2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)46 圓錐曲線的綜合問題 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 解析幾何 課堂達(dá)標(biāo)46 圓錐曲線的綜合問題 文 新人教版1已知點(diǎn)A(0,2)和雙曲線x21,過點(diǎn)A與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的條數(shù)為()A1B2C3D4解析設(shè)過點(diǎn)A(0,2)的直線為ykx2.由得(4k2)x24kx80.當(dāng)k24即k2時(shí),方程只有一解,即只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)k24,方程有一解時(shí)(4k)24(4k2)(8)0,k28,k2,為切線斜率,共有4條直線故選D.答案D2(2018嘉定模擬)過點(diǎn)P(1,1)作直線與雙曲線x21交于A,B兩點(diǎn),使點(diǎn)P為AB中點(diǎn),則這樣的直線()A存在一條,且方程為2xy10B存在無(wú)數(shù)條C存在兩條,方程為2x(y1)0D不存

2、在解析設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x22,y1y22,則xy1,xy1,兩式相減得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0,所以x1x2(y1y2),即kAB2,故所求直線方程為y12(x1),即2xy10.聯(lián)立可得2x24x30,但此方程沒有實(shí)數(shù)解,故這樣的直線不存在故選D.答案D3若直線ykx2與雙曲線x2y26的右支交于不同的兩點(diǎn),則k的取值范圍是()A. B.C. D.解析由得(1k2)x24kx100.設(shè)直線與雙曲線右支交于不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則解得k0)的焦點(diǎn)F的直線l依次交拋物線及其準(zhǔn)線于點(diǎn)A,B,C,若|BC|2|BF|,且|

3、AF|3,則拋物線的方程是_解析如圖,分別過點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線AE,BD,分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)E,D,則|BF|BD|,|BC|2|BF|,|BC|2|BD|,BCD30,又|AE|AF|3,|AC|6,即點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),根據(jù)題意得p,拋物線的方程是y23x.答案y23x10已知橢圓C:1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí),求k的值解(1)由題意得解得b,所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則y1k(x11)

4、,y2k(x21),x1x2,x1x2,所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2,0)到直線yk(x1)的距離d,所以AMN的面積為S|MN|d,由,解得k1.B能力提升練1(2018河南洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知雙曲線C:1(a0,b0)斜率為1的直線過雙曲線C的左焦點(diǎn)且與該雙曲線交于A,B兩點(diǎn),若與向量n(3,1)共線,則雙曲線C的離心率為()A. B.C. D3解析由題意得直線方程為yxc,代入雙曲線的方程并整理可得(b2a2)x22a2cxa2c2a2b20,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2,y1y2x1x22c,又與向量n(3,1)共線,3,a23b2,又c2a2b2,e.答案B2(2018

5、麗水一模)斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最大值為()A2 B.C. D.解析設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),直線l的方程為yxt,由消去y,得5x28tx4(t21)0.則x1x2t,x1x2.|AB|x1x2|,當(dāng)t0時(shí),|AB|max.答案C3如圖,正方形ABCD和正方形DEFG的邊長(zhǎng)分別為a,b(a0)經(jīng)過C,F(xiàn)兩點(diǎn),則_.解析由正方形的定義可知BCCD,結(jié)合拋物線的定義得點(diǎn)D為拋物線的焦點(diǎn),所以|AD|pa,D(,0),F(xiàn)(b,b),將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線的方程得b22p(b)a22ab,變形得()210,解得1或1(舍去),所以1.

6、答案14已知雙曲線C:x21,直線y2xm與雙曲線C的右支交于A,B兩點(diǎn)(A在B的上方),且與y軸交于點(diǎn)M,則的取值范圍為_解析由可得x24mxm230,由題意得方程在1,)上有兩個(gè)不相等的實(shí)根,設(shè)f(x)x24mxm23,則得m1,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x11得,的取值范圍為(1,74)答案(1,74)5設(shè)拋物線過定點(diǎn)A(1,0),且以直線x1為準(zhǔn)線(1)求拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程;(2)若直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)M,N,且線段MN恰被直線x平分,設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為ykxm,試求m的取值范圍解(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)為P(x,y),則焦點(diǎn)F(2x1,y)再根據(jù)拋物線的

7、定義得|AF|2,即(2x)2y24,所以軌跡C的方程為x21.(2)設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P,M(xM,yM),N(xN,yN),則由點(diǎn)M,N為橢圓C上的點(diǎn),可知兩式相減,得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0,將xMxN21,yMyN2y0,代入上式得k.又點(diǎn)P在弦MN的垂直平分線上,所以y0km.所以my0ky0.由點(diǎn)P在線段BB上,所以yBy0yB,也即y0.所以m,且m0.C尖子生專練(2018山東省煙臺(tái)市期末)已知ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(0,),(0,),且AC,BC所在直線的斜率之積等于m(m0)(1)求頂點(diǎn)C的軌跡的方程,并判斷軌跡為何種曲線;(2)當(dāng)m時(shí)

8、,設(shè)點(diǎn)P(0,1),過點(diǎn)P作直線l與曲線交于E,F(xiàn)兩點(diǎn),且,求直線l的方程解(1)令C點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),則直線AC的斜率k1,直線BC的斜率k2,所以有k1k2m,化簡(jiǎn)得,x21(x0)所以當(dāng)m1時(shí),表示以(0,0)為圓心,為半徑的圓,且除去(0,),(0,)兩點(diǎn);當(dāng)m1時(shí),軌跡表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,且除去(0,),(0,)兩點(diǎn);當(dāng)1m0時(shí),軌跡表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且除去(0,),(0,)兩點(diǎn);當(dāng)m0時(shí),軌跡表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線,且除去(0,),(0,)兩點(diǎn)(2)由題意知當(dāng)m時(shí)曲線C為1(x0),當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),不符合題意設(shè)直線l的方程為ykx1,代入橢圓方程整理得(34k2)x28kx80.設(shè)E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),由得,x13x2.由韋達(dá)定理得x1x2,x1x2,所以x2,x,消去x2,解得k,所以直線l的方程為yx1.

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