《（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 4 第4講 數(shù)列求和教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 4 第4講 數(shù)列求和教學(xué)案（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第4講 數(shù)列求和
1．基本數(shù)列求和方法
(1)等差數(shù)列求和公式：Sn＝＝na1＋d．
(2)等比數(shù)列求和公式：Sn＝
2．一些常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝；
(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2；
(3)2＋4＋6＋8＋…＋2n＝n2＋n．
3．?dāng)?shù)列求和的常用方法
(1)倒序相加法
如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的．
(2)錯(cuò)位相減法
如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那
2、么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的．
(3)裂項(xiàng)相消法
把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和．
(4)分組轉(zhuǎn)化法
一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再相加減．
(5)并項(xiàng)求和法
一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．
[疑誤辨析]
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)當(dāng)n≥2時(shí)，＝－.( )
(2)利用倒序相加法可求得sin21°＋sin22°＋s
3、in23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( )
(3)若Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan，當(dāng)a≠0，且a≠1時(shí)，求Sn的值可用錯(cuò)位相減法求得．( )
答案：(1)× (2)√ (3)√
[教材衍化]
1．(必修5P61A組T5改編)一個(gè)球從100 m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程是( )
A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)
C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)
解析：選A.第10次著地時(shí)，經(jīng)過(guò)的路程為100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)
4、＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)．
2．(必修5P47B組T4改編)在數(shù)列{an}中，an＝，若{an}的前n項(xiàng)和為，則項(xiàng)數(shù)n為( )
A．2 014 B．2 015
C．2 016 D．2 017
解析：選D.an＝＝－，Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2 017.故選D.
3．(必修5P61A組T4(3)改編)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)．
解析：設(shè)Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 則xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②?、伲诘茫?1
5、－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn＝－nxn，所以Sn＝－.
答案：－
[易錯(cuò)糾偏]
(1)不會(huì)分組致誤；
(2)錯(cuò)位相減法運(yùn)用不熟練出錯(cuò)．
1．已知數(shù)列：1，2，3，…，，…，則其前n項(xiàng)和關(guān)于n的表達(dá)式為_(kāi)_______．
解析：設(shè)所求的數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn，則
Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＋＋…＋＝＋1－.
答案：＋1－
2．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝________．
解析：Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
所以2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，②
①－②得－Sn＝2＋22＋23＋
6、…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1，
所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n＋1＋2
分組轉(zhuǎn)化法求和
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.
(1)求通項(xiàng)公式an；
(2)求數(shù)列{|an－n－2|}的前n項(xiàng)和．
【解】 (1)由題意得則
又當(dāng)n≥2時(shí)，
由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，
得an＋1＝3an.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1，n∈N*.
(2)設(shè)bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.
當(dāng)n≥3時(shí)，由于3n－1>
7、n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則T1＝2，T2＝3.
當(dāng)n≥3時(shí)，
Tn＝3＋－＝，
所以Tn＝
分組轉(zhuǎn)化法求和的常見(jiàn)類(lèi)型
(1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{an}的前n項(xiàng)和；
(2)通項(xiàng)公式為an＝的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求和．
1．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n－n，前n項(xiàng)之和為Sn，則Sn＝________．
解析：Sn＝21＋22＋…＋2n－(1＋2＋…＋n)＝－＝2n＋1－.
答案：2n＋1－
2．(202
8、0·麗水模擬)在等比數(shù)列{an}中，公比q≠1，等差數(shù)列{bn}滿足b1＝a1＝3，b4＝a2，b13＝a3.
(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記cn＝(－1)nbn＋an，求數(shù)列{cn}的前2n項(xiàng)和S2n.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d.
則有解得或(舍去)，
所以an＝3n，bn＝2n＋1.
(2)由(1)知cn＝(－1)n(2n＋1)＋3n，
則S2n＝(3＋32＋33＋…＋32n)＋{(－3)＋5＋(－7)＋9＋…＋[－(4n－1)]＋(4n＋1)}
＝＋[(5－3)＋(9－7)＋…＋(4n＋1－4n＋1)]
＝＋2n.
9、錯(cuò)位相減法求和
已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝2，b1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，b1＋b2＋b3＋…＋bn＝bn＋1－1(n∈N*)．
(1)求an與bn的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求Tn.
【解】 (1)由a1＝2，an＋1＝2an，得an＝2n(n∈N*)．
由題意知當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝b2－1，故b2＝2.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝bn＋1－bn，
整理得＝，
所以bn＝n.
當(dāng)n＝1時(shí)，也符合bn＝n，綜上bn＝n(n∈N*)．
(2)由(1)知anbn＝n·2n，
因此Tn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
2Tn＝
10、22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1，
所以Tn－2Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1.
故Tn＝(n－1)2n＋1＋2(n∈N*)．
錯(cuò)位相減法求和策略
(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在寫(xiě)“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解．
1．?dāng)?shù)列，，，，…，的前10
11、項(xiàng)之和為_(kāi)_______．
解析：S10＝＋＋＋…＋，①
所以S10＝＋＋…＋＋.②
①－②得
S10＝＋－
＝＋－
＝－－＝，
所以S10＝＝.
答案：
2．已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋ a2 ＝6，a1a2＝ a3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2){bn}為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
解：(1)設(shè){an}的公比為q，
由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2.
又an>0，
解得a1＝2，q＝2，
所以an＝2n.
(2)由題意知：S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋
12、1，
又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，
所以bn＝2n＋1.
令cn＝，
則cn＝，
因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋＋…＋＋，
又Tn＝＋＋＋…＋＋，
兩式相減得
Tn＝＋－，
所以Tn＝5－.
裂項(xiàng)相消法求和(高頻考點(diǎn))
裂項(xiàng)相消法求和是每年高考的熱點(diǎn)，題型多為解答題第二問(wèn)，難度適中．主要命題角度有：
(1)形如an＝型；
(2)形如an＝型；
(3)形如an＝(a>0，a≠1)型．
角度一 形如an＝型
(2020·舟山市普陀三中高三期中)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1＝1，＋＋＝12.
(1)求{an}的通
13、項(xiàng)公式；
(2)若bn＝，{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：Tn<.
【解】 (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，S4＝4a1＋6d，
因?yàn)椋?2，
所以3a1＋3d＝12，即3＋3d＝12，解得d＝3，
所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2.
(2)證明：bn＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋
＝
＝
＝，
所以Tn＝<＝.
角度二 形如an＝型
(2020·臺(tái)州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)(4，2)，令an＝，n∈N*.記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 018＝( )
A.－1 B.－1
14、
C.－1 D. ＋1
【解析】 由f(4)＝2可得4α＝2，解得α＝.
則f(x)＝x.
所以an＝＝＝－，
所以S2 018＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 018＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－ )＋(－)＝－1.
【答案】 C
角度三 形如an＝(a>0，a≠1)型
(2020·杭州市高三期末考試)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若Sn＝2an－n，則＋＋＋＝________．
【解析】 因?yàn)镾n＝2an－n，所以n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－n－[2an－1－(n－1)]，
所以an＝2an－1＋1，化為：an＋1＝2(an－1＋1)，
n＝1時(shí)，a
15、1＝2a1－1，解得a1＝1.
所以數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2.
所an＋1＝2n，即an＝2n－1，
所以＝＝－.
所以＋＋＋＝＋＋…＋＝1－＝.
【答案】
利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)
(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；或者前面剩幾項(xiàng)，后面也剩幾項(xiàng)；
(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等．如：若{an}是等差數(shù)列，則＝，＝(－)．
已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1＝3，前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3
16、＝960.
(1)求an與bn的通項(xiàng)公式；
(2)求和：＋＋＋…＋.
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，
因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，即an>0，
所以d>0，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1，
依題意得，
解得，或(舍去)，
故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.
(2)因?yàn)镾n＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，
所以＝＝，
所以＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝(1－＋－＋－＋…＋－)＝(1＋－－)＝－.
[基礎(chǔ)題組練]
1．若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n·(3n－2)，則a1＋a2＋
17、…＋a12＝( )
A．18 B．15
C．－18 D．－15
解析：選A.記bn＝3n－2，則數(shù)列{bn}是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以a1＋a2＋…＋a11＋a12
＝(－b1)＋b2＋…＋(－b11)＋b12＝(b2－b1)＋(b4－b3)＋…＋(b12－b11)＝6×3＝18.
2．已知{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項(xiàng)和，且9S3＝S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為( )
A.或5 B.或5
C. D.
解析：選C.設(shè)數(shù)列{an}的公比為q.由題意可知q≠1，且＝，解得q＝2，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列
18、，由求和公式可得S5＝.
3．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝，若前n項(xiàng)和為10，則項(xiàng)數(shù)n為( )
A．120 B．99
C．11 D．121
解析：選A.an＝＝＝－，所以a1＋a2＋…＋an＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1＝10.即＝11，所以n＋1＝121，n＝120.
4．設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4a8＝32，則S11的最小值為( )
A．22 B．44
C．22 D．44
解析：選B.因?yàn)閿?shù)列{an}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a4＋a8≥2＝8，S11＝＝(a4＋a8)≥×8＝44，故S11的最小值為44，當(dāng)且僅
19、當(dāng)a4＝a8＝4時(shí)取等號(hào)．
5．設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝，a＝4a2a8，若＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an，則數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為( )
A．－ B.
C．－ D.
解析：選A.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍＝4a2a8，所以(a1q3)2＝4a1q·a1q7，即4q2＝1，所以q＝或q＝－(舍)，所以an＝＝2－n，所以log2an＝log22－n＝－n，所以＝－(1＋2＋3＋…＋n)＝－，所以bn＝－＝－2，
所以數(shù)列{bn}的前10項(xiàng)和為
－2＝
－2＝－.
6．(2020·杭州八校聯(lián)考)在各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}
20、中，首項(xiàng)a1＝2，且點(diǎn)(a，a)在直線x－9y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于( )
A．3n－1 B.
C. D.
解析：選A.由點(diǎn)(a，a)在直線x－9y＝0上，得a－9a＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又?jǐn)?shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1＝2，所以an＋3an－1>0，所以an－3an－1＝0，即＝3，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2，公比q＝3的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝＝＝3n－1，故選A.
7．在等差數(shù)列{an}中，a1>0，a10·a11<0，若此數(shù)列的前10項(xiàng)和S10＝36，前18項(xiàng)和S18＝12，則數(shù)列{|an|}的前18項(xiàng)和T18
21、的值是________．
解析：由a1>0，a10·a11<0可知d<0，a10>0，a11<0，
所以T18＝a1＋…＋a10－a11－…－a18
＝S10－(S18－S10)＝60.
答案：60
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝＋log2，定義Sn＝f＋f＋…＋f，其中n∈N*，且n≥2，則Sn＝________．
解析：因?yàn)閒(x)＋f(1－x)＝＋log2＋＋log2＝1＋log21＝1，
所以2Sn＝＋[f＋f]＋…＋＝n－1.
所以Sn＝.
答案：
9．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，則n的值為_(kāi)_______．
解析：由題意得＋＋＋…＋＝－＋－＋－＋…＋－＝1－＝＝.所以n＝99.
22、
答案：99
10．(2020·溫州中學(xué)高三模考)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝，an＋1＝a＋an，用[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則的值等于________．
解析：因?yàn)閍n＋1＝a＋an，故an＋1－an＝a>0，即數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，由an＋1＝a＋an可得an＋1＝an(an＋1)，所以＝－，從而＝－，
所以1<＋＋…＋＝－<＝2，故＝1.
答案：1
11．(2020·金華十校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1，22，a2，24，…，an，22n，…成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sk≥30(2k＋1)，
23、求正整數(shù)k的最小值．
解：(1)設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q2＝＝22，
又由題意q＞0，故q＝2，
從而an＝＝22n－1，
即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝22n－1.
(2)由(1)知a1＝2，數(shù)列{an}是以22為公比的等比數(shù)列，
故Sn＝＝(22n－1)．
因此不等式Sk≥30(2k＋1)可化為(22k－1)≥30(2k＋1)，即(2k－1)(2k＋1)≥30(2k＋1)，
因?yàn)?k＋1＞0，
所以2k≥46，
即k≥log246，
又5＜log246＜6，
所以正整數(shù)k的最小值為6.
12．(2020·溫州市普通高中?？?已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a
24、1＝，2Sn＝(n＋1)an＋1(n≥2)．
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝(n∈N*)，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：Tn<(n∈N*)．
解：(1)當(dāng)n＝2時(shí)，2S2＝3a2＋1，解得a2＝2.
當(dāng)n＝3時(shí)，2S3＝4a3＋1，
解得a3＝3.
當(dāng)n≥3時(shí)，2Sn＝(n＋1)an＋1，2Sn－1＝nan－1＋1，
以上兩式相減，得2an＝(n＋1)an－nan－1，
所以＝，
所以＝＝…＝＝1，
所以an＝.
(2)證明：bn＝＝，
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝<＝－，
所以Tn＝＋＋＋…＋＝－<.
[綜合題組練]
1．已知{an}是等差數(shù)列，公差d
25、不為零，前n項(xiàng)和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則( )
A．a(chǎn)1d>0，dS4>0 B．a(chǎn)1d<0，dS4<0
C．a(chǎn)1d>0，dS4<0 D．a(chǎn)1d<0，dS4>0
解析：選B.因?yàn)?a3，a4，a8成等比數(shù)列，所以a＝a3a8，所以(a1＋3d)2＝(a1＋2d)(a1＋7d)，展開(kāi)整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－d2.因?yàn)?d≠0，所以a1d＜0.因?yàn)?Sn＝na1＋d，所以S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－d2<0.
2．在等差數(shù)列{an}中，a2＝5，a6＝21，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，若S2n＋1－Sn≤對(duì)任意的n∈N*恒成立，則正整
26、數(shù)m的最小值為( )
A．3 B．4
C．5 D．6
解析：選C.在等差數(shù)列{an}中，因?yàn)閍2＝5，a6＝21，
所以解得a1＝1，d＝4，
所以＝＝.
因?yàn)椋?
＝－
＝－－＝－－
＝＋>0，所以數(shù)列(n∈N*)是遞減數(shù)列，數(shù)列(n∈N*)的最大項(xiàng)為S3－S1＝＋＝，所以≤，m≥.又m是正整數(shù)，所以m的最小值是5.
3．設(shè)a1，d為實(shí)數(shù)，首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S5S6＋15＝0，則d的取值范圍是________．
解析：由S5S6＋15＝0，得·(6a1＋d)＋15＝0.
整理可得2a＋9a1d＋10d2＋1＝0.
因
27、為a1，d為實(shí)數(shù)，所以Δ＝(9d)2－4×2×(10d2＋1)≥0，解得d≤－2或d≥2.
答案：d≤－2或d≥2
4．(2020·臺(tái)州診斷考試)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且當(dāng)n≥2時(shí)，有＝1成立，則S2 017＝________．
解析：當(dāng)n≥2時(shí)，由＝1，得2(Sn－Sn－1)＝(Sn－Sn－1)Sn－S＝－SnSn－1，
所以－＝1，又＝2，所以是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以＝n＋1，故Sn＝，
則S2 017＝.
答案：
5．(2020·浙江“七彩陽(yáng)光”聯(lián)盟聯(lián)考)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an.
(1)求數(shù)列{
28、an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和為Sn，試求數(shù)列{S2n－Sn}的最小值．
解：(1)由條件an＋1＝2an得＝2·，
又a1＝2，所以＝2，
因此數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，
從而＝2·2n－1＝2n，因此，an＝n·2n.
(2)由(1)得bn＝，設(shè)cn＝S2n－Sn，則cn＝＋＋…＋，
所以cn＋1＝＋＋…＋＋＋，
從而cn＋1－cn＝＋－>＋－＝0，
因此數(shù)列{cn}是單調(diào)遞增的，所以{cn}min＝c1＝.
6．(2020·嚴(yán)州階段測(cè)試)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a7＝4，a19＝2a9，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為
29、Tn，滿足42an－1＝λTn－(a5－1)(n∈N*)．
(1)是否存在非零實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；
(2)已知對(duì)于n∈N*，不等式＋＋＋…＋＜M恒成立，求實(shí)數(shù)M的最小值．
解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則an＝a1＋(n－1)d.
因?yàn)?
所以解得a1＝1，d＝，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
因?yàn)閍5＝3，42an－1＝λTn－(a5－1)，
所以4n＝λTn－2，Tn＝4n＋.
當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝；
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Tn－Tn－1＝4n＋－4n－1－＝4n－1.
所以bn＋1＝4n＝4bn(n≥2)，
若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，則有b2＝4b1，
而b2＝，所以＝2與b2＝4b1矛盾．
故不存在非零實(shí)數(shù)λ，使得數(shù)列{bn}為等比數(shù)列．
(2)由(1)知Sn＝，
所以＝＝，
從而＋＋＋…＋
＝
＝
＝＜，
所以M ≥，故實(shí)數(shù)M的最小值為.
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（浙江專(zhuān)用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 4 第4講 數(shù)列求和教學(xué)案
