2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第一節(jié) 直線的方程5 距離問題(兩點間距離點到直線的距離)學(xué)案 蘇教版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第一節(jié) 直線的方程5 距離問題(兩點間距離,點到直線的距離)學(xué)案 蘇教版必修2一、考點突破知識點課標(biāo)要求題型說明距離問題(兩點間距離,點到直線的距離)1. 理解兩點間的距離公式和點到直線的距離公式,并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用。2. 掌握中點坐標(biāo)公式。3. 會求兩條平行直線間的距離。選擇題填空題解答題1. 通過兩點間距離公式的推導(dǎo),能更充分地體會數(shù)形結(jié)合思想的優(yōu)越性。2. 通過探索點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程,滲透算法的思想、滲透數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化(或化歸)等數(shù)學(xué)思想以及特殊與一般的方法。二、重難點提示重點:兩點間的距離公式、中點坐標(biāo)公式,點到直線的距離公式的推導(dǎo)

2、及應(yīng)用、用坐標(biāo)法證明簡單的幾何問題。難點:點到直線的距離公式的推導(dǎo)思路、用坐標(biāo)法證明簡單的幾何問題??键c一:平面上兩點間的距離公式平面上P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點間的距離公式P1P2考點二:中點坐標(biāo)公式對于平面上兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),線段P1P2的中點是M(x0,y0),則考點三:點到直線的距離點P(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離為d【要點詮釋】(1)應(yīng)用點P(x0,y0)到直線AxByC0(A、B不同時為零)的距離公式d的前提是直線方程為一般式。特別地,當(dāng)A0或B0時,上述公式也適用,且可以通過數(shù)形結(jié)合思想求解。(2)點P(x0,y0)到平行于

3、軸的距離為;當(dāng)P(x0,y0)在直線上時,點P到直線的距離為0;點P(x0,y0)到軸的距離為;點P(x0,y0)到軸的距離為;點P(x0,y0)到平行于軸的直線的距離為??键c四:兩條平行直線的距離已知兩條平行直線l1和l2的一般式方程為l1:AxByC10,l2:AxByC20,則l1與l2的距離為d?!疽c詮釋】1. 在求兩條平行直線間的距離時,一定要將兩平行直線方程化為一般式,同時利用等式性質(zhì)將的系數(shù)化為相同的值。2. 對于兩條平行線間的距離,其求解方法可以直接套用公式,也可以轉(zhuǎn)化為點到直線的距離求解??键c五:對稱問題(1)求某點關(guān)于已知點的對稱點關(guān)于的對稱點為(2)求直線關(guān)于點的對稱直

4、線設(shè)直線的方程為,已知點,求關(guān)于對稱的直線方程。設(shè)是直線上任意一點,它關(guān)于的對稱點在直線上,代入得,即為所求的對稱直線的方程。(3)求某點關(guān)于直線的對稱點設(shè),:,若關(guān)于的對稱點為,則是的垂直平分線,即且的中點在上。解方程組可得點的坐標(biāo)。(4)求某直線關(guān)于已知直線的對稱直線求直線關(guān)于直線的對稱直線:若直線、相交,先求出交點。在直線上取一特殊點,求點關(guān)于直線的對稱點,直線即直線。若直線、平行,根據(jù)平行設(shè)出所求直線方程的一般式形式,再利用兩平行線間的距離公式求出待定系數(shù)?!疽?guī)律總結(jié)】1. 設(shè)直線:關(guān)于軸對稱的直線是:;關(guān)于軸對稱的直線是:;關(guān)于原點對稱的直線是:;關(guān)于對稱的直線是:;關(guān)于對稱的直線是

5、:。2. 點關(guān)于軸的對稱點;點關(guān)于軸的對稱點;點關(guān)于軸的對稱點;點關(guān)于軸的對稱點;點關(guān)于軸的對稱點;點關(guān)于軸的對稱點;點關(guān)于軸的對稱點;點關(guān)于軸的對稱點。例題1 (點到直線的距離公式及其應(yīng)用)求點P(1,2)到下列直線的距離:(1)l1:yx3;(2)l2:y1;(3)y軸。思路分析:點的坐標(biāo)直線方程化成一般式點到直線的距離。答案:(1)將直線方程化為一般式為:xy30,如圖,由點到直線的距離公式得d12。(2)方法一 直線方程化為一般式為:y10,由點到直線的距離公式得d23。方法二y1平行于x軸,如圖,d2|12|3。(3)方法一y軸的方程為x0,由點到直線的距離公式得d31.方法二如圖可

6、知,d3|10|1。技巧點撥:應(yīng)用點到直線的距離公式應(yīng)注意的三個問題:1. 直線方程應(yīng)為一般式,若給出其他形式應(yīng)化為一般式。2. 點P在直線l上時,點到直線的距離為0,公式仍然適用。3. 直線方程AxByC0中,A0或B0時公式也成立,但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直),故也可用數(shù)形結(jié)合思想求解。例題2 (兩條平行直線間的距離)求兩條平行直線l1:6x8y20和l2:3x4y150的距離。思路分析:解答本題可先在直線l1上任取一點A(2,1),然后再求點A到直線l2的距離即為兩條平行直線間的距離;或者直接應(yīng)用兩條平行線間的距離公式d求解。答案:方法一若在直線l1上任取一點A(2,1),則點A

7、到直線l2的距離即為所求的平行線間的距離,則d1.方法二l1:3x4y100,l2:3x4y150,故d1.技巧點撥:針對這種類型的題目一般有兩種思路:1. 利用“化歸”思想將兩平行直線的距離轉(zhuǎn)化為求其中一條直線上任意一點到另一條直線的距離。2. 直接應(yīng)用公式d,但要注意兩直線方程中x、y的系數(shù)必須分別相同。對稱在求最值中的應(yīng)用【滿分訓(xùn)練】在直線:上,(1)求一點,使到和的距離之差最大;(2)求一點,使到和的距離之和最小。思路分析:設(shè)關(guān)于的對稱點為,與的交點滿足(1);設(shè)關(guān)于的對稱點為,與的交點滿足(2)。事實上,對于(1),若是異于的點,則;對于(2),若是異于的點,則。答案:(1)如圖所示,設(shè)關(guān)于的對稱點為,則,即, 又由于的中點坐標(biāo)為,且在直線上,即 解式得于是所在直線的方程為,即解與組成的方程組得即與的交點坐標(biāo)為,為所求。(2)如圖,設(shè)關(guān)于的對稱點為,同(1)中方法求出的坐標(biāo)為,所在直線的方程為,聯(lián)立和的方程,解出其交點坐標(biāo)為為所求。技巧點撥:本題屬于求最值問題,它利用幾何中的對稱方法解決,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

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