(浙江專版)2018年高考數(shù)學 第1部分 重點強化專題 專題6 函數(shù)與導數(shù) 突破點16 導數(shù)的應用教學案

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1、突破點16導數(shù)的應用 (對應學生用書第57頁)核心知識提煉提煉1 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù)單調(diào)性的判定方法在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f(x)0,那么函數(shù)yf(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減(2)常數(shù)函數(shù)的判定方法如果在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),恒有f(x)0,那么函數(shù)yf(x)是常數(shù)函數(shù),在此區(qū)間內(nèi)不具有單調(diào)性(3)已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍設可導函數(shù)f(x)在某個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),則可以得出函數(shù)f(x)在這個區(qū)間內(nèi)f(x)0(或f(x)0),從而轉化為恒成立問題來解決(注意等號成立的檢驗).提煉2 函數(shù)極值的判別注意點(1)可導函

2、數(shù)極值點的導數(shù)為0,但導數(shù)為0的點不一定是極值點,如函數(shù)f(x)x3,當x0時就不是極值點,但f(0)0.(2)極值點不是一個點,而是一個數(shù)x0,當xx0時,函數(shù)取得極值在x0處有f(x0)0是函數(shù)f(x)在x0處取得極值的必要不充分條件(3)函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最大值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極大值與其端點函數(shù)值中的最大值,函數(shù)f(x)在一閉區(qū)間上的最小值是此函數(shù)在此區(qū)間上的極小值與其端點函數(shù)值中的最小值.提煉3 函數(shù)最值的判別方法(1)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上最值的關鍵是求出f(x)0的根的函數(shù)值,再與f(a),f(b)作比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值(2)求函數(shù)f

3、(x)在非閉區(qū)間上的最值,只需利用導數(shù)法判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得結論高考真題回訪回訪1函數(shù)的極值與最值1(2013浙江高考)已知e為自然對數(shù)的底數(shù),設函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1,2),則()A當k1時,f(x)在x1處取到極小值B當k1時,f(x)在x1處取到極大值C當k2時,f(x)在x1處取到極小值D當k2時,f(x)在x1處取到極大值C當k1時,f(x)(ex1)(x1),則f(x)ex(x1)(ex1)exx1,所以f(1)e10,所以f(1)不是極值當k2時,f(x)(ex1)(x1)2,則f(x)ex(x1)22(ex1)(x1)ex(x21)2(x1)(x1)

4、ex(x1)2,所以f(1)0,且當x1時,f(x)0;在x1附近的左側,f(x)0,所以f(1)是極小值2(2013浙江高考)已知函數(shù)yf(x)的圖象是下列四個圖象之一,且其導函數(shù)yf(x)的圖象如圖161所示,則該函數(shù)的圖象是()圖161B從導函數(shù)的圖象可以看出,導函數(shù)值先增大后減小,x0時最大,所以函數(shù)f(x)的圖象的變化率也先增大后減小,在x0時變化率最大A項,在x0時變化率最小,故錯誤;C項,變化率是越來越大的,故錯誤;D項,變化率是越來越小的,故錯誤B項正確3(2013浙江高考)已知aR,函數(shù)f(x)2x33(a1)x26ax.(1)若a1,求曲線yf(x)在點(2,f(2)處的切

5、線方程;(2)若|a|1,求f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值解(1)當a1時,f(x)6x212x6,所以f(2)6.3分又因為f(2)4,所以切線方程為y46(x2),即6xy80.5分(2)記g(a)為f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值f(x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)令f(x)0,得x11,x2a.8分當a1時,x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af(x)00f(x)0單調(diào)遞增極大值3a1單調(diào)遞減極小值a2(3a)單調(diào)遞增4a3比較f(0)0和f(a)a2(3a)的大小可得g(a)10分當a1時,x0(0,1)1(1,2a)2af(x)0f(x)0單調(diào)遞減

6、極小值3a1單調(diào)遞增28a324a2得g(a)3a1.14分綜上所述,f(x)在閉區(qū)間0,2|a|上的最小值為g(a)15分回訪2導數(shù)的綜合應用4(2017浙江高考)已知函數(shù)f(x)(x)ex.(1)求f(x)的導函數(shù);(2)求f(x)在區(qū)間上的取值范圍解(1)因為(x)1,(ex)ex,所以f(x)ex(x)ex.6分(2)由f(x)0,解得x1或x.9分因為x1f(x)00f(x)e0e又f(x)(1)2ex0,所以f(x)在區(qū)間上的取值范圍是.15分5(2014浙江高考)已知函數(shù)f(x)x33|xa|(aR)(1)若f(x)在1,1上的最大值和最小值分別記為M(a),m(a),求M(a)

7、m(a);(2)設bR,若f(x)b24對x1,1恒成立,求3ab的取值范圍解(1)因為f(x)所以f(x)2分由于1x1.當a1時,有xa,故f(x)x33x3a.此時f(x)在(1,1)上是增函數(shù),因此,M(a)f(1)43a,m(a)f(1)43a,故M(a)m(a)(43a)(43a)8.3分當1a1時,若x(a,1),f(x)x33x3a,在(a,1)上是增函數(shù);若x(1,a),f(x)x33x3a,在(1,a)上是減函數(shù),所以,M(a)maxf(1),f(1),m(a)f(a)a3.由于f(1)f(1)6a2,因此當1a時,M(a)m(a)a33a4;當a1時,M(a)m(a)a3

8、3a2.4分當a1時,有xa,故f(x)x33x3a,此時f(x)在(1,1)上是減函數(shù),因此,M(a)f(1)23a,m(a)f(1)23a,故M(a)m(a)(23a)(23a)4.6分綜上可知,M(a)m(a)7分(2)令h(x)f(x)b,則h(x)h(x)因為f(x)b24對x1,1恒成立,即2h(x)2對x1,1恒成立,所以由(1)知,當a1時,h(x)在(1,1)上是增函數(shù),h(x)在1,1上的最大值是h(1)43ab,最小值是h(1)43ab,則43ab2且43ab2,矛盾;9分當10,t(a)在上是增函數(shù),故t(a)t(0)2,因此23ab0.11分當a1時,h(x)在1,1

9、上的最小值是h(a)a3b,最大值是h(1)3ab2,所以a3b2且3ab22,解得0,所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞增若a0,則當x時,f(x)0;當x時,f(x)0時,f(x)在x處取得最大值,最大值為flnaln aa1.10分因此f2a2等價于ln aa10.令g(a)ln aa1,則g(a)在(0,)上單調(diào)遞增,g(1)0.于是,當0a1時,g(a)1時,g(a)0.因此,a的取值范圍是(0,1).15分熱點題型3利用導數(shù)解決不等式問題題型分析:此類問題以函數(shù)、導數(shù)與不等式相交匯為命題點,實現(xiàn)函數(shù)與導數(shù)、不等式及求最值的相互轉化,達成了綜合考查考生解題能力的目的.【例3】設函數(shù)f(x

10、)ax.(1)若函數(shù)f(x)在(1,)上為減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;(2)若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)a成立,求實數(shù)a的取值范圍解(1)由得x0且x1,則函數(shù)f(x)的定義域為(0,1)(1,),因為f(x)在(1,)上為減函數(shù),故f(x)a0在(1,)上恒成立又f(x)a2a2a,故當,即xe2時,f(x)maxa.所以a0,于是a,故a的最小值為.4分(2)命題“若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)a成立”等價于“當xe,e2時,有f(x)minf(x)maxa”. 由(1)知,當xe,e2時,f(x)maxa,f(x)maxa.5分問題等價于:“當xe,e

11、2時,有f(x)min”當a時,由(1)知,f(x)在e,e2上為減函數(shù),則f(x)minf(e2)ae2,故a.6分當a,不合題意.8分()a0,即0a,由f(x)的單調(diào)性和值域知,存在唯一x0(e,e2),使f(x)0,且滿足:當x(e,x0)時,f(x)0,f(x)為增函數(shù);12分所以,fmin(x)f(x0)ax0,x0(e,e2),所以,a,與0ag(x)(f(x)0(f(x)g(x)0),進而構造輔助函數(shù)h(x)f(x)g(x)(2)構造“形似”函數(shù):對原不等式同解變形,如移項、通分、取對數(shù);把不等式轉化為左右兩邊是相同結構的式子的結構,根據(jù)“相同結構”構造輔助函數(shù)(3)主元法:對

12、于(或可化為)f(x1,x2)A的不等式,可選x1(或x2)為主元,構造函數(shù)f(x,x2)(或f(x1,x)(4)放縮法:若所構造函數(shù)最值不易求解,可將所證明不等式進行放縮,再重新構造函數(shù)變式訓練3設函數(shù)f(x)ax2ln xb(x1)(x0),曲線yf(x)過點(e,e2e1),且在點(1,0)處的切線方程為y0.(1)求a,b的值;(2)證明:當x1時,f(x)(x1)2;(3)若當x1時,f(x)m(x1)2恒成立,求實數(shù)m的取值范圍解(1)函數(shù)f(x)ax2ln xb(x1)(x0),可得f(x)2aln xaxb,因為f(1)ab0,f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1,所

13、以a1,b1.2分(2)證明:f(x)x2ln xx1,設g(x)x2ln xxx2(x1),g(x)2xln xx1,(g(x)2ln x10,所以g(x)在0,)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(1)0,所以g(x)在0,)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(1)0,所以f(x)(x1)2.6分(3)設h(x)x2ln xxm(x1)21,h(x)2xln xx2m(x1)1,由(2)中知x2ln x(x1)2x1x(x1),所以xln xx1,所以h(x)3(x1)2m(x1),當32m0即m時,h(x)0,所以h(x)在1,)單調(diào)遞增,所以h(x)h(1)0,成立.10分當3m0即m時,h(x)2xln x(12m)(x1),(h(x)2ln x32m,令(h(x)0,得x0e21,當x1,x0)時,h(x)h(1)0,13分所以h(x)在1,x0)上單調(diào)遞減,所以h(x)h(1)0,不成立綜上,m.15分 13

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