2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2課時(shí) 不等式的證明與柯西不等式練習(xí) 理

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第2課時(shí) 不等式的證明與柯西不等式練習(xí) 理1設(shè)a，b，c是互不相等的正數(shù)，則下列不等式中不恒成立的是()A(a3)22a26a11Ba2aC|ab|2D.答案C解析(a3)2(2a26a11)a22b時(shí)，恒成立，當(dāng)ab時(shí)，不恒成立；由不等式0，y0，aR，bR.求證：()2.答案略證明因?yàn)閤0，y0，所以xy0.所以要證()2，即證(axby)2(xy)(a2xb2y)，即證xy(a22abb2)0，即證(ab)20，而(ab)20顯然成立故()2.7(2014江蘇)已知x0，y0，證明：(1xy2)(1x2y)9xy.答案略證明因?yàn)閤0，y0，所以1xy

2、230，1x2y30.故(1xy2)(1x2y)339xy.8(2018福建質(zhì)量檢查)若a，b，cR，且滿(mǎn)足abc2.(1)求abc的最大值；(2)證明：.答案(1)(2)略解析(1)因?yàn)閍，b，cR，所以2abc3，故abc.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)等號(hào)成立所以abc的最大值為.(2)證明：因?yàn)閍，b，cR，且abc2，所以根據(jù)柯西不等式，可得(abc)()()2()2()2()2()2()2()2.所以.9(2016課標(biāo)全國(guó)，理)已知函數(shù)f(x)|x|x|，M為不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)證明：當(dāng)a，bM時(shí)，|ab|1ab|.答案(1)x|1x1(2)略解析(1)f(x)當(dāng)x時(shí)，由f(

3、x)2得2x1；當(dāng)x時(shí)，f(x)2；當(dāng)x時(shí)，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)由(1)知，當(dāng)a，bM時(shí)，1a1，1b1，從而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0.因此|ab|0，b0，且ab.證明：(1)ab2；(2)a2a2與b2b0，b0，得ab1.(1)由基本不等式及ab1，有ab22，即ab2.(2)假設(shè)a2a2與b2b2同時(shí)成立，則由a2a0得0a1；同理，0b1，從而ab1，這與ab1矛盾故a2a2與b2b2不可能同時(shí)成立11(2018廣州綜合測(cè)試)已知函數(shù)f(x)|xa1|x2a|.(1)若f(1)3，求實(shí)數(shù)a的取值范

4、圍；(2)若a1，xR，求證：f(x)2.答案(1)(，)(2)見(jiàn)解析解析(1)因?yàn)閒(1)3，所以|a|12a|3.當(dāng)a0時(shí)，得a(12a)，所以a0；當(dāng)0a時(shí)，得a(12a)2，所以0a；當(dāng)a時(shí)，得a(12a)3，解得a，所以a0，n0，且mn1，求證：2.答案(1)1，3(2)略解析(1)方法一：依題意，f(x)f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立，a22a30，解得1a3，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，3方法二：f(x)|2x1|2x1|(2x1)(2x1)|2，f(x)min2.不等式f(x)a22a1恒成立，a22a30，解得1a3，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1，3(2)由(1)知f(

5、x)2，22.()22(mn)224(2m1)(2n1)8，當(dāng)且僅當(dāng)mn時(shí)等號(hào)成立2，2.1(2017武漢4月調(diào)研)(1)求不等式|x5|2x3|1的解集；(2)若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足ab，求證：1.答案(1)x|7x(2)略解析(1)當(dāng)x時(shí)，x52x31，解得x7，7x；當(dāng)x5時(shí)，x52x31，解得x，x；當(dāng)x5時(shí)，x5(2x3)1，解得x9，舍去綜上，7x.故原不等式的解集為x|7x(2)要證1，只需證ab21，即證2，即證.而ab2，成立，原不等式成立2已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1，1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求證：a2b3c9.答案(1)1(2)略解析(1)因?yàn)閒(x2)m|x|，f(x2)0等價(jià)于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1，1，故m1.(2)證明：由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式，得a2b3c(a2b3c)()()29.