2022年高考數學專題復習 第31講 一元二次不等式及其解法練習 新人教A版

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1、2022年高考數學專題復習 第31講 一元二次不等式及其解法練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查一元二次不等式的解法及其“三個二次”間的關系問題.2.會從實際情景中抽象出一元二次不等式模型.3.以函數、導數為載體，考查不等式的參數范圍問題． 一元二次不等式與相應的二次函數及一元二次方程的關系如下表 判別式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函數y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有兩相異實根 x1，x2(x1

2、>0 (a>0)的解集 {x|xx2} {x|x≠x1} R ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集 {x|x1

3、 ∴x＞1或x＜－. 故原不等式的解集為∪(1，＋∞)． 【答案】　D 2．不等式≤0的解集為(　　) A. B. C. D. 【解析】　原不等式等價于(x－1)(2x＋1)＜0或x－1＝0. ∴原不等式的解集為. 【答案】　A 3．函數y＝的定義域是________． 【解析】　要使函數有意義，只需6－x－x2＞0， ∴x2＋x－6＜0， ∴－3＜x＜2，∴f(x)的定義域為{x|－3＜x＜2}． 【答案】　{x|－3＜x＜2} 4．一元二次不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是，則a＋b的值是________． 【解析】　由已知得方程ax2＋bx＋2＝0

4、的兩根為－，. 則解得∴a＋b＝－14. 【答案】?。?4 5．(xx·重慶高考)關于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15 ，則a＝ (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 【解析】　由x2－2ax－8a2<0(a>0)得(x＋2a)(x－4a)<0(a>0)， 即－2a0在R上恒成立，則實數a的取值范圍是____

5、____． 【解析】　∵x2－ax＋2a>0在R上恒成立， ∴Δ＝a2－4×2a<0，∴0

6、1與x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的兩個實數根，b＞1且a＞0.由根與系數的關系， 得解得 (2)不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0， 即x2－(2＋c)x＋2c＜0，即(x－2)(x－c)＜0. 當c＞2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|2＜x＜c}； 當c＜2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為{x|c＜x＜2}； 當c＝2時，不等式(x－2)(x－c)＜0的解集為?. 所以，當c＞2時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|2＜x＜c}； 當c＜2時，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為{x|c＜x＜2}； 當c＝2時

7、，不等式ax2－(ac＋b)x＋bc＜0的解集為?. 規(guī)律方法1　1.解一元二次不等式時，當二次項系數為負時要先化為正，再根據判別式符號判斷對應方程根的情況，然后結合相應二次函數的圖象寫出不等式的解集. 2.解含參數的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論；首先根據二次項系數的符號進行分類，其次根據根是否存在，即Δ的符號進行分類，最后當根存在時，根據根的大小進行分類. 對點訓練　(1)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，則不等式ax2－bx＋c＞0的解集為________． (2)(xx·濰坊模擬)a∈R，解關于x的不等式x－≥a(x－1)．

8、 【解析】　(1)令f(x)＝ax2＋bx＋c，則f(－x)＝ax2－bx＋c，結合圖象，可得ax2－bx＋c＞0的解集為{x|－3＜x＜－2}． 【答案】　{x|－3＜x＜－2} (2)原不等式可轉化為≥0(*) (1)當a＝1時，(*)式為≥0，解得x＜0或x≥1. (2)當a≠1時，(*)式為≥0 ①若a＜1，則a－1＜0，＜0，解得≤x＜0，或x≥1； ②若1＜a≤2，則1－a＜0，≥1，解得x＜0，或1≤x≤； ③若a＞2，則a－1＞1,0＜＜1,1－a＜0，解得x＜0，或≤x≤1； 綜上，當a＝1時，不等式解集為{x|x＜0或x≥1}． 當a＜1時，不等式解集為.

9、 當1＜a≤2時，不等式解集為 . 當a＞2時，不等式解集為. 考向二 [103]　不等式恒成立問題 　設函數f(x)＝mx2－mx－1. (1)若對于一切實數x，f(x)<0恒成立，求m的取值范圍； (2)若對于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍． 【思路點撥】　本題(1)可討論m的取值，利用判別式來解決．對于(2)含參數的一元二次不等式在某區(qū)間內恒成立問題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數區(qū)間上的最值來處理；二是先分離出參數，再去求函數的最值來處理，一般方法二比較簡單． 【嘗試解答】　(1)要使mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，顯然－1<0

10、； 若m≠0， 則?－4

11、數法求最值. 2.解決恒成立問題一定要搞清誰是主元，誰是參數，一般地，知道誰的范圍，誰就是主元，求誰的范圍，誰就是參數. 對點訓練　若x∈[－1，＋∞)時，x2－2ax＋2≥a恒成立，試求a的取值范圍． 【解】 　法一　令f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，＋∞)， f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函數圖象的對稱軸為x＝a. (1)當a∈(－∞，－1)時，結合圖象知，f(x)在[－1，＋∞)上單調遞增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3. 要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a， 即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1； (2)當a∈[－1，＋∞)時，f(x)

12、min＝f(a)＝2－a2， 由2－a2≥a，解得－2≤a≤1，∴－1≤a≤1. 綜上所述，所求a的取值范圍為－3≤a≤1. 法二　由已知得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，令f(x)＝x2－2ax＋2－a， 即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或 解得－3≤a≤1. 故a的取值范圍為{a|－3≤a≤1}． 考向三 [104]　一元二次不等式的實際應用 圖6－2－1 　行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足下列關系：s＝＋(n為常數，

13、且n∈N)，做了兩次剎車試驗，有關試驗數據如圖6－2－1所示，其中 (1)求n的值； (2)要使剎車距離不超過12.6 m，則行駛的最大速度是多少？ 【思路點撥】　(1)由圖象信息，將v＝40，v＝70代入求s1，s2，得關于n的不等式組；(2)解關于v的不等式，求最大值． 【嘗試解答】　(1)由試驗數據知， s1＝n＋4，s2＝n＋， ∴解之得 又n∈N，∴取n＝6. (2)由(1)知，s＝＋，v≥0. 依題意，s＝＋≤12.6， 即v2＋24v－5 040≤0，解之得－84≤v≤60. 注意到v≥0，所以0≤v≤60. 故行駛的最大速度為60 km/h. 規(guī)律方法

14、3　1.(1)求解本例的關鍵是文字語言、圖形語言，符號語言之間的合理轉化.(2)避免忽視v≥0的限制條件，及≤12.6中的等號. 2.解不等式的實際應用中，常以函數模型為載體，解題時要理清題意，準確找出其中的不等關系，引進數學符號恰當表示，最后用不等式的解回答實際問題. 對點訓練　某種商品，現在定價p元，每月賣出n件，設定價上漲x成，每月賣出數量減少y成，每月售貨總金額變成現在的z倍． (1)用x和y表示z； (2)若y＝x，求使每月售貨總金額有所增加的x值的范圍． 【解】 　(1)按現在的定價上漲x成時，上漲后的定價為p元，每月賣出數量為n件，每月售貨總金額是npz元， 因而np

15、z＝p·n， 所以z＝. (2)當y＝x時，z＝， 要使每月售貨總金額有所增加，即z>1， 應有(10＋x)·>100， 即x(x－5)<0，所以0

16、 ————　[1個示范例]　————　[1個對點練]　————— 　　　(xx·四川高考)已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x≥0時，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________． 【解析】　設x<0，則－x>0. ∵當x≥0時，f(x)＝x2－4x， ∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)． ∵f(x)是定義在R上的偶函數， ∴f(－x)＝f(x)， ∴f(x)＝x2＋4x(x<0)， ∴f(x)＝ 由f(x)＝5得或 ∴x＝5或x＝－5. 觀察圖象可知f(x)<5，得－5