《（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 第六單元 解三角形學案 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 第六單元 解三角形學案 文（39頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第六單元 解三角形教材復習課“解三角形”相關基礎知識一課過正弦定理、余弦定理過雙基1正弦定理2R，其中R是三角形外接圓的半徑由正弦定理可以變形：(1)abcsin_Asin_Bsin_C；(2)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos B，c2a2b22abcos_C.余弦定理可以變形：cos A，cos B，cos C.1設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a2，c2 ，cos A，且bc，則b()A3B2C2 D.解析：選C由a2b2c22bccos A，得4b2126b，解得b2或4，bc，b2.
2、2在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2c2a2bc，則角A的大小為()A30 B60C120 D150解析：選B由余弦定理可得b2c2a22bccos A，又因為b2c2a2bc，所以cos A，則A60.3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asin Absin Bcsin C，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析：選C根據正弦定理可得a2b2c2.由余弦定理得cos C0，所以角C是鈍角，故選C.4(2018鄭州質量預測)已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，且(bc)(sin Bsin C)(ac)sin
3、A，則角B的大小為()A30 B45C60 D120解析：選A由正弦定理及(bc)(sin Bsin C)(ac)sin A，得(bc)(bc)(ac)a，即b2c2a2ac，所以a2c2b2ac，又因為cos B，所以cos B，所以B30.5在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bcos Cbsin Ca0，則B_.解析：由正弦定理可得sin Bcos Csin Bsin Csin Asin(BC)sin Bcos Csin Ccos B，則sin Bsin Csin Ccos B，又sin C0，所以tan B，則B30.答案：30清易錯1由正弦定理解已知三角形的兩邊和其中
4、一邊的對角求另一邊的對角時易忽視解的判斷2利用正、余弦定理解三角形時，要注意三角形內角和定理對角的范圍的限制1在ABC中，若a18，b24，A45，則此三角形解的情況是()A無解 B兩解C一解 D不確定解析：選B，sin Bsin Asin 45.又ab，B有兩個解，即此三角形有兩解2設ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若a，sin B，C，則b_.解析：在ABC中，sin B，0B，B或B.又BC1.角B不存在，即滿足條件的三角形不存在3在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若c2a，b4，cos B.則c的值為()A4 B2C5 D6解析：選Ac2a，b4，cos
5、B，由余弦定理得b2a2c22accos B，即16c2c2c2c2，解得c4.4已知ABC中，內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若A，b2acos B，c1，則ABC的面積等于()A. B.C. D.解析：選B由正弦定理得sin B2sin Acos B，故tan B2sin A2sin，又B(0，)，所以B，又AB，則ABC是正三角形，所以SABCbcsin A11.5(2018湖南四校聯考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(a2b2c2)tan Cab，則角C的大小為()A.或 B.或C. D.解析：選A由題意知，cos C，sin C，又C(0，)，C或.6已知
6、A，B兩地間的距離為10 km，B，C兩地間的距離為20 km，現測得ABC120，則A，C兩地間的距離為()A10 km B10 kmC10 km D10 km解析：選D如圖所示，由余弦定理可得，AC210040021020cos 120700，AC10(km)7(2018貴州質檢)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c2(ab)26，C，則ABC的面積是()A3 B.C. D3解析：選Cc2(ab)26，c2a2b22ab6.C，c2a2b22abcos a2b2ab.由得ab60，即ab6.SABCabsin C6.8一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40 n mile的速度
7、沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是()A10 n mileB10 n mileC20 n mile D20 n mile解析：選A畫出示意圖如圖所示，易知，在ABC中，AB20，CAB30，ACB45，根據正弦定理得，解得BC10.故B，C兩點間的距離是10 n mile.二、填空題9在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a2，cos C，3sin A2sin B，則c_.解析：因為3sin A2sin B，所以由正弦定理可得3a2b，則b3，由余弦
8、定理可得c2a2b22abcos C4922316，則c4.答案：410在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若角A，B，C成等差數列，且邊a，b，c成等比數列，則ABC的形狀為_解析：在ABC中，角A，B，C成等差數列，2BAC，由三角形內角和定理，可得B，又邊a，b，c成等比數列，b2ac，由余弦定理可得b2a2c22accos B，aca2c2ac，即a2c22ac0，故(ac)20，可得ac，所以ABC的形狀為等邊三角形答案：等邊三角形11已知ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且ax，b2，B45，若三角形有兩解，則x的取值范圍為_解析：由ACb2，要使三角形
9、有兩解，就是要使以C為圓心，以2為半徑的圓與AB有兩個交點，當A90時，圓與AB相切，只有一解；當A45時，交于B點，也就是只有一解，所以要使三角形有兩解，需滿足45A90，即sin A1，由正弦定理可得ax2sin A，所以2xb，a5，c6，sin B.(1)求b和sin A的值；(2)求sin的值解(1)在ABC中，因為ab，故由sin B，可得cos B.由已知及余弦定理，得b2a2c22accos B13，所以b.由正弦定理，得sin A.所以b的值為，sin A的值為.(2)由(1)及ac，得cos A，所以sin 2A2sin Acos A，cos 2A12sin2A.故sins
10、in 2Acoscos 2Asin.方法技巧應用正、余弦定理的解題策略(1)解三角形時，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時，則考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到(2)三角形解的個數的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據三角函數值的有界性和大邊對大角定理進行判斷即時演練1(2017山東高考)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，則下列
11、等式成立的是()Aa2bBb2aCA2B DB2A解析：選A由題意可知sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，即2sin Bcos Csin Acos C，又cos C0，故2sin Bsin A，由正弦定理可知a2b.2(2017全國卷)ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcos Bacos Cccos A，則B_.解析：法一：由2bcos Bacos Cccos A及正弦定理，得2sin Bcos Bsin Acos Csin Ccos Asin(AC)sin B0，因此cos B.又0B，所以B.法二：由2bcos Bacos Cccos A及
12、余弦定理，得2bac，整理得，a2c2b2ac，所以2accos Bac0，cos B.又0B，所以B.答案：3.(2018成都二診)如圖，在平面四邊形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB邊上取點E，使得BE1，連接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的長解：(1)在BEC中，由正弦定理，知.B，BE1，CE，sinBCE.(2)CEDB，DEABCE，cosDEA.A，AED為直角三角形，又AE5，ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282249.CD7.利用正、余弦定理判斷三角形形狀要判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考
13、，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.依據已知條件中的邊角關系判斷時，主要有如下兩條途徑：(1)角化邊；(2)邊化角.典例在ABC中，“(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)”，試判斷三角形的形狀解(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：用“邊化角”解題由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsi
14、n B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B，又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC為等腰三角形或直角三角形法二：用“角化邊”解題由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2)0，a2b20或a2b2c20.即ab或a2b2c2.ABC為等腰三角形或直角三角形方法技巧判斷三角形形狀的2種方法(1)“邊化角”利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含內角的三角函數間的關系，通過三角函數恒等變
15、形，得出內角的關系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應用ABC這個結論(2)“角化邊”利用正弦、余弦定理把已知條件轉化為只含邊的關系，通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀提醒在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應移項提取公因式，以免漏解即時演練1設ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos Cccos Basin A，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析：選B依據題設條件的特點，由正弦定理，得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，有sin(BC)sin2A，從而sin(BC)sin Asin2
16、A，解得sin A1，A，ABC是直角三角形2在ABC中，“2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，且sin Bsin C1”，試判斷ABC的形狀解：由已知，根據正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc，由余弦定理得，cos A，sin A，則sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，所以sin Bsin C，解得sin Bsin C.因為0B，0C0，所以新三角形中最大的角是一個銳角，故選A.3(2018太原模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若b2c2a2bc，且ba，則下列關系一定不成立的是()A
17、ac BbcC2ac Da2b2c2解析：選B由余弦定理，得cos A，則A30.又ba，由正弦定理得sin Bsin Asin 30，所以B60或120.當B60時，ABC為直角三角形，且2ac，可知C、D成立；當B120時，C30，所以AC，即ac，可知A成立，故選B.4在直角梯形ABCD中，ABCD，ABC90，AB2BC2CD，則cosDAC()A. B.C. D.解析：選B如圖所示，設CDa，則易知ACa，ADa，在ACD中，CD2AD2AC22ADACcosDAC，a2(a)2(a)22aacosDAC，cosDAC.5在ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ABC的面
18、積為S，且2S(ab)2c2，則tan C等于()A. B.C D解析：選C因為2S(ab)2c2a2b2c22ab，則由面積公式與余弦定理，得absin C2abcos C2ab，即sin C2cos C2，所以(sin C2cos C)24，即4，所以4，解得tan C或tan C0(舍去)6在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足b2c2a2bc，0，a，則bc的取值范圍是()A. B.C. D.解析：選B在ABC中，b2c2a2bc，由余弦定理可得cos A，A是ABC的內角，A60.a，由正弦定理得1，bcsin Bsin(120B)sin Bcos Bsin(B30
19、)|cos(B)0，cos B0，B為鈍角，90B120，120B30150，故sin(B30)，bcsin(B30).二、填空題7在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2ccos B2ab，若ABC的面積Sc，則ab的最小值為_解析：將2ccos B2ab中的邊化為角可得2sin Ccos B2sin Asin B2sin Ccos B2sin Bcos Csin B則2sin Bcos Csin B0，因為sin B0，所以cos C，則C120，所以Sabsin 120c，則cab.由余弦定理可得2a2b22abcos C3ab，則ab12，當且僅當ab2時取等號，所以ab的
20、最小值為12.答案：128(2017浙江高考)已知ABC，ABAC4，BC2.點D為AB延長線上一點，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_.解析：在ABC中，ABAC4，BC2，由余弦定理得cosABC，則sinABCsinCBD，所以SBDCBDBCsinCBD22.因為BDBC2，所以CDBABC，則cosCDB .答案：9已知a，b，c分別為ABC三個內角A，B，C的對邊，a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，則ABC面積的最大值為_解析：因為a2，且(2b)(sin Asin B)(cb)sin C，所以(ab)(sin Asin B)(cb)si
21、n C.由正弦定理得b2c2bc4，又因為b2c22bc，所以bc4，當且僅當bc2時取等號，此時三角形為等邊三角形，所以Sbcsin 604，故ABC的面積的最大值為.答案：三、解答題10(2017天津高考)在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知asin A4bsin B，ac(a2b2c2)(1)求cos A的值；(2)求sin(2BA)的值解：(1)由asin A4bsin B，及，得a2b.由ac(a2b2c2)及余弦定理，得cos A.(2)由(1)，可得sin A，代入asin A4bsin B，得sin B.由(1)知，A為鈍角，所以cos B.于是sin 2B
22、2sin Bcos B，cos 2B12sin2B，故sin(2BA)sin 2Bcos Acos 2Bsin A.11在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知asin Bbcos A.(1)求角A的大?。?2)若a，b2，求ABC的面積解：(1)因為asin Bbcos A，由正弦定理得sin Asin Bsin Bcos A.又sin B0，從而tan A.由于0A0，所以c3.故ABC的面積Sbcsin A.法二：由正弦定理，得，從而sin B，又由ab，知AB，所以cos B.故sin Csin(AB)sinsin Bcos cos Bsin .所以ABC的面積Sabsin
23、 C.12在ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin B(acos Bbcos A)ccos B.(1)求B；(2)若b2，ABC的面積為2，求ABC的周長解：(1)由正弦定理得，sin B(sin Acos Bsin Bcos A)sin Ccos B，sin Bsin(AB)sin Ccos B，sin Bsin Csin Ccos B.sin C0，sin Bcos B，即tan B.B(0，)，B.(2)SABCacsin Bac2，ac8.根據余弦定理得，b2a2c22accos B，12a2c28，即a2c220，ac6，ABC的周長為62.1在平面五邊形ABCDE
24、中，已知A120，B90，C120，E90，AB3，AE3，當五邊形ABCDE的面積S時，則BC的取值范圍為_解析：因為AB3，AE3，且A120，由余弦定理可得BE3，且ABEAEB30.又B90，E90，所以DEBEBC60.又C120，所以四邊形BCDE是等腰梯形易得三角形ABE的面積為，所以四邊形BCDE的面積的取值范圍是.在等腰梯形BCDE中，令BCx，則CD3x，且梯形的高為，故梯形BCDE的面積為(33x)，即15(6x)x24，解得x2或4x5.答案：，2)(4，52.如圖，有一直徑為8 m的半圓形空地，現計劃種植果樹，但需要有輔助光照半圓周上的C處恰有一可旋轉光源滿足果樹生長
25、的需要，該光源照射范圍是ECF，點E，F在直徑AB上，且ABC.(1)若CE，求AE的長；(2)設ACE，求該空地種植果樹的最大面積解：(1)由已知得ABC為直角三角形，因為AB8，ABC，所以BAC，AC4.在ACE中，由余弦定理得，CE2AC2AE22ACAEcos A，且CE，所以1316AE24AE，解得AE1或AE3.(2)因為ACB，ECF，所以ACE，所以AFCBACACF，在ACF中，由正弦定理得，所以CF，在ACE中，由正弦定理得，所以CE，所以SECFCECFsinECF.因為，所以2，所以0sin1，所以當sin0，即時，SECF取得最大值為4.即該空地種植果樹的最大面積
26、為4 m2.高考研究課(二)正、余弦定理的3個應用點高度、距離和角度全國卷5年命題分析考點考查頻度考查角度高度問題5年1考測量山高問題距離問題未考查角度問題未考查測量高度問題典例如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.解析由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100 (m)答案100方法技巧利用正、余弦定理求解高度問題應注意
27、的3個方面(1)在處理有關高度問題時，要理解仰角、俯角(它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是關鍵(2)在實際問題中，可能會遇到空間與平面(地面)同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉化為平面問題即時演練1.要測量底部不能到達的電視塔AB的高度，在C點測得塔頂A的仰角是45，在D點測得塔頂A的仰角是30，并測得水平面上的BCD120，CD40 m，則電視塔的高度為()A10 mB20 mC20 m D40 m解析：選D設電視塔的高度為x m，則BCx，BDx.在B
28、CD中，根據余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x40或x20(舍去)故電視塔的高度為40 m.2.如圖，為測得河岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60，再由點C沿北偏東15方向走10 m到位置D，測得BDC45，則塔AB的高是_m.解析：在BCD中，CD10，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理得，所以BC10.在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m)答案：10測量距離問題典例如圖所示，A，B兩點在一條河的兩岸，測量者在A的同側，且B點不可到達，要測出A，B的距離，其方法
29、在A所在的岸邊選定一點C，可以測出A，C的距離m，再借助儀器，測出ACB，CAB，在ABC中，運用正弦定理就可以求出AB.若測出AC60 m，BAC75，BCA45，則A，B兩點間的距離為_m.解析ABC180754560，由正弦定理得，AB20(m)即A，B兩點間的距離為20 m.答案20方法技巧求距離問題的2個注意事項(1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解(2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理即時演練1.如圖所示，要測量一水塘兩側A，B兩點間的距離，其方法先選定適當的位
30、置C，用經緯儀測出角，再分別測出AC，BC的長b，a，則可求出A，B兩點間的距離即AB.若測得CA400 m，CB600 m，ACB60，則AB的長為_m.解析：在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcosACB，AB2400260022400600cos 60280 000.AB200 (m)即A，B兩點間的距離為200 m.答案：200 2.隔河看兩目標A與B，但不能到達，在岸邊選取相距 km的C，D兩點，同時，測得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面內)，求兩目標A，B之間的距離解：在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD
31、.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60，由正弦定理知BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcosACB()222cos 75325，所以AB ，所以A，B兩目標之間的距離為 km.角度問題典例(2018南昌模擬)如圖所示，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救，甲船立即前往營救，同時把消息告知在甲船的南偏西30相距10海里C處的乙船，乙船立即朝北偏東30角的方向沿直線前往B處營救，則sin 的值為()A. B.C. D.解析如圖，連接BC，在ABC中，AC10，AB20，BAC120，由余弦定理，得BC2AC2AB22ABAC
32、cos 120700，BC10， 再由正弦定理，得，sin .答案A方法技巧解決測量角度問題的3個注意點(1)明確方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據題意正確畫出示意圖，這是最關鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉化為可用數學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯袂”使用即時演練1.如圖，兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10 B北偏西10C南偏東80 D南偏西80解析：選D由條件及圖可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80.2.如圖，位于A處
33、的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船，現乙船朝北偏東的方向沿直線CB前往B處救援，求cos 的值解：如題中圖所示，在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800BC20.由正弦定理，得sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB為銳角，則cosACB.由ACB30，得cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.1(2014全國卷)如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點從A點測得M點的仰角MAN60，C點的仰角CAB45以及MAC75；從C點測得MCA60，已知山高BC100 m，則山高MN_m.解析：在ABC中，AC100，在MAC中，由正弦定理得，解得MA100，在MNA中，MNMAsin 60150.即山高MN為150 m.答案：1502.(2014四川高考)如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高是60 m，則河流的寬度BC等于()A240(1)mB180(1)mC120(1)mD30(1)m解析：選Ctan 15tan(6045)2，BC60tan 6060tan
（全國通用版）2019版高考數學一輪復習 第六單元 解三角形學案 文
