12、數(shù)時(shí)都成立
B．僅當(dāng)n＝1,2,3時(shí)成立
C．當(dāng)n＝4時(shí)成立，n＝5時(shí)不成立
D．僅當(dāng)n＝4時(shí)不成立
解析：選B 分別用n＝1,2,3,4,5驗(yàn)證即可．
2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式( )
A．1＋<2－ B．1＋＋<2－
C．1＋<2－ D．1＋＋<2－
解析：選A 第一步驗(yàn)證n＝2時(shí)不等式成立，即1＋<2－.
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1)，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為( )
A．1 B．1＋a
C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3
解析：選C 左端為
13、n＋2項(xiàng)和，n＝1時(shí)應(yīng)為三項(xiàng)和，
即1＋a＋a2.
4．用數(shù)學(xué)歸納法證明2n>n2(n∈N＋，n≥5)成立時(shí)，第二步歸納假設(shè)的正確寫法是( )
A．假設(shè)n＝k時(shí)命題成立
B．假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)命題成立
C．假設(shè)n＝k(k≥5)時(shí)命題成立
D．假設(shè)n＝k(k>5)時(shí)命題成立
解析：選C k應(yīng)滿足k≥5，C正確．
5．?dāng)?shù)列{an}中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是( )
A．3n－2 B．n2
C．3n－1 D．4n－3
解析：選B 計(jì)算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，
14、可猜想an＝n2.
6．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為( )
A．f(k)＋1 B．f(k)＋k
C．f(k)＋k＋1 D．k·f(k)
解析：選B 第k＋1條直線與前k條直線都相交且有不同交點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多，此時(shí)應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)．
7．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除時(shí)，若n＝k時(shí)，命題成立，欲證當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題成立，對(duì)于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為( )
A．56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．34×34k＋1＋52×52k
C．34k＋
15、1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
解析：選A 由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝81×34k＋1＋25×52k＋1＋25×34k＋1－25×34k＋1
＝56×34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．
8．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是( )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析：選A f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k
16、＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故選A.
9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成( )
A．假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時(shí)，xk＋yk能被x＋y整除
B．假設(shè)當(dāng)n＝2k(k∈N＋)時(shí)，xk＋yk能被x＋y整除
C．假設(shè)當(dāng)n＝2k＋1(k∈N＋)時(shí)，xk＋yk能被x＋y整除
D．假設(shè)當(dāng)n＝2k－1(k∈N＋)時(shí)，xk＋yk能被x＋y整除
解析：選D 第k個(gè)奇數(shù)應(yīng)是n＝2k－1，k∈N＋.
10．已知f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)≥k2成立時(shí)，總可推出f(k＋1)≥
17、(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，則當(dāng)k≥1時(shí)，均有f(k)≥k2成立
B．若f(4)≥16成立，則當(dāng)k≥4時(shí)，均有f(k)16＝42成立．
∴當(dāng)k≥4時(shí)，有f(k)≥k2成立．
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上)
11．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋4＋…＋n
18、2＝(n∈N＋)，則n＝k＋1時(shí)，左端應(yīng)為在n＝k時(shí)的基礎(chǔ)上加上____________________．
解析：n＝k＋1時(shí)，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.
所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.
答案：(k2＋1)＋…＋(k＋1)2
12．設(shè)f(n)＝…，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)≥3，在假設(shè)n＝k時(shí)成立后，f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是f(k＋1)＝f(k)·________________.
解析：∵f(k)＝·…·，
f(k＋1)＝·…··
·
∴f(k＋1)＝f(k)·.
答案：
13．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an
19、＋2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an＝4·2n－1－2的第二步中，設(shè)n＝k時(shí)結(jié)論成立，即ak＝4·2k－1－2，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，應(yīng)證明等式________成立．
答案：ak＋1＝4·2(k＋1)－1－2
14．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S3，S4分別為__________，猜想Sn＝__________.
解析：因?yàn)镾n，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列．
所以2Sn＋1＝Sn＋2S1，又S1＝a1＝1.
所以2S2＝S1＋2S1＝3S1＝3，于是S2＝＝，
2S3＝S2＋2S1＝＋2＝，于是S3＝＝，
由此猜想Sn＝.
答案：，，
三、解
20、答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明，對(duì)于n∈N＋，都有＋＋＋…＋＝.
證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝，所以等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時(shí)等式成立，即
＋＋＋…＋＝，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝＝＝.
即n＝k＋1時(shí)等式成立．
由(1)(2)可知，對(duì)于任意的自然數(shù)n等式都成立．
16．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式·…·＞均成立．
證明：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝.
∵左邊＞右邊，∴不等式
21、成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N＋)時(shí)不等式成立，
即·…·＞.
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
·…·
＞·＝
＝＞
＝＝.
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立．
由(1)(2)可知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．
17．(本小題滿分12分)如果數(shù)列{an}滿足條件：a1＝－4，an＋1＝(n＝1,2，…)，證明：對(duì)任何自然數(shù)n，都有an＋1>an且an<0.
證明：(1)由于a1＝－4，
a2＝＝＝>a1.
且a1<0，因此，當(dāng)n＝1時(shí)不等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，ak＋1>ak且ak<0，那么
ak＋1＝<0，
ak＋2－ak＋1＝－
22、
＝>0.
這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)不等式也成立，
根據(jù)(1)(2)，不等式對(duì)任何自然數(shù)n都成立．
因此，對(duì)任何自然數(shù)n，都有an＋1>an，且an＜0.
18．(本小題滿分14分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋λa＋(n∈N＋)．
(1)若λ＝μ＝1，證明數(shù)列{lg(an＋1)}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若λ＝0，是否存在實(shí)數(shù)μ，使得an≥2對(duì)一切n∈N＋恒成立？若存在，求出μ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
解：(1)∵λ＝μ＝1，則an＋1＝a＋2an，
∴an＋1＋1＝(an＋1)2，lg(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)，
23、
∴{lg(an＋1)}是公比為2的等比數(shù)列，且首項(xiàng)為lg 3，
∴l(xiāng)g(an＋1)＝2n－1lg 3，
∴an＋1＝32n－1，∴an＝32n－1－1(n∈N＋)．
(2)由a2＝2a1＋＝4＋≥2，得μ≥－3，
猜想μ≥－3時(shí)，對(duì)一切n∈N＋，an≥2恒成立．
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2，猜想成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N＋)時(shí)，ak≥2，
則由an＋1＝，得ak＋1－2＝
＝≥＝≥0，
∴n＝k＋1時(shí)，ak＋1≥2，猜想成立．
由①②可知，當(dāng)μ≥－3時(shí)，對(duì)一切n∈N＋，恒有an≥2.
模塊綜合檢測
(時(shí)間：90分鐘，總分120分)
一、選擇題(本大題共1
24、0小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．不等式|3x－2|>4的解集是( )
A．{x|x>2} B.
C. D.
解析：選C 因?yàn)閨3x－2|>4，所以3x－2>4或3x－2<－4，所以x>2或x<－.
2．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．a(chǎn)＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b2＞ab＞a
C．a(chǎn)b＞a＞ab2 D．a(chǎn)b＞ab2＞a
解析：選D 因?yàn)椋?＜b＜0，所以b＜b2＜1.
又因?yàn)閍＜0，所以ab＞ab2＞a.
3．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)
25、，反設(shè)正確的是( )
A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60°
B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60°
C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°
D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60°
解析：選B 至少有一個(gè)不大于60°是指三個(gè)內(nèi)角有一個(gè)或者兩個(gè)或者三個(gè)小于或等于60°，所以反設(shè)應(yīng)該是它的對(duì)立情況，即假設(shè)三內(nèi)角都大于60°.
4．若a，b是任意實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式一定成立的是( )
A．a(chǎn)2>b2 B.<1
C．lg(a－b)>0 D.ab，所以a0，使不等式|x－4|＋|x－3|
26、上的解集不是空集的a的取值范圍是( )
A．(0,1) B．{1}
C．(1，＋∞) D．以上均不對(duì)
解析：選C 函數(shù)y＝|x－4|＋|x－3|的最小值為1，所以若|x－4|＋|x－3|1.
6．若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1的解集為?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C．(－1,3) D．[－1,3]
解析：選C |x－1|＋|x－3|的幾何意義是數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到1,3對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)的距離之和，故它的最小值為2.∵原不等式的解集為?，∴a2－2a－1<
27、2，
即a2－2a－3<0，解得－1
28、(cos2α＋sin2α)·，當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)等號(hào)成立，故＋≥1.
9．已知不等式|y＋4|－|y|≤2x＋對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都成立，則常數(shù)a的最小值為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選D 由題意得(|y＋4|－|y|)max≤2x＋，
而|y＋4|－|y|≤|y＋4－y|＝4，
因此2x＋≥4?a≥[2x(4－2x)]max，
而2x(4－2x)≤2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2，即x＝1時(shí)取等號(hào)，
所以a≥4，amin＝4.
10．設(shè)x，y均為正實(shí)數(shù)，且＋＝1，則xy的最小值為( )
A．4 B．4
C．9 D．16
解析：選D 因?yàn)椋?，
所以0<
29、<1,0<<1，
即x>1，y>1，所以x＝，
所以xy＝·y＝＝＝(y－1)＋＋10≥2 ＋10＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)y＝4時(shí)等號(hào)成立．
二、填空題(本大題共4個(gè)小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上)
11.＜3的解集是________________．
解析：∵＜3，
∴|2x－1|＜3|x|.兩邊平方得4x2－4x＋1＜9x2，
∴5x2＋4x－1＞0，解得x＞或x＜－1.
∴所求不等式的解集為.
答案：(－∞，－1)∪
12．若x<0，則函數(shù)f(x)＝x2＋－x－的最小值是________．
解析：令t＝x＋，因?yàn)閤<0，
所以－≥2，所以t≤－
30、2，則g(t)＝t2－t－2＝2－，所以f(x)min＝g(－2)＝4.
答案：4
13．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
當(dāng)－11.
所以不等式的解集為{x|x≥1}．
答案：[1，＋∞)
14．設(shè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋3c＝4，a2＋b2＋c2的最小值為________．
解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2，
因?yàn)閍＋2b＋3c＝4，
故a2＋b2＋c2≥，
當(dāng)且僅當(dāng)＝＝
31、，
即a＝，b＝，c＝時(shí)取“＝”．
答案：
三、解答題(本大題共4個(gè)小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝.
(1)當(dāng)a＝－5時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍．
解：(1)由題設(shè)知：|x＋1|＋|x－2|－5≥0，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－5的圖像，可知定義域?yàn)?－∞，－2]∪[3，＋∞)．
(2)由題設(shè)知，當(dāng)x∈R時(shí)，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，
即|x＋1|＋|x－2|≥－a.
|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1＋2－x
32、|＝3，∴－a≤3，
∴a≥－3.
∴a的取值范圍是[－3，＋∞)．
16．(本小題滿分12分)設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M.
(1)證明：<；
(2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由．
解：(1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2<－2x－1<0，
解得－0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|
33、2，
故|1－4ab|>2|a－b|.
17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2－a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)原不等式等價(jià)于
或或
解得x≤－或x∈?或x≥.
∴不等式的解集為.
(2)由題意得，關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x＋1|≥a2－a在R上恒成立．
∵|x－1|＋|x＋1|≥|(x－1)－(x＋1)|＝2，
∴a2－a≤2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1,2]．
18．(本小題滿分14分)已知f(n)＝1
34、＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋.
(1)當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，試比較f(n)與g(n)的大?。?
(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．
解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；
當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)
2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 本講知識(shí)歸納與達(dá)標(biāo)驗(yàn)收講義（含解析）新人教A版選修4-5
