的體積解析:(1)證明:因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以ABPD.因為D在平面PAB內(nèi)的正投影為E,所以ABDE.因

11、為PDDED,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知,可得PAPB,所以G是AB的中點(2)在平面PAB內(nèi),過點E作PB的平行線交PA于點F,F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即點F為E在平面PAC內(nèi)的正投影連接CG,因為P在平面ABC內(nèi)的正投影為D,所以D是正三角形ABC的中心由(1)知,G是AB的中點,所以D在CG上,故CDCG.由題設(shè)可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PEPG,DEPC.由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA6,可得DE2,PE2.在等腰直角三角形EFP中,可得EFPF2,所以四面體PDEF的體積V222.

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