2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 拋物線及其性質(zhì)練習(xí) 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 拋物線及其性質(zhì)練習(xí) 文考點內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1.拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.了解拋物線的定義,并會用定義進(jìn)行解題2.掌握求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟(定型、定位、定量)和基本方法(定義法和待定系數(shù)法)2017課標(biāo)全國,12;2017山東,15;2016四川,3;2014課標(biāo),10;2013江西,9選擇題、填空題、解答題2.拋物線的幾何性質(zhì)1.知道拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率)2.能用其性質(zhì)解決有關(guān)的拋物線問題,了解拋物線的一些實際應(yīng)用2017天津,12;2016課標(biāo)全國,5;2015四川,10選擇題、填

2、空題、解答題3.直線與拋物線的位置關(guān)系1.會用代數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法判斷直線與拋物線的位置關(guān)系2.根據(jù)所學(xué)知識熟練解決直線與拋物線位置關(guān)系的綜合問題2017課標(biāo)全國,20;2016課標(biāo)全國,20;2016課標(biāo)全國,20選擇題、填空題、解答題分析解讀從近幾年的高考試題來看,拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系等一直是高考命題的熱點,題型既有選擇題、填空題,又有解答題;客觀題突出“小而巧”的特點,主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,主觀題考查得較為全面,除考查定義、性質(zhì)之外,還考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查基本運算能力、邏輯思維能力和綜合分析問題的能力,著力于數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)語言

3、的考查.五年高考考點一拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2016四川,3,5分)拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)是()A.(0,2)B.(0,1)C.(2,0)D.(1,0)答案D2.(2014課標(biāo),10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點為F,A(x0,y0)是C上一點,|AF|=x0,則x0=()A.1B.2C.4D.8答案A3.(2013江西,9,5分)已知點A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點為F,射線FA與拋物線C相交于點M,與其準(zhǔn)線相交于點N,則|FM|MN|=()A.2B.12C.1D.13答案C4.(2017山東,15,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a0,b0)的右支

4、與焦點為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.答案y=x5.(2014福建,21,12分)已知曲線上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2.(1)求曲線的方程;(2)曲線在點P處的切線l與x軸交于點A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點M,N.以MN為直徑作圓C,過點A作圓C的切線,切點為B.試探究:當(dāng)點P在曲線上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論.解析(1)解法一:設(shè)S(x,y)為曲線上任意一點,依題意,得點S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等,所以曲線是以點F

5、(0,1)為焦點、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線的方程為x2=4y.解法二:設(shè)S(x,y)為曲線上任意一點,則|y-(-3)|-=2,依題意,知點S(x,y)只能在直線y=-3的上方,所以y-3,所以=y+1,化簡得,曲線的方程為x2=4y.(2)當(dāng)點P在曲線上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度不變.證明如下:由(1)知拋物線的方程為y=x2,設(shè)P(x0,y0)(x00),則y0=,由y=x,得切線l的斜率k=y=x0,所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-.由得A.由得M.又N(0,3),所以圓心C,半徑r=|MN|=,|AB|=.所以點P在曲線上運動(點

6、P與原點不重合)時,線段AB的長度不變.教師用書專用(67)6.(2013四川,5,5分)拋物線y2=8x的焦點到直線x-y=0的距離是()A.2B.2C.D.1答案D7.(2013課標(biāo)全國,8,5分)O為坐標(biāo)原點,F為拋物線C:y2=4x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4,則POF的面積為()A.2B.2C.2D.4答案C考點二拋物線的幾何性質(zhì)1.(2016課標(biāo)全國,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=(k0)與C交于點P,PFx軸,則k=()A.B.1C.D.2答案D2.(2015陜西,3,5分)已知拋物線y2=2px(p0)的準(zhǔn)線經(jīng)過點(-1,1),則該拋物線焦點坐標(biāo)為

7、()A.(-1,0)B.(1,0)C.(0,-1)D.(0,1)答案B3.(2014安徽,3,5分)拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是()A.y=-1B.y=-2C.x=-1D.x=-2答案A4.(2014遼寧,8,5分)已知點A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點為F,則直線AF的斜率為()A.-B.-1C.-D.-答案C5.(2017天津,12,5分)設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l.已知點C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點A.若FAC=120,則圓的方程為.答案(x+1)2+(y-)2=16.(2013福建,20,12分)如圖,拋物線E:y2=4x的焦點為F

8、,準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M,N.(1)若點C的縱坐標(biāo)為2,求|MN|;(2)若|AF|2=|AM|AN|,求圓C的半徑.解析(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為x=-1.由點C的縱坐標(biāo)為2,得點C的坐標(biāo)為(1,2),所以點C到準(zhǔn)線l的距離d=2,又|CO|=,所以|MN|=2=2=2.(2)設(shè)C,則圓C的方程為+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,設(shè)M(-1,y1),N(-1,y2),則由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0

9、=,此時0.所以圓心C的坐標(biāo)為或,從而|CO|2=,|CO|=,即圓C的半徑為.教師用書專用(79)7.(2013課標(biāo)全國,10,5分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l過F且與C交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則l的方程為()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)答案C8.(2014上海,4,4分)若拋物線y2=2px的焦點與橢圓+=1的右焦點重合,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為.答案x=-29.(2013北京,9,5分)若拋物線y2=2px的焦點坐標(biāo)為(1,0),則p=;準(zhǔn)線方程為.答案

10、2;x=-1考點三直線與拋物線的位置關(guān)系1.(2014課標(biāo),10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點,過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點,則|AB|=()A.B.6C.12D.7答案C2.(2014湖南,14,5分)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點F(1,0)的距離和到直線x=-1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過點P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是.答案(-,-1)(1,+)3.(2016課標(biāo)全國,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p0)于點P,M關(guān)于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H.(1)求;(

11、2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由.解析(1)由已知得M(0,t),P.(1分)又N為M關(guān)于點P的對稱點,故N,ON的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.因此H.(4分)所以N為OH的中點,即=2.(6分)(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點.(7分)理由如下:直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).(9分)代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個公共點,所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點.(12分)4.(2016課標(biāo)全國,20,12分)已知拋物線C:y2=2x的焦點為F

12、,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點,交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點.(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點,證明ARFQ;(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍,求AB中點的軌跡方程.解析由題設(shè)知F.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,易知ab0,且A,B,P,Q,R.記過A,B兩點的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.(3分)(1)由于F在線段AB上,故1+ab=0.記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則k1=-b=k2.所以ARFQ.(5分)(2)設(shè)l與x軸的交點為D(x1,0),則SABF=|b-a|FD|=|b-a|,SPQF=.由題設(shè)可得2|b-a|=,所以x

13、1=0(舍去)或x1=1.設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得=(x1).而=y,所以y2=x-1(x1).當(dāng)AB與x軸垂直時,E與D重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1.(12分)5.(2015浙江,19,15分)如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過點P(t,0)(t0)作不過原點O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點.(1)求點A,B的坐標(biāo);(2)求PAB的面積.注:直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點為切點.解析(1)由題意知直線PA的

14、斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t),由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直線PA與拋物線相切,得k=t.因此,點A的坐標(biāo)為(2t,t2).設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點B,O關(guān)于直線PD對稱,故解得因此,點B的坐標(biāo)為.(2)由(1)知|AP|=t,和直線PA的方程tx-y-t2=0.點B到直線PA的距離是d=,設(shè)PAB的面積為S(t),所以S(t)=|AP|d=.教師用書專用(69)6.(2015四川,10,5分)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r0)相切于點M,且M為線段AB的中點.若這

15、樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是()A.(1,3)B.(1,4)C.(2,3)D.(2,4)答案D7.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程;(2)設(shè)斜率為k的直線l過定點P(-2,1).求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應(yīng)取值范圍.解析(1)設(shè)點M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1,化簡整理得y2=2(|x|+x).故點M的軌跡C的方程為y2=(2)在點M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x0),依題意,可設(shè)直線l的方程為

16、y-1=k(x+2).由方程組可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(i)當(dāng)k=0時,y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=.故此時直線l:y=1與軌跡C恰好有一個公共點.(ii)當(dāng)k0時,方程的判別式為=-16(2k2+k-1).設(shè)直線l與x軸的交點為(x0,0),則由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.若由解得k,即當(dāng)k(-,-1)時,直線l與C1沒有公共點,與C2有一個公共點,故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點.若或由解得k或-k0,即當(dāng)k時,直線l與C1只有一個公共點,與C2有一個公共點.當(dāng)k時,直線l與C1有兩個公共點,與C2沒有公共點.故當(dāng)k時,直線l與軌跡C恰好有兩個

17、公共點.若由解得-1k-或0k0,x1+x2=4k,x1x2=-4m,所以AB中點M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m).由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1),所以由=4y0得k2=-m+.由0,k20,得-f,所以當(dāng)m=時, f(m)取到最大值,此時k=.所以ABP面積的最大值為.9.(2013遼寧,20,12分)如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p0).點M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點為A,B(M為原點O時,A,B重合于O).當(dāng)x0=1-時,切線MA的斜率為-.(1)求p的值;(2)當(dāng)M在C2上運動時,求線段AB中點N的軌跡方程(A,

18、B重合于O時,中點為O).解析(1)因為拋物線C1:x2=4y上任意一點(x,y)的切線斜率為y=,且切線MA的斜率為-,所以A點坐標(biāo)為,故切線MA的方程為y=-(x+1)+.因為點M(1-,y0)在切線MA及拋物線C2上,所以y0=-(2-)+=-,y0=-=-,由得p=2.(6分)(2)設(shè)N(x,y),A,B,x1x2,由N為線段AB中點知x=,y=.切線MA的方程為y=(x-x1)+,切線MB的方程為y=(x-x2)+.由得MA,MB的交點M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=,y0=.因為點M(x0,y0)在C2上,即=-4y0,所以x1x2=-.由得x2=y,x0.當(dāng)x1=x2時,A,B重合

19、于原點O,AB中點N為O,坐標(biāo)滿足x2=y.因此AB中點N的軌跡方程為x2=y.(12分)三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點一拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程1.(2018河南頂級名校12月聯(lián)考,7)已知直線l過拋物線y2=-2px(p0)的焦點,且與拋物線交于A、B兩點,若線段AB的長是8,AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2,則此拋物線的方程是()A.y2=-12xB.y2=-8xC.y2=-6xD.y2=-4x答案B2.(2018湖北荊州中學(xué)11月月考,9)已知拋物線y2=2px(p0),點C(-4,0),過拋物線的焦點作垂直于x軸的直線,與拋物線交于A,B兩點,若CAB的面積為24,則以直線

20、AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A.y2=4xB.y2=-4xC.y2=8xD.y2=-8x答案D3.(2016廣東惠州第一次調(diào)研,11)過拋物線y2=4x的焦點F作直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,如果x1+x2=6,那么|AB|=()A.6B.8C.9D.10答案B4.(2018四川成都七中12月模擬,13)拋物線y2=ax(a0)上的點P到焦點F的距離為2,則a=.答案25.(2017四川巴蜀聯(lián)考,14)若拋物線y2=2px(p0)上的點A(x0,)到其焦點的距離是點A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p=.答案2考點二拋物線的幾何性質(zhì)6.(2017廣東中山一調(diào),5)已知拋物線x

21、2=2py(p0)的準(zhǔn)線與橢圓+=1相切,則p的值為()A.4B.3C.2D.1答案A7.(2018河北唐山五校聯(lián)考,15)過拋物線y2=2px(p0)的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點,若|AF|=2|BF|=6,則p=.答案48.(2017山西五校聯(lián)考,13)拋物線x2=-10y的焦點在直線2mx+my+1=0上,則m=.答案9.(2016江西九校聯(lián)考,15)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,其準(zhǔn)線與雙曲線y2-x2=1相交于A,B兩點,若ABF為等邊三角形,則p=.答案2考點三直線與拋物線的位置關(guān)系10.(2018山西長治二中等五校12月聯(lián)考,15)已知拋物線C:y2=2px(p0)

22、的焦點為F,準(zhǔn)線為l,過點F且傾斜角為60的直線交C于A,B兩點,AMl,BNl,M,N為垂足,點Q為MN的中點,|QF|=2,則p=.答案11.(2017河南安陽調(diào)研考試,14)已知拋物線y2=4x的焦點為F,過F作一條直線交拋物線于A,B兩點,若|AF|=3,則|BF|=.答案12.(2017安徽黃山二模,14)已知拋物線C:y2=8x,焦點為F,點P(0,4),點A在拋物線上,當(dāng)點A到拋物線準(zhǔn)線l的距離與點A到點P的距離之和最小時,延長AF交拋物線于點B,則AOB的面積為.答案413.(2016河北武邑中學(xué)3月模擬,14)已知直線l:y=kx+t與圓:x2+(y+1)2=1相切,且與拋物

23、線C:x2=4y交于不同的兩點M,N,則實數(shù)t的取值范圍是.答案t0或t0,b0)的離心率為3,若拋物線C2:x2=2py(p0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為()A.x2=yB.x2=4y C.x2=12yD.x2=24y答案D4.(2017廣東汕頭一模,8)過拋物線C:x2=2y的焦點F的直線l交拋物線C于A、B兩點,若拋物線C在點B處的切線斜率為1,則|AF|=()A.1B.2C.3D.4答案A5.(2017河南百校聯(lián)盟聯(lián)考,8)已知拋物線C:y2=4x上一點A到焦點F的距離與其到對稱軸的距離之比為54,且|AF|2,則A點到原點的距離為()A.3B.4C.4

24、D.4答案B6.(2017江西新余、宜春聯(lián)考,11)拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個動點,且滿足AFB=,設(shè)線段AB的中點M在l上的投影為N,則的最大值是()A.B.C.D.答案C7.(2016安徽六校第一次聯(lián)考,11)過拋物線y2=2px(p0)的焦點F的直線l與拋物線交于B、C兩點,l與拋物線的準(zhǔn)線交于點A,且|AF|=6,=2,則|BC|=()A.8B.C.6D.答案D二、解答題(共15分)8.(2018廣東惠州調(diào)研,20)已知圓x2+y2=12與拋物線x2=2py(p0)相交于A,B兩點,點B的橫坐標(biāo)為2,F為拋物線的焦點.(1)求拋物線的方程;(

25、2)若過點F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個不同的點,從左至右依次為P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值.解析(1)設(shè)B(2,y0),由題意得解之得所以拋物線的方程為x2=4y.(2)設(shè)點P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由題意知P1,P3在圓上,P2,P4在拋物線上.因為直線l過點F且斜率為1,所以直線l的方程為y=x+1.聯(lián)立得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-,所以|P1P3|=.由得x2-4x-4=0,所以x2+x4=4,x2x4=-4.所以|P2P4|=8.由題意易知|P1P2|=|P1P

26、3|-|P2P3|,|P3P4|=|P2P4|-|P2P3|,-得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|,|P1P2|-|P3P4|=-8.C組20162018年模擬方法題組方法1求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1.(2018湖南益陽、湘潭9月聯(lián)考,16)已知圓C1:x2+(y-2)2=4,拋物線C2:y2=2px(p0),C1與C2相交于A,B兩點,且|AB|=,則拋物線C2的方程為.答案y2=x方法2利用拋物線的定義解決有關(guān)問題的方法2.(2018江西南昌七校聯(lián)考,10)已知拋物線x2=2y的焦點為F,其上有兩點A(x1,y1),B(x2,y2)滿足|AF|-|BF|=2,則y1+-

27、y2-=()A.4B.6C.8D.10答案B3.(2016廣東汕頭金山中學(xué)期末,11)已知P是拋物線y2=4x上的一個動點,Q是圓(x-3)2+(y-1)2=1上的一個動點,N(1,0)是一個定點,則|PQ|+|PN|的最小值為()A.3B.4C.5D.+1答案A4.(2017河南天一大聯(lián)考(三),14)已知拋物線C:y2=2px(p0)上在第四象限內(nèi)的點M(2,y0)到焦點F的距離為|y0|,則點M到直線x-y-1=0的距離為.答案方法3與直線和拋物線位置關(guān)系有關(guān)問題的求解方法5.(2017湖南岳陽二模,7)若直線y=2x+與拋物線x2=2py(p0)相交于A,B兩點,則|AB|等于()A.5pB.10pC.11pD.12p答案B6.(2016福建廈門雙十、南安一中、廈門海滄實驗中學(xué)聯(lián)考,16)設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F,A,B兩點在拋物線上,且A,B,F三點共線,過AB的中點M作y軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點P,若|PF|=,則M點的橫坐標(biāo)為.答案2