2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第48課 基本不等式及其應(yīng)用（二）要點導(dǎo)學(xué)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 第48課 基本不等式及其應(yīng)用（二）要點導(dǎo)學(xué) 基本不等式在方程與函數(shù)中的應(yīng)用 　(xx·成都模擬)已知二次函數(shù)f(x)=ax2-4x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),那么+的最小值為　　　　. [答案]3 [解析]由題意得a>0,且Δ=16-4ac=0?ac=4,所以+≥2=3. 　(xx·湖北模擬)已知不等式xy≤ax2+2y2對于任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,那么實數(shù)a的取值范圍是　　　　. [答案][-1,+∞) [解析]由題意知a≥=-2,對x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,令t=,則a≥t-2t2,易知t∈

2、[1,3],所以t-2t2∈[-15,-1],故a≥-1. 基本不等式在數(shù)列、三角函數(shù)等問題中的應(yīng)用 　已知正項等比數(shù)列{an}滿足a7=a6+2a5,若存在兩項am,an,使得=4a1,則+的最小值為　　　　. [思維引導(dǎo)]首先根據(jù)條件找出m,n的關(guān)系式,再利用基本不等式求出+的最小值. [答案]　 [解析]設(shè)正項等比數(shù)列{an}的公比為q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2. 由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6. 故+=(m+n)=+（+）≥+=,當(dāng)且僅當(dāng)n=2m時等號成立. [精要點評]將m+n=6表示為(m+n)=1,利用“1”的變換是

3、解決問題的關(guān)鍵. 　(xx·江蘇卷)若△ABC的內(nèi)角滿足sinA+sinB=2sinC,則cosC的最小值是　　　　. [答案] [解析]由已知sinA+sinB=2sinC及正弦定理可得a+b=2c,cosC===≥=,當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2即=時等號成立. 基本不等式在解析幾何中的應(yīng)用 　(xx·揚州中學(xué)模擬)如圖,已知橢圓C:+y2=1的上、下頂點分別為A,B,點P在橢圓上,且異于點A,B,直線AP,BP與直線l:y=-2分別交于點M,N. (例3) (1) 設(shè)直線AP,BP的斜率分別為k1,k2,求證:k1·k2為定值; (2) 求線段MN的長的最小值.

4、[解答](1) 因為A(0,1),B(0,-1),令P(x0,y0),則由題設(shè)可知x0≠0, 所以直線AP的斜率k1=,PB的斜率k2=. 又點P在橢圓上,所以+=1(x0≠0), 從而有k1k2=·==-,為定值. (2) 由題設(shè)可以得到直線AP的方程為y-1=k1(x-0), 直線BP的方程為y-(-1)=k2(x-0), 由T 由T 所以直線AP與直線l的交點N, 直線BP與直線l的交點M. 又k1k2=-, 所以MN===+4|k1| ≥2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)=4|k1|,即k1=±時取等號,故線段MN長的最小值是4. 基本不等式在實際問題中的應(yīng)用 　(x

5、x·湖北卷)某項研究表明,在考慮行車安全的情況下,某路段車流量F(單位時間內(nèi)測量點的車輛數(shù),單位:輛/小時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛,單位:米/秒)、平均車長l(單位:m)的值有關(guān),其公式為 F=. (1) 如果不限定車型,l=6.05,那么最大車流量為　　　輛/小時; (2) 如果限定車型,l=5,那么最大車流量比(1)中的最大車流量增加　　　　輛/小時. [答案](1) 1900　(2) 100 [解析](1) 當(dāng)l=6.05時,則F==≤=1 900,當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=11(米/秒)時取等號. (2) 當(dāng)l=5時,則F==≤=2 000,當(dāng)且僅當(dāng)v=,即v=10

6、(米/秒)時取等號,此時最大車流量比(1)中的最大車流量增加100輛/小時. [精要點評]準(zhǔn)確構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵.本題根據(jù)所得函數(shù)的特征要結(jié)合基本不等式解決. 　(xx·如皋中學(xué)模擬)揚州某地區(qū)要建造一條防洪堤,其橫斷面為等腰梯形,腰與底邊成角為60°(如圖),考慮到防洪堤堅固性及石塊用料等因素,設(shè)計其橫斷面要求面積為9 m2,且高度不低于m.記防洪堤橫斷面的腰長為x(m),外周長(梯形的上底BC與兩腰長的和)為y(m). (變式) (1) 求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域; (2) 要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5m,則其腰長x應(yīng)在什么范圍內(nèi)? (3)

7、當(dāng)防洪堤的腰長x為多少米時,堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料最省(即斷面的外周長最小)?求此時外周長的值. [解答](1) 由題意得9=(AD+BC)h, 其中AD=BC+2·=BC+x,h=x, 所以9=(2BC+x)×x,得BC=-. 由得2≤x<6. 所以y=+,x∈[2,6). (2) 由y=+≤10.5,得3≤x≤4, 因為[3,4]ì[2,6),所以腰長x的范圍是[3,4]. (3) y=+≥2=6,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2時等號成立. 所以外周長的最小值為6 m,此時腰長為2 m. 某化工企業(yè)xx年底投入100萬元購入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.

8、5萬元,此外每年都要花費一定的維護費,第一年的維護費為2萬元,由于設(shè)備老化,以后每年的維護費都比上一年增加2萬元. (1) 求該企業(yè)使用該設(shè)備x年的年平均污水處理費用y(萬元); (2) 為使該企業(yè)的年平均污水處理費用最低,該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備? [規(guī)范答題](1) y=, 即y=x++1.5(x>0). (7分) (2) 由均值不等式得 y=x++1.5≥2+1.5=21.5(萬元). (11分) 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=10時取等號. (13分) 答:該企業(yè)10年后需要重新更換新設(shè)備.(14分) 1. 函數(shù)y=x+的值域是　　　　. [答案](

9、-∞,-4 ]∪[4 ,+∞) [解析]當(dāng)x>0時,x+≥4 (當(dāng)且僅當(dāng)x=2 時取等號);當(dāng)x<0時,-x>0,而(-x)+-≥4 (當(dāng)且僅當(dāng)x=-2 時取等號),所以x+≤-4 .則函數(shù)y的值域為{y|y≤-4 或y≥4 }. 2. 若x∈(0,π),則y=sin x+的最小值是　　　　. [答案]5 [解析]注意利用基本不等式解決問題時取“=”的條件.函數(shù)y在x=時取到最小值. 3. (xx·邛崍月考)若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,則ab的最大值為　　　　. [答案]9 [解析]f'(x)=12x2-2ax-2b,因為

10、函數(shù)f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1處有極值,所以f'(1)=0,即12-2a-2b=0,a+b=6,所以ab≤==9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號. 4. 在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300 m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是　　　　. (第4題) [答案][10,30] [解析]如圖所示,△ADE∽△ABC,設(shè)矩形的另一邊長為y,則=,所以y=40-x.又xy≥300,所以x(40-x)≥300,即x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30. (第4題) [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)(第95-96頁).