（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題二 立體幾何學(xué)案 理

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1、專題二 立體幾何 高考定位　高考對(duì)本內(nèi)容的考查主要有：(1)空間概念、空間想象能力、點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷、表面積與體積計(jì)算等，A級(jí)要求；(2)線線、線面、面面平行與垂直的證明，B級(jí)要求. 真 題 感 悟 1.(2018·江蘇卷)如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為________. 解析　正方體的棱長(zhǎng)為2，以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體是正八面體，其中正八面體的所有棱長(zhǎng)都是，則該正八面體的體積為×()2×1×2＝. 答案　 2.(2018·江蘇卷)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求證：(1)AB

2、∥平面A1B1C； (2)平面ABB1A1⊥平面A1BC. 證明　(1)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AB∥A1B1. 因?yàn)锳B平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C. (2)在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，四邊形ABB1A1為平行四邊形. 又因?yàn)锳A1＝AB， 所以四邊形ABB1A1為菱形， 因此AB1⊥A1B. 又因?yàn)锳B1⊥B1C1，BC∥B1C1， 所以AB1⊥BC. 又因?yàn)锳1B∩BC＝B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC. 因?yàn)锳B1平面ABB1A1， 所以平面A

3、BB1A1⊥平面A1BC. 3.(2017·江蘇卷)如圖，在三棱錐A－BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EF⊥AD. 求證：(1)EF∥平面ABC； (2)AD⊥AC. 證明　(1)在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳B⊥AD，EF⊥AD，所以EF∥AB. 又因?yàn)镋F平面ABC，AB平面ABC，所以EF∥平面ABC. (2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD， 所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB平面

4、ABC，BC平面ABC， 所以AD⊥平面ABC，又因?yàn)锳C平面ABC，所以AD⊥AC. 4.(2016·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1. 求證：(1)直線DE∥平面A1C1F； (2)平面B1DE⊥平面A1C1F. 證明　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC. 在△ABC中，因?yàn)镈，E分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1. 又DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F. (2)在直三棱柱ABC－

5、A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1. 因?yàn)锳1C1平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1. 又A1C1⊥A1B1，A1A平面ABB1A1，A1B1平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1， 所以A1C1⊥平面ABB1A1.因?yàn)锽1D平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D. 又B1D⊥A1F，A1C1平面A1C1F，A1F平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1， 所以B1D⊥平面A1C1F.因?yàn)橹本€B1D平面B1DE， 所以平面B1DE⊥平面A1C1F. 考 點(diǎn) 整 合 1.四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方體、平行六面體、直平行六面體、長(zhǎng)方體之間的關(guān)系.

6、 2.空間幾何體的兩組常用公式 (1)直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積公式： ①S柱側(cè)＝ch(c為底面周長(zhǎng)，h為高)； ②S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長(zhǎng)，h′為斜高)； ③S臺(tái)側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長(zhǎng)，h′為斜高)； ④S球表＝4πR2(R為球的半徑). (2)柱體、錐體和球的體積公式： ①V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ②V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)； ③V球＝πR3. 3.直線、平面平行的判定及其性質(zhì) (1)線面平行的判定定理：aα，bα，a∥ba∥α. (2)線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，aβ，α∩β＝ba∥b. (

7、3)面面平行的判定定理：aβ，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥αα∥β. (4)面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝ba∥b. 4.直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) (1)線面垂直的判定定理：mα，nα，m∩n＝P，l⊥m，l⊥nl⊥α. (2)線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥αa∥b. (3)面面垂直的判定定理：aβ，a⊥αα⊥β. (4)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，aα，a⊥la⊥β. 熱點(diǎn)一　空間幾何體的有關(guān)計(jì)算 【例1】 (1)(2017·江蘇卷)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個(gè)球O，該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O

8、1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是________. (2)(2018·徐州、連云港、宿遷三檢)在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥平面AB1C1，AA1＝1，底面三角形ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此三棱柱的體積為________. (3)(2017·南通模擬)設(shè)一個(gè)正方體與底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為的正四棱錐的體積相等，則該正方體的棱長(zhǎng)為________. 解析　(1)設(shè)球半徑為R，則圓柱底面圓半徑為R，母線長(zhǎng)為2R.又V1＝πR2·2R＝2πR3，V2＝πR3，所以＝＝. (2)因?yàn)锳A1⊥平面AB1C1，AB1平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知A

9、A1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝＝，同理可得AC1＝，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的邊B1C1上的高為h＝＝，其面積S△AB1C1＝×2×＝，于是三棱錐A－A1B1C1的體積V三棱錐A－A1B1C1＝V三棱錐A1－AB1C1＝×S△AB1C1×AA1＝，進(jìn)而可得此三棱柱ABC－A1B1C1的體積V＝3V三棱錐A－A1B1C1＝3×＝. (3)由題意可得正四棱錐的高為2，體積為×(2)2×2＝8，則正方體的體積為8，所以棱長(zhǎng)為2. 答案　(1)　(2)　(3)2 探究提高　(1)涉及柱、錐及其簡(jiǎn)單組合體的計(jì)算問題，要在正確理解概念的基礎(chǔ)上，畫出符合題意的圖形或輔

10、助線(面)，再分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，從而進(jìn)行解題. (2)求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)換原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上. (3)若所給的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法求解. 【訓(xùn)練1】 (1)(2014·江蘇卷)設(shè)甲、乙兩個(gè)圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.若它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________. (2)(2012·江蘇卷)如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，則四棱錐A －BB1D1D的體積為________cm3. (3)(2018·蘇

11、州調(diào)研)將半徑為5的圓分割成面積之比為1∶2∶3的三個(gè)扇形作為三個(gè)圓錐的側(cè)面，設(shè)這三個(gè)圓錐的底面半徑依次為r1，r2，r3，則r1＋r2＋r3＝________. 解析　(1)設(shè)兩個(gè)圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由＝，得＝，則＝.由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，則＝，所以＝＝. (2)關(guān)鍵是求出四棱錐A －BB1D1D的高，連接AC交BD于O(圖略)，在長(zhǎng)方體中， ∵AB＝AD＝3，∴BD＝3且AC⊥BD.又∵BB1⊥底面ABCD，∴BB1⊥AC. 又DB∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D， ∴AO為四棱錐A －BB1D1

12、D的高且AO＝BD＝. ∵S矩形BB1D1D＝BD×BB1＝3×2＝6， ∴VA －BB1D1D＝S矩形BB1D1D·AO＝×6×＝6(cm3). (3)由題意可得三個(gè)扇形的弧長(zhǎng)分別為，，5π，分別等于三個(gè)圓錐底面圓的周長(zhǎng)，由l＝2πr，則r1＝，r2＝，r3＝，所以r1＋r2＋r3＝＋＋＝5. 答案　(1)　(2)6　(3)5 熱點(diǎn)二　空間中的平行和垂直的判斷與證明 [考法1]　空間線面位置關(guān)系的判斷 【例2－1】 (1)(2017·南京、鹽城模擬)設(shè)α，β為兩個(gè)不同的平面，m，n為兩條不同的直線，下列命題中正確的是________(填上所有正確命題的序號(hào)). ①若α∥β，m

13、α，則m∥β； ②若m∥α，nα，則m∥n； ③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，則m⊥β； ④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，則m⊥β. (2)(2018·鎮(zhèn)江期末)設(shè)b，c表示兩條直線，α，β表示兩個(gè)平面，現(xiàn)給出下列命題： ①若bα，c∥α，則b∥c；②若bα，b∥c，則c∥α；③若c∥α，α⊥β，則c⊥β；④若cα，c⊥β，則α⊥β. 其中正確的命題是________(寫出所有正確命題的序號(hào)). 解析　(1)由面面平行的性質(zhì)可得①正確；若m∥α，nα，則m，n平行或異面，②錯(cuò)誤；由面面垂直的性質(zhì)定理可知③中缺少條件“mα”，③錯(cuò)誤；若n⊥α，n⊥β，則α∥β，又m⊥α，

14、則m⊥β，④正確.綜上，命題正確的是①④. (2)①b和c可能異面，故①錯(cuò)；②可能cα，故②錯(cuò)；③可能c∥β，cβ，故③錯(cuò)；④根據(jù)面面垂直判定定理判定α⊥β，故④正確. 答案　(1)①④　(2)④ 探究提高　長(zhǎng)方體(或正方體)是一類特殊的幾何體，其中蘊(yùn)含著豐富的空間位置關(guān)系.因此，對(duì)于某些研究空間直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的平行、垂直關(guān)系問題，常構(gòu)造長(zhǎng)方體(或正方體)，把點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系轉(zhuǎn)移到長(zhǎng)方體(或正方體)中，對(duì)各條件進(jìn)行檢驗(yàn)或推理，根據(jù)條件在某一特殊情況下不真，則它在一般情況下也不真的原理，判斷條件的真?zhèn)?，可使此類問題迅速獲解. [考法2]　平行、垂直關(guān)系的證

15、明 【例2－2】 (2015·江蘇卷)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.設(shè)AB1的中點(diǎn)為D，B1C∩BC1＝E. 求證：(1)DE∥平面AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 證明　(1)由題意知，E為B1C的中點(diǎn)，又D為AB1的中點(diǎn)，因此DE∥AC. 又因?yàn)镈E平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C. (2)因?yàn)槔庵鵄BC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC. 因?yàn)锳C平面ABC，所以AC⊥CC1. 又因?yàn)锳C⊥BC，CC1平面BCC1B1，BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C， 所

16、以AC⊥平面BCC1B1.又因?yàn)锽C1平面BCC1B1，所以BC1⊥AC. 因?yàn)锽C＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C. 因?yàn)锳C，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，所以BC1⊥平面B1AC. 又因?yàn)锳B1平面B1AC，所以BC1⊥AB1. 【例2－3】 (2018·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn). (1)證明：PO⊥平面ABC； (2)若點(diǎn)M在棱BC上，且MC＝2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離. (1)證明　因?yàn)锳P＝CP＝AC＝4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP＝2

17、. 連接OB.因?yàn)锳B＝BC＝AC，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知，OP⊥OB. 由OP⊥OB，OP⊥AC且OB∩AC＝O，OB，AC平面ABC，知PO⊥平面ABC. (2)解　作CH⊥OM，垂足為H. 又由(1)可得OP⊥CH，OM∩OP＝O，OM，OP平面POM， 所以CH⊥平面POM.故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離. 由題設(shè)可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°. 所以O(shè)M＝＝， 又由OM·CH＝OC·MC·sin∠ACB，CH＝＝. 所以點(diǎn)C到平面POM的距離為. 探究提高　垂直、平行關(guān)

18、系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型. (1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行. (2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. (3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. (4)證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直. 【訓(xùn)練2】 (2017·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn). 求證：(1)CE∥平面PAD； (2)平面EFG⊥平面EMN. 證明　(1)法一　如圖1，取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH. 圖1 又因?yàn)镋為

19、PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB，且EH＝AB.又AB∥CD，CD＝AB， 所以EH∥CD，且EH＝CD.所以四邊形DCEH是平行四邊形.所以CE∥DH. 又DH平面PAD，CE平面PAD，因此，CE∥平面PAD. 圖2 法二　如圖2，連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF＝AB. 又CD＝AB，所以AF＝CD，又AF∥CD， 所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF∥AD. 又CF平面PAD，AD平面PAD，所以CF∥平面PAD. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA. 又EF平面PAD，PA平面PAD，所以EF∥平面PAD. 因?yàn)镃F∩EF＝F，C

20、F平面CEF，EF平面CEF， 故平面CEF∥平面PAD.又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD. (2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA. 又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG. 又EF∩FG＝F，EF平面EFG，F(xiàn)G平面EFG， 因此AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)， 所以MN∥DC，又AB∥DC，所以MN∥AB， 所以MN⊥平面EFG.又MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN. 1.求解幾何體的表面積或體積 (1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算. (2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱

21、錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解. (3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用. (4)求解幾何體的表面積時(shí)要注意S表＝S側(cè)＋S底. 2.錐體體積公式為V＝Sh，在求解錐體體積中，不能漏掉. 3.空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的判定 (1)可以從線、面的概念、定理出發(fā)，學(xué)會(huì)找特例、反例. (2)可以借助長(zhǎng)方體，在理解空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面的位置關(guān)系的定義. 4.垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下： (1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直

22、線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換：三是利用三角形的中位線定理證線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換. (2)證明線線垂直常用的方法：①利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；②勾股定理；③線面垂直的性質(zhì)：即要證兩線垂直，只需證明一線垂直于另一線所在的平面即可，l⊥α，aαl⊥a. 一、填空題 1.(2015·江蘇卷)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個(gè).若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè)，則新的底面半徑為________. 解析　設(shè)新的底面半徑為r，由題意得πr2·4＋πr

23、2·8＝π×52×4＋π×22×8，解得r＝. 答案　 2.(2017·蘇北四市調(diào)研)已知圓錐的母線長(zhǎng)為10 cm，側(cè)面積為60π cm2，則此圓錐的體積為________cm3. 解析　設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，母線為l，則側(cè)面積πrl＝10πr＝60π，解得r＝6，則高h(yuǎn)＝＝8，則此圓錐的體積為πr2h＝π×36×8＝96π. 答案　96π 3.(2018·南京、鹽城、徐州二模)已知平面α，β，直線m，n，給出下列命題： ①若m∥α，n∥β，m⊥n，則α⊥β；②若α∥β，m∥α，n∥β，則m∥n；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，則m⊥n. 其中

24、是真命題的是________(填序號(hào)). 解析　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD∥平面ABC1D1，BC∥平面ADC1B1，且BC⊥CD，又因?yàn)槠矫鍭BC1D1與平面ADC1B1不垂直，故①不正確；因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A1B1C1D1，且B1C1∥平面ABCD，AB∥平面A1B1C1D1，但AB與B1C1不平行，故②不正確.同理，我們以正方體的模型來觀察，可得③④正確. 答案?、邰? 4.已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°且面積為3π的扇形，則該圓錐的體積等于________. 解析　設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓半徑為r，則側(cè)面展開圖扇形的面積為l2·＝3π，

25、l＝3，弧長(zhǎng)為2πr＝l＝2π，故r＝1，則該圓錐的高為h＝＝2，體積為πr2h＝. 答案　 5.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)剪去四個(gè)全等的等腰三角形(如圖1中陰影部分)，折疊成底面邊長(zhǎng)為的正四棱錐S－EFGH(如圖2)，則正四棱錐S－EFGH的體積為________. 解析　連接EG，HF，交點(diǎn)為O，正方形EFGH的對(duì)角線EG＝2，EO＝1，則點(diǎn)E到線段AB的距離為1，EB＝＝，SO＝＝＝2，故正四棱錐S－EFGH的體積為×()2×2＝. 答案　 6.(2018·天津卷)如圖，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則四棱錐A1－BB

26、1D1D的體積為________. 解析　法一　連接A1C1交B1D1于點(diǎn)E，則A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1， 則A1E⊥平面BB1D1D，所以A1E為四棱錐A1－BB1D1D的高，且A1E＝，矩形BB1D1D的長(zhǎng)和寬分別為，1，故VA1－BB1D1D＝×1××＝. 法二　連接BD1，則四棱錐A1－BB1D1D分成兩個(gè)三棱錐B－A1DD1與B－A1B1D1，VA1－BB1D1D＝VB－A1DD1＋VB－A1B1D1＝××1×1×1＋××1×1×1＝. 答案　 7.設(shè)棱長(zhǎng)為a的正方體的體積和表面積分別為V1，S1，底面半徑和高均為r的圓錐的體積和側(cè)面積分別為V2，S2，若＝

27、，則的值為________. 解析　棱長(zhǎng)為a的正方體的體積V1＝a3，表面積S1＝6a2，底面半徑和高均為r的圓錐的體積V2＝πr3，側(cè)面積S2＝πr2，則＝＝，則a＝r， 所以＝＝. 答案　 8.如圖，在圓錐VO中，O為底面圓心，半徑OA⊥OB，且OA＝VO＝1，則O到平面VAB的距離為________. 解析　由題意可得三棱錐V－AOB的體積為V三棱錐V－AOB＝S△AOB·VO＝.△VAB是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其面積為×()2＝，設(shè)點(diǎn)O到平面VAB的距離為h，則V三棱錐O－VAB＝S△VAB·h＝×h＝V三棱錐V－AOB＝，解得h＝，即點(diǎn)O到平面VAB的距離是. 答案　

28、 二、解答題 9.(2014·江蘇卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn).已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5. 求證：(1)直線PA∥平面DEF； (2)平面BDE⊥平面ABC. 證明　(1)因?yàn)镈，E分別為棱PC，AC的中點(diǎn)，所以DE∥PA. 又因?yàn)镻A平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA∥平面DEF. (2)因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)，PA＝6，BC＝8，所以DE∥PA，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4.又因?yàn)镈F＝5，故DF2＝DE2＋EF2， 所以∠DEF＝90°，即DE⊥EF.又PA⊥AC，DE∥P

29、A，所以DE⊥AC. 因?yàn)锳C∩EF＝E，AC平面ABC，EF平面ABC， 所以DE⊥平面ABC.又DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABC. 10.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn). (1)求證：CD⊥AE； (2)求證：PD⊥平面ABE. 證明　(1)在四棱錐P－ABCD中，因?yàn)镻A⊥底面ABCD， CD平面ABCD，故PA⊥CD.因?yàn)锳C⊥CD，PA∩AC＝A， PA平面PAC，AC平面PAC，所以CD⊥平面PAC. 而AE平面PAC，所以CD⊥AE. (2

30、)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA. 因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，PC，CD平面PCD， 所以AE⊥平面PCD.而PD平面PCD，所以AE⊥PD. 因?yàn)镻A⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB. 又因?yàn)锳B⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD平面PAD， 所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD. 又因?yàn)锳B∩AE＝A，AB平面ABE，AE平面ABE， 所以PD⊥平面ABE. 11.如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面AB

31、CD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD，PA平面PAD，所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED為平行四邊形.所以BE∥AD.又因?yàn)锽E平面PAD，AD平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形.所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又因?yàn)镻A∩AD＝A，PA，AD平面PAD， 所以CD⊥平面PAD，從而CD⊥PD，且CD平面PCD， 又E，F(xiàn)分別是CD和CP的中點(diǎn)，所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF內(nèi)，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF. 又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 14