2022年高考數(shù)學三輪沖刺 專題12 空間幾何體的三視圖、表面積及體積專項講解與訓練

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1、2022年高考數(shù)學三輪沖刺 專題12 空間幾何體的三視圖、表面積及體積專項講解與訓練 　 一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”． (1)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為(　　) A．3　　　 B．2　　　　 C．2　　 D.2 (2) 某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個面中有若干個是梯

2、形，這些梯形的面積之和為(　　) A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】　(1)B　(2)B 【解析】　(1)根據(jù)三視圖可得該四棱錐的直觀圖(四棱錐P-ABCD)如圖所示，將該四棱錐放入棱長為2的正方體中．由圖可知該四棱錐的最長棱為PD，PD＝＝2.故選B. (2)由多面體的三視圖還原直觀圖如圖所示． 該幾何體由上方的三棱錐A-BCE和下方的三棱柱BCE-B1C1A1構(gòu)成，其中平面CC1A1A和平面BB1A1A是梯形，則梯形的面積之和為2×＝12.故選B. 由三視圖還原到直觀圖的三個步驟 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面． (2)根據(jù)正(主)視圖

3、或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置． 格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是(　　) 【答案】D. 【解析】由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為2，其底面為正方形，面積為2×2＝4，因為該幾何體的體積為×4×2＝，滿足條件，所以俯視圖可以為一個直角三角形．選D. 空間幾何體的表面積和體積 考向1　由空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征計算表面積與體積 1．柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)； (2)S

4、錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)； (3)S臺側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)． 2．柱體、錐體、臺體的體積公式 (1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； (3)V臺＝(S＋＋S′)h(S，S′分別為上下底面面積，h為高)(不要求記憶)． (2017·高考全國卷Ⅰ)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°. (1)證明：平面PAB⊥平面PAD； (2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱錐P-ABCD的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積． 【解析

5、】　(1)證明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD. 由于AB∥CD，故AB⊥PD，從而AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. 考向2　由三視圖計算空間幾何體的體積和表面積 　根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個步驟 第一步：根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀． 第二步：由三視圖中的數(shù)量標示確定該幾何體的各個度量． 第三步：套用相應的面積公式與體積公式計算求解． 格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π　　 B．63

6、π　　　C．42π　　 D.36π (2)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 【答案】　(1)B　(2)B 空間幾何體的表面積與體積的求法 (1)據(jù)三視圖求表面積、體積時，解題的關鍵是對所給三視圖進行分析，得到幾何體的直觀圖； (2)多面體的表面積是各個面的面積之和，求組合體的表面積時要注意重合部分的面積； (3)求規(guī)則幾何體的體積時，只需確定底面與相應的高，而求一些不規(guī)則幾何體的體積時，往往需采用分割或補形思想，轉(zhuǎn)化求解．　 【對點訓練】 1．

7、(2019·廣州五校協(xié)作體第一次診斷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A.＋1 B． C.＋1 D.＋1 【答案】C. 【解析】由三視圖可知該幾何體是一個圓柱和半個圓錐的組合體，故其表面積為π＋1＋2π×2＋π＝＋1，選C. 2．(2017·高考山東卷)由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________． 【答案】：2＋ 【解析】：由題意知該幾何體是由一個長方體和兩個圓柱體構(gòu)成，其中長方體的體積V1＝2×1×1＝2，兩個圓柱體的體積之和V2＝×π×12×1×2＝，所以該幾何體的體積V＝V1＋V2＝2＋.

8、與球有關的切、接問題 考向1　外接球 (1)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) A．π　　　　　　　　 B． C. D. (2)已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 【答案】　(1)B　(2)36π 【解析】　(1)球心到圓柱的底面的距離為圓柱高的，球的半徑為1，則圓柱底面圓的半徑r＝ ＝，故該圓柱的體積V＝π×()2×1＝，故選B. (2)設球O的半徑為R，因為SC為球O的直徑

9、，所以點O為SC的中點，連接AO，OB，因為SA＝AC，SB＝BC，所以AO⊥SC，BO⊥SC，因為平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，所以AO⊥平面SCB，所以VS-ABC＝VA-SBC＝×S△SBC×AO＝×(×SC×OB)×AO，即9＝×(×2R×R)×R，解得R＝3，所以球O的表面積為S＝4πR2＝4π×32＝36π. 考向2　內(nèi)切球 (1)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π　　　　　　　　 B． C．6π D. (2)如圖，在圓柱O1O2 內(nèi)有一個

10、球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1O2 的體積為V1 ，球O的體積為V2 ，則的值是________． 格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某四棱錐的三視圖，則該四棱錐的外接球的表面積為(　　) A．136π B．34π C．25π D．18π 【答案】B. 【解析】由三視圖知，該四棱錐的底面是邊長為3的正方形、高為4，且有一條側(cè)棱垂直于底面，所以可將該四棱錐補形為長、寬、高分別為3、3、4的長方體，該長方體外接球的半徑R即為該四棱錐外接球的半徑，所以2R＝，解得R＝，所以該四棱錐外接球的表面積為4πR2＝34π，選B. 7．(2018·合肥質(zhì)量檢測(二

11、))一個幾何體的三視圖及其尺寸如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B． C．28 D．22＋6 【答案】A. 【解析】由三視圖知，該幾何體為三棱臺，其上、下底面分別是直角邊為2，4的等腰直角三角形，高為2，所以該幾何體的體積V＝×[×2×2＋×4×4＋]×2＝，故選A. 8．一個幾何體的三視圖如圖所示(其中正視圖的弧線為四分之一圓周)，則該幾何體的表面積為(　　) A．72＋6π B．72＋4π C．48＋6π D．48＋4π 【答案】A. 【解析】由三視圖知，該幾何體由一個正方體的部分與一個圓柱的部分組合而成(如圖所示)，其表面積為16×2＋(1

12、6－4＋π)×2＋4×(2＋2＋π)＝72＋6π，故選A. 9．(2019·廣西三市聯(lián)考)如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B. 【解析】該幾何體是一個直三棱柱截去所得，如圖所示，其體積為××3×4×2＝9. 10．(2019·貴陽檢測)三棱錐P-ABC的四個頂點都在體積為的球的表面上，底面ABC所在的小圓面積為16π，則該三棱錐的高的最大值為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C. 【解析】依題意，設題中球的球心為O、半徑為R，△ABC的外接圓半徑為r，則＝，解得R＝5，由πr2

13、＝16π，解得r＝4，又球心O到平面ABC的距離為＝3，因此三棱錐P-ABC的高的最大值為5＋3＝8，選C. (2)在平面PCBM內(nèi)，過點M作MN⊥BC交BC于點N，連接AN，則CN＝PM＝1， 又PM∥BC，所以四邊形PMNC為平行四邊形，所以PC∥MN且PC＝MN， 由(1)得PC⊥平面ABC，所以MN⊥平面ABC， 在△ACN中，AN2＝AC2＋CN2－2AC·CNcos 120°＝3，即AN＝. 又AM＝2，所以在Rt△AMN中，MN＝1，所以PC＝MN＝1. 在平面ABC內(nèi)，過點A作AH⊥BC交BC的延長線于點H，則AH⊥平面PMC， 因為AC＝CN＝1，∠ACB＝1

14、20°，所以∠ANC＝30°. 所以在Rt△AHN中，AH＝AN＝， 而S△PMC＝×1×1＝， 所以VP-MAC＝VA-PMC＝××＝. 6．(2019·成都第一次診斷性檢測)如圖(1)，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，BD與EF交于點H，點G，R分別在線段DH，HB上，且＝.將△AED，△CFD，△BEF分別沿DE，DF，EF折起，使點A，B，C重合于點P，如圖(2)所示． (1)求證：GR⊥平面PEF； (2)若正方形ABCD的邊長為4，求三棱錐P-DEF的內(nèi)切球的半徑． 【解析】：(1)證明：在正方形ABCD中，∠A，∠ABC，∠C為直角． 所以在三棱錐P-DEF中，PE，PF，PD兩兩垂直． 所以PD⊥平面PEF. 因為＝，即＝，所以在△PDH中，RG∥PD. 所以GR⊥平面PEF. (2)正方形ABCD邊長為4. 由題意知，PE＝PF＝2，PD＝4，EF＝2，DF＝2. 所以S△PEF＝2，S△DPF＝S△DPE＝4. S△DEF＝×2×＝6. 設三棱錐P-DEF內(nèi)切球的半徑為r， 則三棱錐的體積VP-DEF＝××2×2×4＝(S△PEF＋2S△DPF＋S△DEF)·r，解得r＝. 所以三棱錐P-DEF的內(nèi)切球的半徑為.