（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 8 第8講 直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系教學(xué)案

《（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 8 第8講 直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 8 第8講 直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系教學(xué)案（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定(1)代數(shù)法：把圓錐曲線方程C1與直線方程l聯(lián)立消去y，整理得到關(guān)于x的方程ax2bxc0.方程ax2bxc0的解l與C1的交點(diǎn)a0b0無(wú)解(含l是雙曲線的漸近線)無(wú)公共點(diǎn)b0有一解(含l與拋物線的對(duì)稱(chēng)軸平行(重合)或與雙曲線的漸近線平行)一個(gè)交點(diǎn)a00兩個(gè)不相等的解兩個(gè)交點(diǎn)0兩個(gè)相等的解一個(gè)交點(diǎn)0無(wú)實(shí)數(shù)解無(wú)交點(diǎn)(2)幾何法：在同一直角坐標(biāo)系中畫(huà)出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質(zhì)可判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2直線與圓錐曲線的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則

2、|AB |x1x2| |y1y2| .3與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的常用結(jié)論(以右圖為依據(jù))設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p(為直線AB的傾斜角)(3)為定值.(4)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(5)以AF或BF為直徑的圓與y軸相切教材衍化1(選修21P80A組T8改編)已知與向量v(1，0)平行的直線l與雙曲線y21相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|的最小值為_(kāi)解析：由題意可設(shè)直線l的方程為ym，代入y21得x24(1m2)，所以x1 2，x22，所以|AB|x1x2|44，即當(dāng)m0時(shí)，|AB|有最小值4.答案：42(選修21P72練習(xí)T4改編)過(guò)拋

3、物線y24x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1x26，則|PQ|_解析：拋物線y24x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x1.根據(jù)題意可得，|PQ|PF|QF|x11x21x1x228.答案：8易錯(cuò)糾偏(1)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)直線過(guò)定點(diǎn)，導(dǎo)致運(yùn)算量偏大；(2)不會(huì)用函數(shù)法解最值問(wèn)題；(3)錯(cuò)用雙曲線的幾何性質(zhì)1直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為()A相交B相切C相離 D不確定解析：選A.直線ykxk1k(x1)1恒過(guò)定點(diǎn)(1，1)，又點(diǎn)(1，1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交故選A.2如圖，兩條距離為4的直線都與y軸平行，它們與拋物線y22px(0p14)和圓(x4)2

4、y29分別交于A，B和C，D，且拋物線的準(zhǔn)線與圓相切，則當(dāng)|AB|CD|取得最大值時(shí)，直線AB的方程為_(kāi)解析：根據(jù)題意，由拋物線的準(zhǔn)線與圓相切可得1或7，又0p14，故p2，設(shè)直線AB的方程為xt(0t3)，則直線CD的方程為x4t，則|AB|CD|228(0t3)，設(shè)f(t)t(9t2)(0t3)，則f(t)93t2(0t3)，令f(t)00t，令f(t)0t3，故f(t)maxf()，此時(shí)直線AB的方程為x.答案：x3已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若ABF2是鈍角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是_解析：由題設(shè)條

5、件可知ABF2為等腰三角形，只要AF2B為鈍角即可，所以有2c，即b22ac，所以c2a22ac，即e22e10，所以e1.答案：(1，)直線與橢圓的位置關(guān)系 (2020浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)已知橢圓C：1(ab0)，經(jīng)過(guò)橢圓C上一點(diǎn)P的直線l：yx與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若AB是橢圓的一條動(dòng)弦，且|AB|，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB面積的最大值【解】(1)因?yàn)镻(2，)在橢圓上，故1，同時(shí)聯(lián)立，得b2x2a2a2b2，化簡(jiǎn)得x2a2xa2a2b20，由0，可得a212，b23，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，

6、y2)，當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，直線AB的方程為ykxb1，聯(lián)立得(4k21)x28kb1x4(b3)0，故x1x2，x1x2，由|AB|2(1k2)(x2x1)2(1k2)(x2x1)24x1x2，得b3(14k2)，故原點(diǎn)O到直線AB的距離d，所以S，令u，則S29.又因?yàn)閡41，4)，當(dāng)u時(shí)，S9，當(dāng)斜率不存在時(shí)，AOB的面積為，綜上所述可得AOB面積的最大值為3.判斷直線與橢圓位置關(guān)系的步驟(1)聯(lián)立直線方程與橢圓方程；(2)消元得出關(guān)于x(或y)的一元二次方程；(3)當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相交；當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相切；當(dāng)0時(shí)，直線與橢圓相離 (2020舟山市普陀三中高三期中)已知橢圓C：1

7、(ab0)的離心率e，它的一個(gè)頂點(diǎn)在拋物線x24y的準(zhǔn)線上(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓C上兩點(diǎn)，已知m，n，且mn0.求的取值范圍；判斷OAB的面積是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)因?yàn)閽佄锞€x24y的準(zhǔn)線為y，所以b.由ea.所以橢圓C的方程為1.(2)由mn0得x1x23y1y2，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)所在直線為l，當(dāng)l斜率不存在時(shí)，則A(x1，y1)，B(x1，y1)，所以x3y，又1，所以y1.所以x1x2y1y22y2.當(dāng)l斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為ykxm，聯(lián)立得(13k2)x26kmx3m260，所以3

8、6k2m212(3k21)(m22)12(6k2m22)0，()且x1x2，x1x2.由x1x23y1y23(kx1m)(kx2m)(13k2)x1x23km(x1x2)3m20，整理得13k2m2.()所以x1x2y1y2x1x22，由()()得m213k21，所以04，所以22.綜上可得22.由知，l斜率不存在時(shí)，SOAB|x1y1|y，l斜率存在時(shí)，SOAB|AB|d |x1x2|m|，將m213k2代入整理得SOAB，所以O(shè)AB的面積為定值.直線與拋物線的位置關(guān)系 (2019高考浙江卷)如圖，已知點(diǎn)F(1，0)為拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在拋物

9、線上，使得ABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點(diǎn)Q，且Q在點(diǎn)F的右側(cè)記AFG，CQG的面積分別為S1，S2.(1)求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)G的坐標(biāo)【解】(1)由題意得1，即p2.所以?huà)佄锞€的準(zhǔn)線方程為x1.(2)設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，重心G(xG，yG)令yA2t，t0，則xAt2.由于直線AB過(guò)點(diǎn)F，故直線AB的方程為xy1，代入y24x，得y2y40，故2tyB4，即yB，所以B.又由于xG(xAxBxC)，yG(yAyByC)及重心G在x軸上，故2tyC0，得C，G.所以直線AC的方程為y2t2t(xt2)，得Q(t21，

10、0)由于Q在焦點(diǎn)F的右側(cè)，故t22.從而2.令mt22，則m0，2221.所以當(dāng)m時(shí)，取得最小值1，此時(shí)G(2，0)解決直線與拋物線位置關(guān)系的常用方法(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|x1|x2|p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法提醒涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)，一般用“點(diǎn)差法”求解 (2020嘉興市高三上學(xué)期期末)已知拋物線C的方程為y22px(p

11、0)，拋物線的焦點(diǎn)到直線l：y2x2的距離為.(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)點(diǎn)R(x0，2)在拋物線C上，過(guò)點(diǎn)Q(1，1)作直線交拋物線C于不同于R的兩點(diǎn)A，B，若直線AR，BR分別交直線l于M，N兩點(diǎn)，求|MN|最小時(shí)直線AB的方程解：(1)拋物線的焦點(diǎn)為，d，得p2或6(舍去)，所以?huà)佄锞€C的方程為y24x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)R(x0，2)在拋物線C上，所以x01，得R(1，2)設(shè)直線AB為xm(y1)1(m0)，A，B，由得y24my4m40，所以y1y24m，y1y24m4，直線AR方程為y2(x1)(x1)，由，得xM，同理xN，所以|MN|xMxN|22 2 2，所以當(dāng)m1時(shí)，|MN|

12、min，此時(shí)直線AB的方程為xy20.弦長(zhǎng)問(wèn)題如圖，設(shè)橢圓y21(a1)(1)求直線ykx1被橢圓截得的線段長(zhǎng)(用a，k表示)；(2)若任意以點(diǎn)A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)， 求橢圓離心率的取值范圍【解】(1)設(shè)直線ykx1被橢圓截得的線段為AP，由得(1a2k2)x22a2kx0，故x10，x2.因此|AP| |x1x2|.(2)假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有4個(gè)，由對(duì)稱(chēng)性可設(shè)y軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q ，滿(mǎn)足|AP|AQ|.記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，且k1，k20，k1k2.由(1)知，|AP|，|AQ|，故，所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1

13、k2，k1，k20得1kka2(2a2)kk0，因此1a2(a22)，因?yàn)槭疥P(guān)于k1，k2的方程有解的充要條件是1a2(a22)1，所以a.因此，任意以點(diǎn)A(0，1)為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為1a，由e得，所求離心率的取值范圍為0e.弦長(zhǎng)的計(jì)算方法求弦長(zhǎng)時(shí)可利用弦長(zhǎng)公式，根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后進(jìn)行整體代入弦長(zhǎng)公式求解提醒兩種特殊情況：(1)直線與圓錐曲線的對(duì)稱(chēng)軸平行或垂直；(2)直線過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn) 已知橢圓C：1(ab0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2，0)，離心率為.直線yk(x1)與橢圓C交于不

14、同的兩點(diǎn)M，N.(1)求橢圓C的方程；(2)當(dāng)AMN的面積為時(shí)，求k的值解：(1)由題意得解得b，所以橢圓C的方程為1.(2)由得(12k2)x24k2x2k240.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則y1k(x11)，y2k(x21)，x1x2，x1x2，所以|MN|.又因?yàn)辄c(diǎn)A(2，0)到直線yk(x1)的距離d，所以AMN的面積為S|MN|d，由，解得k1.中點(diǎn)弦問(wèn)題 (2018高考浙江卷)如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y24x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足PA，PB的中點(diǎn)均在C上(1)設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；(2)若P是半橢圓x21(

15、x0)上的動(dòng)點(diǎn)，求PAB面積的取值范圍【解】(1)設(shè)P(x0，y0)，A，B.因?yàn)镻A，PB的中點(diǎn)在拋物線上，所以y1，y2為方程4即y22y0y8x0y0的兩個(gè)不同的實(shí)根所以y1y22y0，因此，PM垂直于y軸(2)由(1)可知所以|PM|(yy)x0y3x0，|y1y2|2.因此，PAB的面積SPAB|PM|y1y2|(y4x0).因?yàn)閤1(x00)交于兩點(diǎn)A，B，當(dāng)2時(shí)，直線l過(guò)定點(diǎn)_；當(dāng)m_時(shí)，以AB為直徑的圓與直線y相切解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得x2kxm0，則x1x2k，x1x2m，y1y2(x1x2)2m2，y1y2k(x1x2)2mk22m，由2，則x1

16、x2y1y2m2m2，即m2m20，解得m1或m2，由m0，則m2，直線l：ykx2，所以直線l過(guò)定點(diǎn)(0，2)，設(shè)以AB為直徑的圓的圓心M(x，y)，圓M與y相切于點(diǎn)P，由x，則P，由題意可知0，即0，整理得x1x2(x1x2)y1y2(y1y2)0，代入整理得m20，解得m，所以當(dāng)m時(shí)，以AB為直徑的圓與直線y相切答案：(0，2)基礎(chǔ)題組練1過(guò)點(diǎn)(0，1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個(gè)公共點(diǎn)，這樣的直線有()A1條B2條C3條 D4條解析：選C.結(jié)合圖形分析可知(圖略)，滿(mǎn)足題意的直線共有3條：直線x0，過(guò)點(diǎn)(0，1)且平行于x軸的直線以及過(guò)點(diǎn)(0，1)且與拋物線相切的直線(非直線x

17、0)2已知直線l：y2x3被橢圓C：1(ab0)截得的弦長(zhǎng)為7，則下列直線中被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7的有()y2x3; y2x1；y2x3; y2x3.A1條 B2條C3條 D4條解析：選C.直線y2x3與直線l關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，直線y2x3與直線l關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，直線y2x3與直線l關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故有3條直線被橢圓C截得的弦長(zhǎng)一定為7.3過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2，則這樣的直線()A有且只有一條 B有且只有兩條C有且只有三條 D有且只有四條解析：選B.若直線AB的斜率不存在時(shí)，則橫坐標(biāo)之和為1，不符合題意若直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為

18、k，則直線AB為yk(x)，代入拋物線y22x得，k2x2(k22)xk20，因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為2.所以k.所以這樣的直線有兩條4經(jīng)過(guò)橢圓y21的一個(gè)焦點(diǎn)作傾斜角為45的直線l，交橢圓于A，B兩點(diǎn)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則等于()A3 BC或3 D解析：選B.依題意，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)(1，0)時(shí)，其方程為y0tan 45(x1)，即yx1，代入橢圓方程y21并整理得3x24x0，解得x0或x，所以?xún)蓚€(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，1)，所以，同理，直線l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)時(shí)，也可得.5(2020杭州嚴(yán)州中學(xué)模擬)過(guò)拋物線y28x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，若|AF|

19、6，則的值為()A. B.C. D3解析：選D.設(shè)A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(2，y3)，則x126，解得x14，y14，直線AB的方程為y2(x2)，令x2，y8，即C(2，8)，聯(lián)立方程解得B(1，2)，所以|BF|123，|BC|9，所以3.6已知圓M：(x1)2y2，橢圓C：y21，若直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，與圓M相切于點(diǎn)P，且P為AB的中點(diǎn)，則這樣的直線l有()A2條 B3條C4條 D6條解析：選C.當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)且與圓M相切時(shí)，P在x軸上，故滿(mǎn)足條件的直線有2條；當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由y1，

20、y1，兩式相減，整理得，則kAB，kMP，kMPkAB1，kMPkAB1，解得x0，由0)上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q與拋物線C2：y2x2相切的兩條直線分別交拋物線C1于點(diǎn)A，B.若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(1，6)，求直線AB的方程及弦AB的長(zhǎng)解：由Q(1，6)在拋物線y22px上，可得p18，所以?huà)佄锞€C1的方程為y236x.設(shè)拋物線C2的切線方程為y6k(x1)聯(lián)立消去y，得2x2kxk60，k28k48.由于直線與拋物線C2相切，故0，解得k4或k12.由得A；由得B.所以直線AB的方程為12x2y90，弦AB的長(zhǎng)為2.綜合題組練1.(2020溫州模擬)已知直線l：yx3與橢圓C：mx2ny21

21、(nm0)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(2，1)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：yxb交C于A，B兩點(diǎn)，且PAPB，求b的值解：(1)聯(lián)立直線l：yx3與橢圓C：mx2ny21(nm0)，可得(mn)x26nx9n10，由題意可得36n24(mn)(9n1)0，即為9mnmn，又P在橢圓上，可得4mn1，解方程可得m，n，即橢圓C的方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線ybx和橢圓方程，可得3x24bx2b260，判別式16b212(2b26)0，x1x2，x1x2，y1y22b(x1x2)，y1y2(bx1)(bx2)b2b(x1x2)x1x2，由PAPB，即為(x

22、12)(x22)(y11)(y21)x1x22(x1x2)4y1y2(y1y2)1250，解得b3或，代入判別式，知b成立故b為.2.(2020紹興市高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)測(cè))已知點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)在橢圓C：1(ab0)上(1)求橢圓C的方程；(2)P是線段AB上的點(diǎn)，直線yxm(m0)交橢圓C于M，N兩點(diǎn)若MNP是斜邊長(zhǎng)為的直角三角形，求直線MN的方程解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(2，0)，B(0，1)在橢圓C：1上，所以a2，b1，故橢圓C的方程為y21.(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)由消去y，得x2mxm210，則2m20，x1x22m，x1x22m22，|MN|x1x2|.當(dāng)MN為

23、斜邊時(shí)， ，解得m0，滿(mǎn)足0，此時(shí)以MN為直徑的圓的方程為x2y2.點(diǎn)A(2，0)，B(0，1)分別在圓外和圓內(nèi)， 即在線段AB上存在點(diǎn)P，此時(shí)直線MN的方程yx，滿(mǎn)足題意當(dāng)MN為直角邊時(shí)，兩平行直線AB與MN的距離d|m1|，所以d2|MN|2|m1|2(105m2)10，即21m28m40，解得m或m(舍)，又0，所以m.過(guò)點(diǎn)A作直線MN：yx的垂線，可得垂足坐標(biāo)為，垂足在橢圓外，即在線段AB上存在點(diǎn)P，所以直線MN的方程yx，符合題意綜上所述，直線MN的方程為yx或yx.3(2020麗水市高考數(shù)學(xué)模擬)如圖，已知拋物線C：x24y，直線l1與C相交于A，B兩點(diǎn)，線段AB與它的中垂線l2交

24、于點(diǎn)G(a，1)(a0)(1)求證：直線l2過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)l2分別交x軸，y軸于點(diǎn)M，N，是否存在實(shí)數(shù)a，使得A，M，B，N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由解：(1)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，兩式相減可得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)，可得kABa，由兩直線垂直的條件可得直線l2的斜率為；即有直線l2：y(xa)1，可得l2：yx3過(guò)定點(diǎn)(0，3)(2)l2：yx3過(guò)M，N(0，3)，假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使得A，M，B，N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，由中垂線的性質(zhì)可得MANMBN，可得MAN90，即有|AG|2|MG|NG|，由，可得x22ax2a240，x1x22a，x1x22a24，由弦長(zhǎng)公式可得|AB| ，即有|MG|NG|(4a2)，所以(4a2)(a24)，所以a22，解得a.故存在這樣的實(shí)數(shù)a，且為.21