2022屆高考數(shù)學一輪復習 第十章 復數(shù)、算法、推理與證明 課堂達標57 合情推理與演繹推理 文 新人教版

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1、2022屆高考數(shù)學一輪復習 第十章 復數(shù)、算法、推理與證明 課堂達標57 合情推理與演繹推理 文 新人教版 1.(2018·洛陽統(tǒng)考)下面四個推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確的是(  ) A.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);小前提:π是無理數(shù);結論:π是無限不循環(huán)小數(shù) B.大前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);小前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);結論:π是無理數(shù) C.大前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);小前提:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù);結論:π是無理數(shù) D.大前提:π是無限不循環(huán)小數(shù);小前提:π是無理數(shù);結論:無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù) [解析] A項中小前提不正確,選項C、D都不是由一般性結論到特殊

2、性結論的推理,所以選項A、C、D都不正確,只有B項的推導過程符合演繹推理三段論形式且推理正確. [答案] B 2.(2018·西安八校聯(lián)考)觀察一列算式:1?1,1?2,2?1,1?3,2?2,3?1,1?4,2?3,3?2,4?1,…,則式子3?5是第(  ) A.22項   B.23項    C.24項   D.25項 [解析] 兩數(shù)和為2的有1個,和為3的有2個,和為4的有3個,和為5的有4個,和為6的有5個,和為7的有6個,前面共有21個,3?5是和為8的第3項,所以為第24項. [答案] C 3.(2018·泉州模擬)正偶數(shù)列有一個有趣的現(xiàn)象:①2+4=6;②8+10+

3、12=14+16;③18+20+22+24=26+28+30,…按照這樣的規(guī)律,則2 016所在等式的序號為(  ) A.29   B.30 C.31   D.32 [解析] 由題意知,每個等式正偶數(shù)的個數(shù)組成等差數(shù)列3,5,7,…,2n+1,…,其前n項和Sn==n(n+2)且S31=1 023,即第31個等式中最后一個偶數(shù)是1 023×2=2 046,且第31個等式中含有63個偶數(shù),故2 016在第31個等式中. [答案] C 4.已知f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是fn(x)的導函數(shù),即f2(x)=f′1(x),f3(x)=f′2(x),…,fn+1(

4、x)=f′n(x),n∈N*,則f2 017(x)=(  ) A.sin x+cos x B.-sin x-cos x C.sin x-cos x D.-sin x+cos x [解析] f2(x)=f′1(x)=cos x-sin x,f3(x)=f′2(x)=-sin x-cos x,f4(x)=f′3(x)=-cos x+sin x,f5(x)=f′4(x)=sin x+cos x,f6(x)=f′5(x)=cos x-sin x,…, 可知fn(x)是以4為周期的函數(shù),因為2 017=504×4+1,所以f2 017(x)=f1(x)=sin x+cos x.故選A. [

5、答案] A 5.若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列{bn}也為等差數(shù)列.類比這一性質可知,若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,且{dn}也是等比數(shù)列,則dn的表達式應為(  ) A.dn= B.dn= C.dn= D.dn= [解析] 若{an}是等差數(shù)列,則a1+a2+…+an=na1+d,∴bn=a1+d=n+a1-,即{bn}為等差數(shù)列; 若{cn}是等比數(shù)列,則c1·c2…cn=c·q1+2+…+(n-1)=c1·q,∴dn==c1·q,即{dn}為等比數(shù)列,故選D. [答案] D 6.在直角坐標系xOy中,一個質點從A(a1,a2)出發(fā)沿圖中路線依次經(jīng)過B(a3,a4),C(a

6、5,a6),D(a7,a8),…,按此規(guī)律一直運動下去,則a2 015+a2 016+a2 017等于(  ) A.1 006   B.1 007 C.1 008   D.1 009 [解析] 由直角坐標系可知A(1,1),B(-1,2),C(2,3),D(-2,4),E(3,5),F(xiàn)(-3,6),即a1=1,a2=1,a3=-1,a4=2,a5=2,a6=3,a7=-2,a8=4,…, 由此可知,所有數(shù)列偶數(shù)個都是從1開始逐漸遞增的,且都等于所在的個數(shù)除以2,則a2 016=1 008,每四個數(shù)中有一個負數(shù),且為每組的第三個數(shù),每組的第1個奇數(shù)和第2個奇數(shù)互為相反數(shù),且從-1開

7、始逐漸遞減的,則2 015÷4=503余3,則a2 015=504,a2 017÷4=504余1,∴則a2 017=505,∴a2 015+a2 016+a2 017=-504+1 008+505=1 009. [答案] D 7.(2018·云南名校聯(lián)考)觀察下列等式:13=12,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,…,根據(jù)上述規(guī)律,第n個等式為______. [解析] 由第一個等式13=12,得13=(1+0)2;第二個等式13+23=32,得13+23=(1+2)2;第三個等式13+23+33=62,得13+23+33=(1+2+3)2;第四個等

8、式13+23+33+43=102,得13+23+33+43=(1+2+3+4)2,由此可猜想第n個等式為13+23+33+43+…+n3=(1+2+3+…+n)2=2. [答案] 13+23+33+43+…+n3=2 8.已知f(x)=,f1(x)=f′(x),f2(x)=[f1(x)]′,…,fn+1(x)=[fn(x)]′,n∈N*,經(jīng)計算:f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,…,照此規(guī)律,則fn(x)=__________. [解析] 因為f1(x)=,f2(x)=,f3(x)=,…,所以fn(x)=. [答案]  9.在平面上,我們如果用一條直線去截正方形的一個角,那么

9、截下的一個直角三角形,按下圖所標邊長,由勾股定理有:c2=a2+b2.設想正方形換成正方體,把截線換成如圖的截面,這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐O-LMN,如果用S1,S2,S3表示三個側面面積,S4表示截面面積,那么類比得到的結論是______. [解析] 將側面面積類比為直角三角形的直角邊,截面面積類比為直角三角形的斜邊,可得S+S+S=S. [答案] S+S+S=S 10.在銳角三角形ABC中,求證:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. [證明] ∵△ABC為銳角三角形,∴A+B>, ∴A>-B,∵y=sin x在上是增函數(shù)

10、, ∴sin A>sin=cos B, 同理可得sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. [B能力提升練] 1.[]表示不超過的最大整數(shù). 若S1=[]+[]+[]=3, S2=[]+[]+[]+[]+[]=10, S3=[]+[]+[]+[]+[]+[]+[]=21, … 則Sn=(  ) A.n(n+2) B.n(n+3) C.(n+1)2-1 D.n(2n+1) [解析] 觀察得到:Sn是從開始到(不含)之前共2n+1個n的和,所以Sn為n(2n+1),即[]+[]+[]+

11、…+[]=n(2n+1). [答案] D 2.已知面積為S的凸四邊形中,四條邊長分別記為a1,a2,a3,a4,點P為四邊形內任意一點,且點P到四條邊的距離分別記為h1,h2,h3,h4,若====k,則h1+2h2+3h3+4h4=.類比以上性質,體積為V的三棱錐的每個面的面積分別記為S1,S2,S3,S4,此三棱錐內任一點Q到每個面的距離分別為H1,H2,H3,H4,若====K,則H1+2H2+3H3+4H4=(  ) A. B. C. D. [解析] 根據(jù)三棱錐的體積公式,得S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V,即KH1+2KH2+3KH3+4KH4=3V,

12、∴H1+2H2+3H3+4H4=. [答案] B 3.通過計算可得下列等式: 23-13=3×12+3×1+1; 33-23=3×22+3×2+1; 43-33=3×32+3×3+1; …; (n+1)3-n3=3×n2+3×n+1. 將以上各等式兩邊分別相加,得 (n+1)3-13=3(12+22+…+n2)+3(1+2+3+…+n)+n,即12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1). 類比上述求法,請你求出13+23+33+…+n3的值. [解] ∵24-14=4×13+6×12+4×1+1; 34-24=4×23+6×22+4×2+1; 44-34=4

13、×33+6×32+4×3+1; …; (n+1)4-n4=4×n3+6×n2+4×n+1. 將以上各式兩邊分別相加,得(n+1)4-14 =4×(13+23+…+n3)+6×(12+22+…+n2)+4×(1+2+…+n)+n,∴13+23+…+n3 = =n2(n+1)2. 4.如圖,我們知道,圓環(huán)也可以看作線段AB繞圓心O旋轉一周所形成的平面圖形,又圓環(huán)的面積S=π(R2-r2)=(R-r)×2π×.所以,圓環(huán)的面積等于以線段AB=R-r為寬,以AB中點繞圓心O旋轉一周所形成的圓的周長2π×為長的矩形面積.請你將上述想法拓展到空間,并解決下列問題:若將平面區(qū)域M={(x,y)

14、|(x-d)2+y2≤r2}(其中0

15、f(x)的“拐點”.某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心.若f(x)=x3-x2+3x-,請你根據(jù)這一發(fā)現(xiàn), (1)求函數(shù)f(x)的對稱中心; (2)計算f+f+f+ f+…+f. [解] (1)f′(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1, 由f″(x)=0,即2x-1=0,解得x=. f=×3-×2+3×-=1. 由題中給出的結論,可知函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心為. (2)由(1)知函數(shù)f(x)=x3-x2+3x-的對稱中心為,所以f+f=2, 即f(x)+f(1-x)=2. 故f+f=

16、2, f+f=2, f+f=2, …, f+f=2. 所以f+f+f+f+…+f=×2×2 016=2 016. [C尖子生專練] 某少數(shù)民族的刺繡有著悠久的歷史,下圖(1)、(2)、(3)、(4)她們刺繡最簡單的四個圖案,這些圖案都是由小正方形構成,小正方形數(shù)越多刺繡越漂亮;現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡(小正方形的擺放規(guī)律相同),設第n個圖形包含f(n)個小正方形. (1)求出f(5)的值; (2)利用合情推理的“歸納推理思想”,歸納出f(n+1)與f(n)之間的關系式, 并根據(jù)你得到的關系式求出f(n)的表達式; (3)求+++…+的值. [解] (1)f(5)=41.

17、 f(2)-f(1)=4=4×1 f(3)-f(2)=8=4×2 (2)因為f(4)-f(3)=12=4×3 f(5)-f(4)=16=4×4 由上式規(guī)律,所以得出f(n+1)-f(n)=4n. 因為f(n+1)-f(n)=4n?f(n+1)=f(n)+4n? f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2) =f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3) =… =f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+4 =2n2-2n+1 (3)當n≥2時,==[-],則 +++…+ =1+[1-+-+-+…+-]=1+[1-]=-.

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