2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程2 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第2章 平面解析幾何初步 第二節(jié) 圓與方程2 直線與圓的位置關(guān)系學(xué)案 蘇教版必修2一、考點(diǎn)突破知識(shí)點(diǎn)課標(biāo)要求題型說(shuō)明直線與圓的位置關(guān)系1. 掌握直線與圓的位置關(guān)系的兩種判定方法;2. 能利用圓心到直線的距離、半弦長(zhǎng)、圓的半徑三者之間的關(guān)系,解有關(guān)弦長(zhǎng)的問(wèn)題;3. 理解一元二次方程根的判定及根與系數(shù)關(guān)系,并能利用它們解一些簡(jiǎn)單的直線與圓的關(guān)系問(wèn)題選擇題填空題本節(jié)課的核心是“如何用數(shù)的關(guān)系來(lái)判斷直線與圓的位置關(guān)系”,學(xué)會(huì)從不同角度分析思考問(wèn)題,為后續(xù)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。為此,可類比直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到用解析法解決平面幾何問(wèn)題的優(yōu)越性;同時(shí)滲透了“數(shù)形結(jié)合”的思想方法

2、二、重難點(diǎn)提示重點(diǎn):掌握用幾何法和解析法判斷直線與圓的位置關(guān)系;能用直線與圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。難點(diǎn):靈活地運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”、解析法來(lái)解決直線與圓的相關(guān)問(wèn)題??键c(diǎn)一:直線與圓的位置關(guān)系及判斷方法直線AxByC0(A2B20)與圓(xa)2(yb)2r2(r0)的位置關(guān)系及判斷方法。位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)幾何法:設(shè)圓心到直線的距離ddrdrdr代數(shù)法:由消元得到一元二次方程,判別式為000圖形考點(diǎn)二:直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的求法設(shè)直線與圓C交于兩點(diǎn),設(shè)弦心距為,圓半徑為,弦長(zhǎng)為,則有,即??键c(diǎn)三:直線與圓相切時(shí)切線的求法1. 求斜率為(為常數(shù))的切線方程設(shè)切線的方程為,

3、利用圓心到直線的距離等于半徑列出方程求。2. 求過(guò)一點(diǎn)的圓的切線方程首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,看點(diǎn)在圓外還是圓上。 若點(diǎn)在圓上,則連接圓心和該點(diǎn)的直線與切線垂直,利用垂直關(guān)系確定切線的斜率,從而確定切線方程;若切線的斜率不存在,其切線方程也確定了。 若點(diǎn)在圓外,求切線時(shí)常用以下方法:A. 設(shè)切線斜率,寫出切線方程,利用判別式等于零求斜率;B. 設(shè)切線斜率,利用圓心到直線的距離等于半徑求斜率;C. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo),則利用切線方程來(lái)求解。例題1 (直線與圓位置關(guān)系的判斷)如圖所示,已知直線l:ykx5與圓C:(x1)2y21。(1)當(dāng)k為何值時(shí),直線l與圓C相交?(2)當(dāng)k為何值時(shí),直線l與圓C相切

4、?(3)當(dāng)k為何值時(shí),直線l與圓C相離?思路分析:思路一:聯(lián)立l及C的方程一元二次方程直線與圓的關(guān)系;思路二:求圓心到直線l的距離d比較d與半徑1的大小下結(jié)論。答案:方法一由,消去y,得(x1)2(kx5)21,即(k21)x2(10k2)x250,則(10k2)2425(k21)9640k。(1)當(dāng)0,即k時(shí),直線l與圓C相交。(2)當(dāng)0,即k時(shí),直線l與圓C相切。(3)當(dāng)時(shí),直線l與圓C相離。方法二圓C的圓心C(1,0),半徑r1,由點(diǎn)到直線的距離公式得圓心C到直線l的距離d。(1)當(dāng)1,即k1,即k時(shí),直線l與圓C相離。 技巧點(diǎn)撥:直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法(1)幾何法:由圓心到直線

5、的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷。(2)代數(shù)法:根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷。(3)直線系法:若直線恒過(guò)定點(diǎn),可通過(guò)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷,但有一定的局限性,必須是過(guò)定點(diǎn)的直線系。例題2 (直線與圓的相交弦問(wèn)題)求直線l:3xy60被圓C:x2y22y40截得的弦長(zhǎng)。思路分析:方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)兩點(diǎn)間距離即弦長(zhǎng)或方程組得x1x2與x1x2弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)或圓心到直線的距離構(gòu)造直角三角形求弦長(zhǎng)。答案:方法一由,得交點(diǎn)A(1,3),B(2,0),弦AB的長(zhǎng)為AB。方法二由 消去y得x23x20。設(shè)兩交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1)、B(x2,y2)則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x

6、23,x1x22。|AB|,即弦AB的長(zhǎng)為。方法三圓C:x2y22y40可化為x2(y1)25,其圓心坐標(biāo)(0,1),半徑r,點(diǎn)(0,1)到直線l的距離為d,所以半弦長(zhǎng)為 ,所以弦長(zhǎng)AB。技巧點(diǎn)撥:對(duì)于弦長(zhǎng)問(wèn)題,常利用第三種方法,即利用半弦長(zhǎng)、弦心距、半徑構(gòu)成的直角三角形,通過(guò)數(shù)形結(jié)合,利用勾股定理來(lái)求解。忽略直線斜率不存在的情況致誤例題 已知圓M:(x1)2(y1)24,直線a過(guò)點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A,B兩點(diǎn),且AB2,求直線a的方程?!惧e(cuò)解】設(shè)直線a的方程為y3k(x2),即kxy32k0。如圖所示,作MCAB于C,在直角三角形MBC中,BC,MB2,MC1,由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)

7、M(1,1)到直線a的距離為1,解得k,所以直線a的方程為3x4y60。【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解忽略了直線a的斜率不存在的情況?!痉婪洞胧奎c(diǎn)斜式方程并不能表示出斜率不存在的情況,故在求直線方程時(shí),若設(shè)點(diǎn)斜式方程,根據(jù)條件求得斜率后,應(yīng)注意驗(yàn)證斜率不存在的情況是否滿足題意。本題就是忽略了斜率不存在的特殊情況而出錯(cuò)的。【正解】當(dāng)直線a的斜率存在時(shí),設(shè)直線a的方程為y3k(x2),即kxy32k0。如圖所示,作MCAB于C,在直角三角形MBC中,BC,MB2,MC1,由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)M(1,1)到直線a的距離為1,解得k,所以直線a的方程為3x4y60。當(dāng)直線a的斜率不存在時(shí),其方程為x2,圓心到此直線的距離也是1,所以符合題意。綜上,直線a的方程為3x4y60或x2。

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